APPLICATIONS LINEAIRES ptsi
B NOYAU ET IMAGE Soit f une application linéaire de E dans F deux espaces vectoriels surK 1) Noyau a) Définition On appelle noyau de f l’ensemble noté Ker f défini par : Ker f u E f u= ˛ ={/ ( ) 0F} b) Théorème 1 : Ker f est un sous espace vectoriel de E Remarque : L’espace vectorielKer f contient toujours 0E c) Théorème 2 :
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B NOYAU ET IMAGE Soit f une application linéaire de E dans F deux espaces vectoriels sur K 1) Noyau a) Définition On appelle noyau de f l’ensemble noté Ker f défini par : Kerf u E fu / ( ) 0 F b) Théorème 1 : Ker f est un so u s espace vectoriel de E Remarque : L’espace vectorielKerf contient toujours 0 E
APPLICATIONS LINEAIRES
Dé nition: Image, notée Im(f), d'une application linéaire f: E F Conséquence: Im(f) est un sev de F Propriété: f surjective ssi Im(f) = F Dé nition: Noyau, noté Ker(f), d'une application linéaire f: E F Propriété: Ker(f) est un sev de E (preuve) Nombreux exercices visant à déterminer le noyau et l'image d'applications
Chapitre 15 Les applications lin eaires
Chapitre 15: Les applications lin eaires G en eralit es Dans tout ce chapitre, K d esigne R ou C, n, met psont trois entiers naturels non nuls, Eun
APPLICATIONS LINEAIRES Exercices - bagbouton
1) Donner une base de l’image et du noyau de l’endomorphisme f0 est-il un automorphisme de ? 2) Déterminer f 3 e e e 1 2 3 En déduire que n’est pas un automorphisme de 3) Montrer que, pour m ^ 3,0`, f m est un automorphisme de 4) Montrer que est une base de Exprimer m m m ;;f u f v f w en fonction des vecteurs u v w,,
Feuille d’exercices n 7 : Applications linéaires M R M R
ECE2-B 2018-2019 Feuille d’exercices n°7 : Applications linéaires Généralités:définition,noyau,image Exercice 1 (˝˝) Soitfl’applicationdéfiniepar
Espaces vectoriels et applications linéaires
On note L(E,F)l’ensemble des applications linéaires de Edans F Si E=F, on abrège la notation par L(E)=L(E,E) On appelle noyau de fnoté Kerfla partie de Edéfinie par f−1({0 F}) On note Imfl’image directe de Epar f Remarques : 1 Si Fest le corps des scalaires (c’est-à-dire F=K), on dit que fest une forme linéaire 2
UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH´ FACULTE DES SCIENCES
Op´erations sur les applications lin eaires´ Operations sur les applications lin´ eaires´ Definitions et propi´ et´ es´ 1 Addition : Soient f et g deux applications lineaires d’un´ K-espace vectoriel E vers un K espace vectoriel F L’application f +g : E F;x 7 f(x)+g(x) est lineaire On l’appelle somme de´ f et g
MPSI 14-15 Feuille n 19 : Applications linéaires
MPSI 14-15 Feuille n o 19 : Applications linéaires Du 18/02/15 au 13/03/15 Exercice 1 Soient Eun K-espace vectoriel, fet gdeux endomorphismes de E Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i) f g= get g f= f ii) fet gsont deux projecteurs et Im(f) = Im(g) Exercice 2 Soit Eun K-espace vectoriel
EXERCICES APPLICATIONS LINEAIRES - bagbouton
3) Déterminer l’image d’un triplet (x y z, ,)par la symétrie sur F parallèlement à G EXERCICE 14 : Soit p l’application définie par ( ) ( ) 2 2 x y x y x y, 4 6 ,2 3 → − − ℝ ℝ ֏ 1) Montrer que p est linéaire 2) Montrer que p est une projection dont on déterminera les éléments caractéristiques EXERCICE 15 :
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