Les acides et les bases Corrigés des exercices
Si on dissout un peu d'oxyde de calcium dans l'eau, on obtient une solution basique Cette dissolution est accompagnée d'une réaction chimique Représentez la dissolution proprement dite à l'aide d'une équation, puis la réaction chimique entre la base libérée et l'eau à l'aide d'une autre équation Réponse : CaO (s) Ca 2+ (aq) + O 2
Exercices corrigés de maths sur les équations et inéquations
La copie d’écran ci-dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g (x)= 5x2 + x −7 et h(x) = 2x −7 Elle a recopié vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2 et B3 1 Donner un nombre qui a pour image −1 par la fonction g
Exercices A6- Fonction Logarithme Exercice 1 : Soit f définie
(c) À l’aide d’un tableau de valeurs de f obtenu à la calculatrice, déterminer une valeur décimale approchée à 10 2 de On obtient f(0;45) > 0 et f(0;46) < 0 alors 0,45 est une valeur décimale approchée à 10 2 de 5 À l’écran de la calculatrice, tracer la courbe C et la droite d’équation y = x 1
Exo7 - Exercices de mathématiques
Correction del’exercice1 N 1 On trouve R 4 0 f(t)dt =+7 Il faut tout d’abord tracer le graphe de cette fonction Ensuite la valeur d’une intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c’est-à-dire ici les valeurs en x=0, x=1,
3e Révisions équations
Prix d’une BD de Tintin : Prix d’une BD d’Astérix : Prix de 11 BD de Tintin : Prix de 7 BD d’Astérix : Prix de 7 BD d’Astérix et de 11 BD de Tintin : 2) A l’aide d’une équation, déterminer le prix d’une BD de Tintin et d’une BD d’Astérix Exercice 9 Titeuf est passionné par son roman Il a lu 260 pages en 3 jours
Correction du TD 1 Analyse dimensionelle et ordres de
Signi cation physique: coe dir d'une approximation linéaire d'une fonction en un point (sa tangente) Coe dir = ∆y ∆x (faire un schéma) On prend la limite pour avoir le droit de faire une approximation linéaire ponctuelle, et pas juste calculer l'accroissement moyen de la fonction sur un grand ∆x f0(x) = df dx
Calcul intégral Exercices corrigés
Partie A : Calcul d’une primitive On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par ( ) 1 x g x x = + 1 Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 2], ( ) 1 b g x a x = + + 2 En déduire une primitive de g sur l’intervalle [0 ; 2] Partie B : Détermination du centre de gravité d
Exo7 - Exercices de mathématiques
Résoudre les équations différentielles suivantes à l’aide du changement de variable suggéré 1 x2y00+xy0+y=0, sur ]0;+¥[, en posant x =et; 2 (1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, sur R, en posant x =tant (en fonction de m2R) Correction H Vidéo [007000] 3 Pour aller plus loin Exercice 11 Équations de Bernoulli et Riccatti 1 Équation de
Chapitre 11 Exercice 3 Exercices
l'aide d'un vocabulaire scientifique et accessible La production mondiale d'acide sulfurique H2S04 dépasse les 200 millions de tonnes par an, dont plus de la moitié est utilisée pour la synthèse d'engrais phospha- tés L 'une des étapes fonda- mentales de la synthèse de l'acide sulfurique est l'oxy- dation du dioxyde de soufre
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Exo7
Calculs d"intégrales
Fiche d"Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;4]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
Rquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
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4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
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Calculer
R40f(t)dt.
2.Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]?Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR10f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
Rquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 11.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1.Rx2lnxdx
2.Rxarctanxdx
3.RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4.Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1.R(cosx)1234sinxdx
2.R1xlnxdx
3.R13+exp(x)dx
4.R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x23x4dx
2. Rx1x2+x+1dx
3.Rsin8xcos3xdx
4.R1sinxdx
5.R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p20xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R103x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
p20(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR111x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3.Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
pSoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2.Calculer In+In+1.
3.Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1:Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale.Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n22.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ?Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban:Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2.Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3.