[PDF] Les Nombres ParfaitsLes Nombres Parfaits

Les Nombres ParfaitsLes Nombres Parfaits

En utilisant cette formule, on a trouvé un nouveau nombre parfait : 33550336, qui correspond à n = 12 Voici les valeurs de n correspondantes pour chaque nombre parfait trouvé : 6 ⇒ n = 1 28 ⇒ n = 2 496 ⇒ n = 4 8128 ⇒ n = 6 33550336 ⇒ n = 12 La partie 1 a prouvé que si 2nP est parfait avec P premier, alors P=2n+1-1 avec n+1 premier

Les exemples des nombres parfaits

Les exemples des nombres parfaits 4 = 2x2 25 = 5x5 1= 1x1 64 = 8x8 81 = 9x9 36 = 6x6 Les nombres en noir sont tous les carrés parfaits

Devoir maison n°1 : Exercice 1: Les nombres parfaits

Un nombre est dit parfait si ce nombre est égal à la somme de tous ses diviseurs autre que lui-même Exercice 2 : les nombres amicaux Deux nombres sont dits amicaux si la somme de tous les diviseurs de l’un est égale à la somme de tous les diviseurs de l’autre En utilisant un tableur, déterminer la liste des diviseurs de 220 et 284

Fermat, Mersenne, factorisation et nombres parfaits

j’^ote le nombre que j’ai premi erement ajout e, savoir 90061, du dernier ajout e 90081 Il reste 20, a la moiti e duquel plus 2, savoir a 12, j’ajoute la racine premi erement trouv ee 45029 La somme est 45041, auquel nombre ajoutant et otant 1020, racine de la derni ere somme 1040400, on aura 46061 et 44021,

Énigme N°6 Les nombres parfaits Réponse

MÉTHODE ème(dès la 6 ) – Trouver un nombre parfait : Lorsque le résultat d’une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier, il suffit de multiplier ce nombre premier par le dernier terme de cette somme pour obtenir un nombre parfait EXEMPLES : s+ = qui est premier donc × = est parfait

Haskell (IR3) – Listes

A l’aide d’une compr` ehension de liste, calculer la liste des nombres parfaits (et, par´ exemple, donner le quatri`eme; indice il s’agit de 8128) Existe-t-il un nombre parfait

Correction devoir maison Exercice 1 - LeWebPédagogique

nombre parfait 3) Un nombre premier peut-il être parfait ? Justifier la réponse Soit n un nombre premier Alors il est divisible uniquement par 1 et lui-même, donc la somme de ses diviseurs autres que lui est 1≠n , donc il n'est pas parfait

Oraux de mathématiques avec Python - Crans

c Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs propres Écrire une fonc-tion parfaits qui pour un entier naturel K, renvoie la liste des nombres parfaits inférieurs ou égaux à K, en affichant au fur et à mesure « p est parfait » d Deux nombres sont dits amicaux lorsque l’un est égal à la somme des diviseurs

Carrés parfaits - juliettehernandofreefr

variable carré parfait Elle prendra la valeur du carré de tous les nombres entiers de 1 à 100 variable position Elle permet de parcourir la liste « carrés parfaits »

Deuxième épreuve d’admissibilité

b) On donne ci- dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150 En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496

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Les Nombres Parfaits.Les Nombres Parfaits.Les Nombres Parfaits.Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2

Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2

ndendendende

Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX)

et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)

et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)

La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.

La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.

La

La La La deuxième partie ,qui complète "

deuxième partie ,qui complète "deuxième partie ,qui complète "deuxième partie ,qui complète "

parfaitement parfaitementparfaitementparfaitement » la première a été rédigée par les élèves de TS.

» la première a été rédigée par les élèves de TS.» la première a été rédigée par les élèves de TS.» la première a été rédigée par les élèves de TS.

PARTIE 1

PARTIE 1PARTIE 1PARTIE 1

Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale

Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale

à ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme d

à ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme dà ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme dà ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme de ses diviseurs

e ses diviseurs e ses diviseurs e ses diviseurs est égale à deux fois ce nombre.

est égale à deux fois ce nombre.est égale à deux fois ce nombre.est égale à deux fois ce nombre.

