[PDF] Quadature de la spirale darchimède

Exercices Alternatifs Calcul de la longueur d’une spirale

spirale est constitu¶ee d’une inflnit¶e de segments, sa longueur s’obtient donc comme la somme d’une s¶erie On s’est arrang¶epour qu’il ne s’agisse pas d’une s¶erie g¶eom¶etrique (contrairement µa la plupart des exemples simples de s¶eries en g¶eom ¶etrie) Voir un contexte oµu une s¶erie apparait naturellement O A

Exercices Alternatifs Calcul de la longueur d’une spirale

Visualiser g¶eom ¶etriquement des s¶eries : ici, la spirale est constitu¶ee d’une inflnit¶e de segments, sa longueur s’obtient donc comme la somme d’une s¶erie On s’est arrang¶e pour qu’il ne s’agisse pas d’une s¶erie g¶eom ¶etrique (contrairement µa la plupart des exemples simples de s¶eries en g¶eom ¶etrie)

Une spirale dArchimède est la projection dune hélice qui a

Le calcul de la longueur d'une spirale n'est jamais très simple, mais cela a de l'importance : bobinage de cables, rouleaux de toile, de papier ou de vynil On peut le faire par calcul direct à partir d'une grandeur mathématique que l'on appelle l'abscisse curviligne

Quadature de la spirale darchimède

spirale comprise dans ce secteur donné par l’aire de la portion du cercle inférieur et celle de la portion du cercle supérieur Il conclut en disant que l’aire d’une spirale dont la droite de révolution a parcouru un certain nombre de secteurs est encadrée par la somme correspondante des aires des

LES SPIRALES

me question : trouver l’équation d’ une cour-be (S) « bien régulière » qui passe par tous les points A n et telle que si le point M est sur (S) alors le point Γ(M) y est également (Une réponse se trouve en Annexe 2) Exercice 4 : Nombre de tours Au dix-sep-tième point, la spirale a presque fait un tour complet

Détails mathématiques pour utiliser un ruban en hélice comme

Cela donne la longueur totale du ressort : L0 =nl0 Maintenant, nous considérons le ressort étiré (figure 2) Si le pas de l’hélice est noté z1, alors h1 =nz1 est la hauteur totale du ressort étiré pour n spires La longueur d’une spire est : l1 = q z2 1 +4π2r2 1 (2) Cela donne la longueur totale du ressort tendu L1 =nl1 Puisqu’il

CONSTRUCTION D’UNE SPIRALE D’OR - WordPresscom

et de longueur BC 1 Tracer à l’intérieur de ce rectangle d’or un carré EDCF ayant pour côté la largeur DC du rectangle Tracer l’arc de cercle passant par C et E ayant pour centre F 2 Le rectangle AEFB est également un rectangle d’or De manière iden-tique à 1), tracer à l’intérieur de ce rectangle d’or un carré AEGH

CONSTRUIRE UNE SPIRALE DOR

Le rapport entre la longueur et la largeur est toujours le même, et ce nombre est appelé le nombre d'Or Tous ces rectangles sont appelés rectangles d'Or Tu peux continuer le plus longtemps possible, mais au bout d'un moment cela devient difficile

ESD 2016 3c01 : Suites - pagesperso-orangefr

pour repérer le rang à partir duquel la longueur de la spirale est gj 2016 supérieure à 5 π Malheureusement, on n’a aucune indication sur sa méthode de tabulation Le seul acquis que l’on peut relever avec certitude dans sa production est « savoir tabuler les termes d’une suite »

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Etude de la quadrature de la spirale

d"Archimède

Projet de géométrie, Master 1 2010/2011

CABEZA-ORCEL Paloma

LEAUVA Daëna

L"objectif de ce projet est de comprendre la quadrature - c"est-à-dire le calcul de l"aire - de la spirale d"Archimède telle qu"elle a été effectuée par ce dernier et de la comparer aux méthodes modernes de calcul d"aires.

Table des matières

1 Introduction

2

2 La méthode d"Archimède

3

2.1 Les définitions d"Archimède

4

2.2 La démarche d"Archimède

5

2.2.1 Proposition X

6

2.2.2 Corollaire

10

2.2.3 Proposition XII

13

2.2.4 Proposition XXI

14

2.2.5 Proposition XXIV

16

2.2.6 Proposition XXV

17

3 Le calcul moderne

18

3.1 La méthode du physicien

19

3.2 La méthode du physicien revisitée - Justification mathématique

20

4 Discussion et conclusion

21

5 ANNEXE

22

6 Références

24 Figure1 - Spirale d"Archimède gravée sur la tombe de Jacob Bernouilli

1

1 Introduction

Archimède était un savant grec du IIIe siècle avant J.-C., à la fois mathématicien, ingénieur et physicien. On ne lui connaît pas de professeur si ce n"est son père, mais cet érudit cite fréquemment les travaux de ses prédécesseurs et notamment ceux d"Eudoxe de

Cnide et d"Euclide.

