Erreur de troncature

et l’erreur de troncature du sch´ema de Crank-Nicolson tend vers z´ero comme O(∆t2) On dit pour cette raison qu’il est d’ordre deux 5) Sch´ema de Heun • On rappelle que ce sch´ema prend la forme (26) 1 ∆t uk+1 − uk − 1 2 h f(uk) + f uk +∆tf(uk) i = 0 L’erreur de troncature se d´eﬁnit comme dans les cas pr´ec

ANALYSE DES ERREURS DAPPROXIMATION DANS LES PROBLÈMES

Erreur de troncature, erreur d’approximation Erreur itérative, complexité, multigrilles Retour aux Éléments Finis, coercivité, convergence HYPERBOLIQUE Introduction : Fluide parfait compressible Equations d’Euler, propriétés générales : hyperbolicité, nonlinéarité Convergence des schémas linéaires Analyse de l’erreur par la

Analyse num erique 3 : evolution Gabriel TURINICI cours 2010-2011

le sch ema num erique est dite erreur de troncature Ici il s’agit de ˝ n+1(h) qui est l’erreur de troncature locale au pas n+ 1 L’erreur de troncature globale est : ˝(h) = max n=1;:::;N j˝ n(h) j Remarque 1 L’erreur de troncature est ici la m^eme chose que l’erreur entre X n+1 et le U n+1 obtenu en partant de U n= X n Exemples

Chapitre 2 METHODE DES DIFF ERENCES FINIES

Exercice 2 2 2 Pour chacun des sch emas de la Sous-section 2 2 1, v eri er que l’erreur de troncature est bien du type annonc e dans le Tableau 2 1 (On remarquera que tous ces sch emas sont consistants sauf celui de DuFort-Frankel ) Correction Le calcul de l’erreur de troncature d’un sch ema est souvent d elicat a mener

1 Sch´ema R-K d’ordre 3 - Centre de Recherche en

et rentrer dans Eq (4) pour obtenir que l’erreur de troncature est O(h2) (tous les termes d’ordre inf´erieur se simpliﬁent) Le sch´ema est donc d’ordre au moins 2 2 Estimation d’erreur sur une EDP Soit V un espace de Hilbert a(·,·) : V × V → R une forme bi-lin´eaire, continue et elliptique (i e ,

The functions erf and erfc computed with - ENS de Lyon

une erreur relative born´ee par 2−t′ Nous´etudions trois algorithmes diﬀ´erents pour´evaluer erf et erfc Ces al-gorithmes sont expliqu´es en d´etails En particulier, nous d´ecrivons com-ment d´eterminer l’ordre de troncature, comment analyser les erreurs d’arrondi et comment choisir la pr´ecision interm´ediaire de travail Le

Eﬀets des approximations num´eriques et de la mod´elisation

r´ecursive de l’erreur de troncature [7] Aﬁn de r´eduire le couˆt de calcul et simpliﬁer le traitement des discontinuit´es, la matrice de dissipation des sch´emas DNC peut-ˆetre

ECOLE POLYTECHNIQUE 3`eme ann´ee, MAP 567 Transport et

a cause des conditions aux limites de p´eriodicit´e 4) Pour exploiter la forme du sch´ema on pratique les d´eveloppements de Taylor autour du point tn+1/2,xj, ce qui assure l’ordre 2 en temps On calcule l’erreur de troncature du sch´ema d´ecentr´e amont E= u(tn+1,xj) −u(tn,xj) ∆t + a 2∆x (δu)(tn+1,xj) +(δu)(tn,xj) avec

Corrig´e de l’examen d’Analyse Num´erique du 14 mai 2013 Exercice

Corrig´e : Une premi`ere condition de consistance impose α + β = 1 Pour ´evaluer l’ordre on doit faire le d´eveloppement de l’erreur locale de troncature εn j pour u une solution suﬃsamment r´eguli`ere de l’´equation de transport Le sch´ema ´etant manifestement ´ecrit au temps t n et au point x j, faisons des

Corrig´e de l’examen d’Analyse Num´erique du mardi 1er juin

compte la condition de Neumann, formez le syst`eme a r´esoudre a chaque pas de temps et la matrice associ´ee Discutez de l’existence et de l’unicit´e de sa solution Corrig´e : On remarque que x 1 = ∆x 2 et x N+1 = 1 Pour tenir compte de la condition de Neumann en x = 0 dans le sch´ema ´ecrit au point x 1 = ∆x 2 on a les d

