Continuité sur un intervalle - MATHEMATIQUES
1 Fonctions continues sur un intervalle 1 1 Définitions La définition de la continuité sur un intervalle ou une réunion d’intervalles pose quelques problèmes techniques On commence par le cas d’un intervalle ouvert Définition 1 1) Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert non vide Ide Rà valeurs dans Rou C
Continuité sur un intervalle - hmalherbefr
TES Continuité sur un intervalle Rappels sur la dérivation f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x 0 est un nombre réel de I Si f(x 0) est un extremum local de I, alors f’(x 0) = 0 Propriété 5 Remarque: La réciproque est fausse Contre-exemple : Si f(x) = x 3 alors f’(x) = 3x²
Continuité sur un intervalle - Meilleur en Maths
Continuité sur un intervalle 1 Continuité d'une fonction 1 1 Continuité en un point Définition : Soit f une fonction définie sur un ensembleDf, et soita un réel appartenant àDf On dit que f est continue ena lorsque lim x→a f (x)=f (a) Exemple f (x)=x2 est continue en 2 puisque lim x→ 2 f (x)=22=f (2)
Continuité d’une fonction Sur un intervalle
Continuité d’une fonction Continuité d’une fonction Sur un intervalle Pour démontrer qu’une fonction est continue sur un intervalle, il suffit de dire qu’elle est composée de fonctions continues sur cet intervalle Les fonctions continues connues : Les polynômes, les fonctions sinus et cosinus et la fonction exponentielle sur R
FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ
1 3 Définition de la continuité sur un intervalle 3 1 4 Théorème des valeurs intermédiaires 3 1 5 Corollaire : image d'un intervalle par une application continue 5 2 Continuité uniforme 5 2 1 Définition de la continuité uniforme sur un intervalle Exercice : si ƒ est u-continue, elle admet une limite finie 5 2 2
Continuité – Fiche de cours
Continuité – Fiche de cours 1 Notion de continuité a Définition Une fonction définie sur un intervalle est continue si sa courbe représen???? - tative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I :
LImite et continuite - Votre école sur internet
3) Continuité sur un intervalle Définition 1) Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert non vide I de ℝ à valeurs dans ℝ ouℂ est continue sur si et seulement si O P K J P???? J Q ℎ M Q L K???? J P
Chapitre 2 : Continuité et dérivabilité
- la stricte croissance ou stricte décroissance de sur l’intervalle correspondant - la continuité de la fonction sur cet intervalle Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit une fonction continue sur un intervalle ???? avec et deux réels de ???? tel que <
Terminale S - Continuité d’une fonction, Théorème des valeurs
Continuité d’une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa
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Continuité sur un intervalle.
1. Continuité d'une fonction.................................p2
2. Le théorème des valeurs intermédiaires...........p5
Continuité sur un intervalle.
1. Continuité d'une fonction
1.1. Continuité en un point
Définition : Soitfune fonction définie sur un ensembleDf, et soitaun réel
appartenant àDf.On dit quefest continue enalorsque
limx→a f(x)=f(a)Exemple f(x)=x2est continue en 2 puisque limx→2f(x)=22=f(2)Plus généralement,
f(x)=x2est continue en toute valeuraréelle, puisque limx→af(x)=a2=f(a).1.2. Cas particulier à connaître : la fonction partie entière
Définition : La fonction partie entière est définie sur ℝ par x E(x)E(x)étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx.E(2,3)=2E(0,15)=0E(-0,7)=-1E(-3,3)=-4
Proposition: Soitnun entier relatif. Six∈[n;n+1[ , alorsE(x)=n. Démonstration : C'est une application directe de la définition : si x∈[n;n+1[, alors le plus grand entier relatif inférieur ou égal àxest n, doncE(x)=n.Continuité sur un intervalle.
Proposition: La fonction partie entière n'est pas continue en 1. Démonstration : Montrons que E n'est pas continue en 1. - Six∈[0;1[, alorsE(x)=0donc limx→1 x<1E(x)=0- Si
x∈[1;2[, alorsE(x)=1donclimx→1 x>1E(x)=1
Puisque
limx→1 x<1E(x)≠limx→1
x>1 E(x), on en déduit quelimx→1E(x)=0n'existe pas, donc la fonction partie entière n'est pas continue en 1. Proposition: La fonction partie entière n'est continue en aucune valeur p, entier relatif. Démonstration : Montrons que E n'est pas continue en p. - Si x∈[p-1;p[, alorsE(x)=p-1donclimx→p xPuisque
limx→p xE(x)≠limx→p x>p E(x), on en déduit quelimx→pE(x)=0n'existe pas, donc la fonction partie entière n'est pas continue enp.
1.3. Continuité sur un intervalle
Définition : Soitfune fonction définie sur un intervalle I. On dit quefest continue sur I lorsquefest continue en toute valeur a appartenant à I .Exemples
Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur
[0;+∞[.RemarqueInterprétation graphique
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on trace la courbe représentative sans lever le
crayon.Exemple
f(x)= {x2six<1 1 xsix⩾1Montrer que fest continue sur ℝ.Continuité sur un intervalle.
Démonstration :
- fest continue sur]-∞;1[en tant que fonction polynôme(f(x)=x2). fest aussi continue sur[1;+∞[en tant que fonction rationnelle(f(x)=1 x).Reste à voir si
fest continue en 1. - limx→1 x<1f(x)=limx→1 x<1x²=1, limx→1 x>1 f(x)=limx→1 x>1 1 x=1 1=1, - f(1)=1 1=1, donc limx→1 f(x)=1=f(1), etfest alors continue en 1.On en déduit que
fest continue sur ℝ.1.4. Propriétés des fonctions continues
La somme et le produit de deux fonctions continues sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Si fet gsont continues en x0et si g(x0)≠0alors f gest continue surx0. Si fest continue en x0et si gest continue en f(x0)alorsf∘gest continue surx0.Continuité sur un intervalle.
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
2.1. Théorème
Ce théorème est admis. On le nomme théorème des valeurs intermédiaires. Soitfune fonction définie et continue sur un intervalle [a; b].Alors, pour toute valeur
kcomprise entref(a)etf(b), l'équationf(x)=kpossède au moins solution c∈[a;b].2.2. Corollaire : le théorème de la bijection
Soitfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b].Alors, pour toute valeur
kcomprise entref(a)etf(b), l'équation f(x)=kpossède une unique solutionc∈[a;b].Démonstration :
On sait déjà, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équationf(x)=kpossède au moins une
solution c∈[a;b]. Il reste à montrer que cette solution est unique.On suppose donc (raisonnement par l'absurde) que l'équationf(x)=kpossède une deuxième solution
d∈[a;b], avecc≠d. On a alorsf(c)=f(d)=k, avecc≠dce qui contredit le fait que fest strictement monotone sur[a;b]. On en déduit quedn'existe pas et que la solutioncest unique.Continuité sur un intervalle.
Exemple gest une fonction dont on connaît le tableau de variation.Par convention, les flèches obliques du tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de
g sur les intervalles considérés. x-7-139 f(x)5 -110 5 Déterminer le nombre de solutions de l'équation g(x)=2. Sur l'intervalle [-7; -1],gest continue et strictement décroissante.L'image de [-7; -1] par
gest [-1; 5], et 2 [-1; 5], donc d'après le théorème de la bijection, l'équation∈g(x)=2 possède une solution unique α [-7; -1].∈Sur l'intervalle [-1; 3],gest continue et strictement croissante.