La majorité de ses travaux en mathématiques porte sur la géométrie. Il consigne ses tra- vaux en ce domaine dans plusieurs traités dont diverses compilations nous sont parvenues

après maintes copies, traductions et modifications; l"une des plus exhaustives a été décou-

verte seulement en 1906 et est connue sous l"appellation dePalimpseste1d"Archimède.

Ses traités de géométrie étudient l"aire et le volume de nombreuses figures géométriques

obtenus par des calculs exacts ou approchés très précis. Archimède étudie notamment dans le traitéDes spiralesl"aire d"une spirale particu- lière

2appelée depuisspirale d"Archimède, qui fait l"objet de ce projet. Cette spirale va

notamment lui permettre de rectifier le cercle, c"est-à-dire de déterminer la longueur de sa

circonférence en transformant celle-ci en une droite égale au côté d"un triangle rectangle

dont l"autre côté est le rayon du cercle.

La spirale d"Archimède

Elle a peut-être été inspirée par la courbe décrite par un cordage de bateau enroulé sur lui-même, ou encore par des observations physiques. Tout comme Archimède, nous dé- crivons cette spirale comme la trajectoire d"un point animé d"un mouvement rectiligne uniforme sur une droite elle- même animée d"un mouvement de rotation uniforme au- tour d"un centre. Ce type de spirales se caractérise par l"aspect circulaire des spires et la distance constante entre deux spires consécutives.Paramétrons cette trajectoire en notations modernes. AppelonsOl"origine de la spirale. SoitMun point de cette spirale etrla distanceOM. Soit(OM)la droite de révolution sur laquelleMse déplace d"un mouvement rectiligne uniforme. On suppose qu"au tempst= 0,Mest enO(r= 0). À l"instantt, nous avons :

OM=r=v . t

oùv, la vitesse deMsur(OM), est constante.1. Un palimpseste est un texte écrit sur parchemin, qui a été effacé (souvent par grattage) pour réutiliser

le parchemin. Le livre original était une copie datant du Xe siècle des principaux traités d"Archimède; il

comprenait environ 90 parchemins reliés sous forme de codex (l"ancêtre du livre), mais certaines feuilles

ont été arrachées. Le traitéDes spiralesy figure pour la première fois au complet.

2. Il existe plusieurs autres types de spirales, les plus connues étant les spirales logarithmiques ou

spirales de Bernouilli, d"équation polairer=aθ(aveca >0eta?= 1), et les spirales paraboliques ou

spirales de Fermat, d"équationr2=aθaveca >0,θ >0. 2 Pendant ce temps, la droite(OM)est animée d"un mouvement de rotation uniforme autour du centreO. Soitθl"angle que fait la droite(OM)par rapport à sa position initiale.

Nous avons :θ=ω . tou encoret=θω

oùω, la vitesse angulaire de la droite(OM), est constante. De ce qui précède nous tirons :r(θ) =vω ×θ=a.θLa position du pointMest ainsi complè- tement déterminée par ses coordonnées polaires (θ,r(θ)).

La distance constante entre deux spires

consécutives, caractéristique des spirales d"Archimède, se démontre maintenant aisé- ment. Quel que soitθdonné, la distance entre deux spires consécutives est la diffé- rencer(θ+2π)-r(θ) =a×(θ+2π-θ) = 2πa, qui ne dépend pas deθmais seulement du pa- ramètrea.2 La méthode d"Archimède À l"époque d"Archimède, les notions de nombre et d"opération sur les nombres ont une

interprétation géométrique : un rationnel est un rapport de longueurs entières, l"addition

de nombres est représentée par la longueur totale de segments de longueurs équivalentes mis bout à bout, la différence de deux nombres est un excédent entre deux longueurs ou deux aires, le produit de deux nombresaetbest calculé comme l"aire d"un rectangle dont les côtés ont pour longueursaetb- d"où le termequadraturepour désigner l"aire d"une fi-

gure. Cette vision limitée rend ardue la lecture des traités mathématiques de cette époque

mais on ne peut que s"émerveiller de la puissance des raisonnements qui parviennent à contourner la plupart des difficultés ainsi induites. Pour effectuer ses démonstrations, Archimède utilise principalement quatre procédés :

