[PDF] Développement: décomposition de Dunford

Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

Décomposition de Dunford - multexemplefreefr

Décomposition deDunford ElGarehAmin ForêtJérémy Enoncédu Théorème Démonstration Usuelle Démonstration Effective Exempleet Applications Exemplede Décompositionde Dunford Exponentiellede matrice Puissancedematrice DémonstrationUsuelle (ii)Unicité: F Parl’absurde,soitd 0etn répondantauproblème Alors d −d0= n0−n

Développement: décomposition de Dunford

Théorème 1 (Décomposition de Dunford) Soit f∈L(E) On suppose que P f est scindé sur K Alors, il existe un unique couple (d,n) ∈ L(E)2 tel que : 1 dest diagonalisable 2 nest nilpotent 3 f= d+n 4 n d= d n De plus, det nsont des polynômes en f Démonstration: Existence On écrit P f = (−1)n Q s i=1 (X−λ i)α i et N i = Ker(f

Devoir d’entrainement : corrig e

Concours commun Mines-Ponts PREMIÈRE EPREUVE FILIÈRE MP

Par unicité de la décomposition de Dunford, on a d= commD et n= commN On sait déjà que si Aest diagonalisable, alors commA est diagonalisable Réciproquement, supposons que commA soit diagonalisable On a donc d+n= commA +0 Comme 0est nilpotent et commA est diagonalisable, on a commN = n= 0par unicité de la décomposition de Dunford

Réduction de Dunford et de Jordan

Théorème (Réduction de Dunford) On suppose que le polynôme caractéristique de u est scindé Alors il existe un unique couple (d;n) 2L(E)2 tel que dest diagonalisable, nest nilpotant, d n= n det d+ n= u En outre il existe P d;P n 2K[X] tels que d= P d(u) et n= P n(u) Démonstration 1 On note 1;:::; k 2K les valeurs propres (distinctes

Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison

Mines Maths 1 MP 2011 — Corrigé

nilpotente Cette décomposition est appelée décomposition de Dunford dans ce sujet, mais vous l’avez peut-être déjà croisée sous le nom de décomposition de Jordan La partie se termine par un excellent exercice: il faut synthétiser les quatre premières questions pour en déduire la démarche de décomposition sur un cas pratique

Exercices corrigés d’algèbre linéaire 2 Réduction des

et obtenir la forme trigonale supérieure réduite et la décomposition additive dite « de Dunford » • Pour obtenir une réduction de Jordan, il faut plus de soin, mais en dim 2 et 3, cela reste facile Les réductions sont conduites avec Maple, mais suivent pas à pas les calculs manuels Exercice 1 : 1) Réduire A =

Exercicespourle26Mars Corrigé Exercice1