Pour mieux comprendre, prenons le premier nombre parfait : 6. Par la première formulation, on peut dire que 6=1+2+3. Et par la deuxième formulation , on a

également que 12= 2x6 =1+2+3+6.

Nous avons remarqué,en faisant de nombreux essais que les nombres parfaits nombres parfaitsnombres parfaitsnombres parfaits pairs semblaient s'écrire sous la

pairs semblaient s'écrire sous la pairs semblaient s'écrire sous la pairs semblaient s'écrire sous la

forme formeformeforme 2 222n
nnn . P, avec P nombre premier, . P, avec P nombre premier,. P, avec P nombre premier,. P, avec P nombre premier, et que P est de la forme 2 et que P est de la forme 2et que P est de la forme 2et que P est de la forme 2n+1 n+1n+1n+1 ---1, avec n+1 premier.

1, avec n+1 premier.1, avec n+1 premier.1, avec n+1 premier.

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont :

6

666 = 2x3 = 1+2+3

avec n=1 6 = 2 1 (2 2 -1) 28

282828 = 4x7 = 1+2+4+7+14

avec n=2 28=22
(2 3 -1) 496

496496496 = 16x31 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

avec n=4 496=2
4 (2 5 -1) 8 128

8 1288 1288 128 = 64 x 127 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1 016+2 032+4 046

avec n=6

8 128 = 2

6 (2 7 -1)

33 550 336

33 550 33633 550 336

33 550 336 = 4 096 x 8 191

avec n=12

33 550 336 = 212

(2 13 -1)

8 589 869 056

8 589 869 0568 589 869 0568 589 869 056 = 65 536 x 131 071

avec n=16

8 589 869 056 = 2

16 (2 17 -1)

137 438 691 328

137 438 691 328137 438 691 328137 438 691 328 = 262 144 x 524 287

avec n=18

137 438 690 328 = 2

18 (2 19 -1)

Maintenant, nous allons démontrer :

1)Si P est premier et 2

n

P parfait, alors P=2

n+1 -1

2)Si 2

n+1 -1 est premier, alors n+1 est premier.

1)Si P est premier et 21)Si P est premier et 21)Si P est premier et 21)Si P est premier et 2

nnnn P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2 n+1n+1n+1n+1 ----1111

Démonstration :

On écrit la somme des diviseurs propres de 2

n P :

P+2P+2

2 P+2 3 P+2 4

P+....+ 2

n-1 P+2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +....+2 n

Or nous savons:

(X-1) (1+X+X 2 +X 3 +X 4 +.....X n ) = ( X n+1 -1)

Donc après avoir mis P en facteur on obtient:

P(2 n -1) = P(1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 n-1 2 n+1 -1 = 1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 n

Donc, la somme des diviseurs propres de 2

n

P vaut :

P(2 n -1)+2 n+1 -1

Puisque 2

n

P est parfait, on a :

P(2 n -1)+2 n+1 -1=2 n

P ce qui nous donne :

P=2 n+1 -1.

Donc :

2222
nnnn

P = 2P = 2P = 2P = 2

nnnn (2(2(2(2 n+1n+1n+1n+1 ----1)1)1)1)

2)Si 22)Si 22)Si 22)Si 2

n+1n+1n+1n+1

----1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.

Nous allons ici raisonner par l'absurde.

Si n+1 non premier, cela implique que n+1= ab, avec a>1 et b>1

En utilisant la règle de factorisation (X

b -1) = (X-1)(X 0 +X 1 +X 2 +...+X b-1 nous avons en prenant X=2 a : 2 ab -1=2 n+1 -1=(2 a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 (2 a -1) est un entier ; (1+2 a +...+(2 a b-1 ) est un entier.

Donc (2

a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 ) est un produit de deux entiers

Donc (2

a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 ) n'est pas premier

Donc (2

n+1 -1) n'est pas premier

En conclusion :

Si 2

Si 2Si 2Si 2

n+1n+1n+1n+1

----1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.

Mais si n+1 premier, 2

Mais si n+1 premier, 2Mais si n+1 premier, 2Mais si n+1 premier, 2 n+1n+1n+1n+1

----1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.

Demonstration :

Nous savons, par démonstration, que si 2

n+1 -1 premier, alors n+1 premier.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45