- le découpage des figures en aires élémentaires connues (rectangles, triangles, etc.) éven-

tuellement de plus en plus petites (qui préfigurent le calcul intégral); - des encadrements de plus en plus fins de la grandeur à déterminer (qui préfigurent le passage à la limite); ils lui permettent d"approcher très précisément le résultat; - la méthode d"exhaustion

3qui consiste à rendre une différence aussi petite qu"on le sou-

haite; cette méthode nécessite de connaître le résultat final (généralement obtenu par des

encadrements);3. Voir en annexe :La méthode d"exhaustion 3 - et enfin les raisonnements par l"absurde. Quel que soit le nombre de révolutions considéré, Archimède divise l"aire circonscrite par la spirale en un nombre pair de secteurs d"écarts angulaires identiques. C"est lamé- thode des pesées, très employée dans l"Antiquité. Il commence par calculer l"aire comprise entre la droite de révolution en position ini- tiale et la courbe de la spirale après une révolution. Dans la Proposition X, il déduit des rapports entres les aires de figures semblables particulières; ces figures permettront de calculer l"aire des figures inscrites et circonscrites à la spirale. Puis il applique la théorie des proportions d"Euclide (Livre V desÉléments) aux dé- placements mais aussi aux durées de déplacement (Proposition XII), ce qui lui permet de calculer des rapports entre certains arcs de cercle associés à la spirale et des segments de droites particulières de celle-ci. Dans la Proposition XXI et son corollaire, Archimède démontre qu"on peut toujours trouver une figure circonscrite à la spirale de première révolution telle que son aire soit plus grande que l"aire de la spirale et plus petite que le tiers de l"aire du disque circonscrit. Il en déduit par exhaustion dans la Proposition XXIV que l"aire délimitée par la spirale

après une révolution et la droite de révolution en position initiale vaut exactement le tiers

de l"aire du disque circonscrit. Archimède s"attaque ensuite au calcul de l"aire comprise entre les spires de la première et de la seconde révolution. Il établit qu"il existe un rapport 712
entre cette aire et l"aire du cercle qui lui est circonscrit. Notre projet s"arrête à l"étude de cette dernière proposition mais Archimède poursuit

son étude. Il détermine notamment plusieurs tangentes à la spirale et l"utilise en particulier

pour étudier la trisection de l"angle et la rectification du cercle.

2.1 Les définitions d"Archimède

La terminologie d"Archimède étant différente de la nôtre, nous allons décrypter les

principales définitions d"Archimède ayant permis à celui-ci de codifier le calcul de l"aire de

la spirale dont, par commodité, nous ne tracerons désormais qu"une à deux spires sur les Définition II-Appelons commencement de la spirale l"extrémité de la droite qui reste fixe pendant que la droite tourne.C"est pour nous le point origineO, qu"Archimède a dé- signé sur sa figure par la lettreΘ. Définition III-Appelons position initiale de révolution, celle à partir de laquelle la droite a commencé de tourner.Pour nous c"est l"axeθ= 0. 4

Définition IV-Appelons Première droite

celle sur laquelle le point se meut et qu"il par- court pendant la première révolution; appe- lons Seconde droite celle que le point parcourt pendant la seconde révolution.... La Première droite est en fait lesegmentde droite joignant les positions du pointMquandθvarie de0 à2π, c"est-à-dire les positions deMau dé- but et à la fin de la première révolution; la

Seconde droite est le segment de droite joi-

gnant les positions du pointMquandθvarie de2πà4π, c"est-à-dire les positions deMau début et à la fin de la deuxième révolution.Figure2 - Principales définitions

Il est facile de généraliser cette définition ànrévolutions : lanièmedroite est le segment

de droite joignant les positions du pointMquandθvarie de2(n-1)πà2nπ, c"est-à-dire les positions deMau début et à la fin de lanièmerévolution.

Tous ces segments sont de longueur2πa.

Définition V-Appelons première aire celle qui est entourée par la spirale décrite dans

la première révolution et par la Première droite; seconde aire celle qui est entourée par la

spirale décrite dans la seconde révolution et par la Seconde droite (...)Plus généralement,

lorsque le pointMdécrit sanièmerévolution, il s"agit de la portion d"aire comprise entre lan-1ièmespire et lanièmespire (θcompris entre(n-1).2πetn.2π). Définition VII-Appelons Premier cercle celui qui est décrit du point d"origine de la spirale comme centre et avec la Première droite comme rayon, Second cercle celui qui est décrit du même centre avec le double de cette droite pour rayon...Avec nos notations, le Premier cercle est le cercle de centreOet de rayon2πa, le Second cercle est de rayon4πa, et plus généralement, lenièmecercle est le cercle de centreOet de rayonn×2πa.

2.2 La démarche d"Archimède

Pour calculer l"aire de la spirale, Archimède a donc découpé le plan en secteurs égaux,

le côté du premier secteur étant confondu avec la position initiale de la droite de révolution.

Il considère ensuite un secteur donné, et définit uncercle inférieurde même centreΘ

que l"origine de la spirale et de rayon égal à la distance de ce centre à la spirale au début

du secteur, et uncercle supérieurdont le rayon est égal à la distance de ce centre à la

spirale à la fin du secteur. Il remarque que le rayon du cercle supérieur d"un secteur donné

est égal au rayon du cercle inférieur du secteur suivant. 5

Il encadre ensuite l"aire de la portion de

spirale comprise dans ce secteur donné par l"aire de la portion du cercle inférieur et celle de la portion du cercle supérieur. Il conclut en disant que l"aire d"une spirale dont la droite de révolution a parcouru un certain nombre de secteurs est encadrée par la somme correspondante des aires des portions de cercles inférieurs et supérieurs.

L"ensemble des arcs de cercles inférieurs et

des portions de rayon les reliant est ce qu"il appelle lafigure inscritedans la spirale, et l"ensemble des arcs de cercles supérieurs et des portions de rayon les reliant, lafigure cir- conscrite. Remarquons que ces segments de rayon sont tous de longueur égale.Figure3 - Encadrement de portions de spirale par des arcs de cercles

Transcrivons cela en termes modernes :

On divise le plan enNsecteurs égaux; chaque secteur fait donc un angle de2π/Net a une aire égale àπR2/N(oùRest le rayon du secteur). Lorsque le pointMarrive au début dun-ième secteur, la distanceOMvauta.θ=a×(2π/N)×n; c"est le rayonrndu cercle inférieur, avecnvariant de0àN-1. Le rayonRndu cercle supérieur dun-ième secteur est le même que celui du cercle inférieur du secteur suivant :Rn=rn+1=a×(2π/N)×(n+1). Notons?nl"aire de la spirale contenue dans lenièmesecteur. On a donc l"encadrement suivant : L"aire de la spiraleAest la somme, sur lesNsecteurs, des portions d"aire?n; elle est donc encadrée par :

4π3×a2/N3N?

n=1(n+ 1)2.

Nous allons à présent étudier les principales étapes ayant permis à Archimède de cal-

culer l"aire de la spirale et nous les transcrirons au fur et à mesure en termes modernes.

2.2.1 Proposition X

Si des lignes en nombre quelconque, se dépassant l"une l"autre d"une même grandeur,

sont disposées les unes à la suite des autres, l"excédent étant d"ailleurs égal à la plus pe-

tite; et si l"on dispose un même nombre d"autres lignes dont chacune est aussi grande 6

que la plus grande des premières, les carrés des lignes égales à la plus grande, ajoutés

au carré de la plus grande ainsi qu"au rectangle délimité sous la plus petite et sous une ligne égale à la somme de celles se dépassant l"une l"autre d"une même grandeur, valent

le triple des carrés de toutes les lignes se dépassant l"une l"autre d"une même grandeur(...)

L"objectif de cette proposition est de calculer la somme des carrés deNnombres qui

sont les multiples entiers successifs d"une même valeur (ici égale à la plus petite des lignes).

Nous verrons que ceci revient à trouver une expression analytique pour la somme des carrés desNpremiers entiers. Or nous avons vu à l"étape précédente que cette somme permettait à Archimède d"encadrer l"aire de la spirale. Dans cette proposition, comme dans toutes les suivantes, Archimède annonce le résul-

tat puis le démontre pas à pas à l"aide de figures géométriques représentant le problème

posé, qui contiennent déjà en elles-mêmes le germe de la solution. Dans ce cas précis, il trace une première série de 8 lignes - mais son raisonnement reste valable pour un nombre quelconqueNde lignes. Les lignes sont rangées par ordre de longueurs décroissantes et sont respectivement notéesA(la plus grande),B,Γ,Δ, E,Z,H,Θ(la plus petite), chacune dépassant laquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7