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Chapitre 3

1) Probl

ematique Nous cherchons `a connaˆıtre les solutionst?-→u(t) de l"´equation diff´erentielle (1)du dt=f(u), t >0 au moins de mani`ere approch´ee aux instants (2)tk=kΔt , k?IN,Δt >0 fix´e. Pour cela, nous avons `a notre disposition les quatre sch´emas propos´es au chapitre pr´ec´edent (et il en existe aussi beaucoup d"autres !) qui fournissent une valeur approch´eeuk`a l"instanttk.Nous notonsukΔtla valeur num´erique approch´ee avec le sch´ema num´erique pour un pas de temps Δt.Nous cher- chons `a comparer cette valeur approch´eeukΔt`a la valeur exacteu(tk). Plus pr´ecis´ement, fixonsT >0 relativement "grand" devant le temps caract´eristiqueτde variation des solutions de l"´equation (1). L"´ecart entre la solution exacte et cette valeur approch´ee est not´ee?kΔt: Nous voulons que cet ´ecart reste "petit", ce pourtousles instants discrets kΔtjusqu"au tempsT.On introduit doncl"erreurδ(Δt) : (4)δ(Δt) = sup et on souhaite queδ(Δt) soit "petit" pour Δt"assez petit". En d"autres termes, on souhaite queδ(Δt)tende vers z´erolorsque le pas de temps Δt tend vers z´ero. Comment aborder l"´etude de ce probl`eme ? En effet, si on saita priori calculerukΔtavec l"algorithme associ´e au sch´ema num´erique (et sa mise en oeuvre sur ordinateur), on ignore tout deu(kΔt),valeur de la solution exacte de l"´equation (1) `a l"instant discrettk.L"astuce consiste `arenverser les rˆoles, ce qui conduit `a la notion d"erreur de troncature. Nous verrons en fin de chapitre que si le sch´ema eststable, l"erreur de troncature donne une bonne estimation de l"erreurδ(Δt).

Franc¸ois Dubois

2) Sch

ema d"Euler explicite

Nous ´ecrivons ce sch´ema

(5)

Δt?uk+1-uk?-f?uk?= 0.

A partir d"une valeuruk`a l"instant discretkΔt,le sch´ema d"Euler ex- plicite reconstitue une valeuruk+1qui veut ˆetre une valeur approch´ee de u((k+ 1)Δt).Imaginons qu"on parte de la valeur exacteu(kΔt)i.e.qu"on supposeuk=u(kΔt).Le sch´ema num´erique (5) calcule une valeuruk+1 diff´erentedeu((k+ 1)Δt),puisque le sch´ema num´erique (5) n"est qu"une approximationde la relation exacte (6)

Δt?u((k+ 1)Δt)-u(kΔt)?-1Δt?

(k+ 1)Δt kΔtf?u(t)?dt= 0. Nous injectonsuk=u(tk),valeur exacte dans le sch´ema (5). Nous avons alorsuk+1=u(kΔt) + Δtf?u(kΔt)??= 0,soit en d"autres termes (7) Δt?u((k+ 1)Δt)-u(kΔt)?-1Δtf?u(kΔt)?= 0. La solution exacte de l"´equation (1) n"est en g´en´eralpassolution du sch´ema num´erique (5). C"est cet ´ecart qu"on appelle "erreur de troncature". Nous d´efinissons cette erreur de troncatureTautour d"un tempst >0 arbitraire, d"un pas de temps de temps Δt >0 quelconque ´egalement et pour une solutionu() de l"´equation diff´erentielle (1). Nous posons pour le sch´ema d"Euler explicite : (8)T?Δt, t;u()?≡1

Δt?u(t+ Δt)-u(t)?-f?u(t)?.

Cette erreur de troncature mesure "en quoi le sch´ema est malv´erifi´e pour une solution exacte de l"´equation `a r´esoudre". Si elle est grande, on a peu d"espoir. Si elle est "petite", tr`es petite pour Δtassez petit, on imagine que le sch´ema "simule bien" l"´equation (1) et qu"en cons´equence c"est l"erreurδ(Δt) qui sera petite ! Mˆeme si on ne connaˆıt pas la solutionu() de l"´equation (1), on peut faire led´eveloppement limit´ede l"erreur de troncatureT?Δt, t;u()? lorsque le pas de temps Δttend vers z´ero. Grˆace `a la formule de Taylor (9)u(t+ Δt) =u(t) + Δtdu dt(t) +12Δt2d2udt2(t) + O(Δt3). Siu() est assez r´eguli`ere, nous tirons de (8) :

Erreur de troncature

(10)T?Δt, t;u()?=?du dt(t)-f(u(t))? +Δt2d

2udt2(t) + O(Δt2),

ce qui constitue un d´eveloppement limit´e de l"erreur de troncature. Puisque u() est solution du syst`eme dynamique (1), le premier terme dumembre de droite de la relation (10) estnul. Nous en d´eduisons, puisqu"a priori

2u/dt2est non nul :

(11)T?Δt, t;u()?= O(Δt). Nous avons mis en ´evidence l"ordre asymptotique de convergence de l"erreur de troncature du sch´ema d"Euler explicite. Il estde la forme O(Δt1), avec la valeur "unit´e" comme exposant de Δt.Pour cette raison, on dit que le sch´ema d"Euler explicite estd"ordre 1.

3) Sch

ema d"Euler implicite Nous proc´edons pour le sch´ema d"Euler implicite (12)

Δt?uk+1-uk?-f?uk+1?= 0

comme pour le sch´ema d"Euler explicite. Nous introduisonsunesolution u() de l"´equation (1), et injectons le valeursu(t) etu(t+Δt) dans l"expres- sion (12) du sch´ema, rempla¸cant le temps discrettk=kΔtpar le temps continut: (13)T?Δt, t;u()?=1

Δt?u(t+ Δt)-u(t)?-f?u(t+ Δt)?.

Nous d´efinissons ainsi l"erreur de troncature du sch´ema d"Euler implicite. Afin de connaˆıtre son comportement asymptotique pour Δttendant vers z´ero, nous avons besoin de d´evelopperf(u(t+Δt)).Nous l"effectuons au troisi`eme ordre de pr´ecision.

Lemme 1.D´eveloppement limit´e.

Pourt?-→u(t) r´eguli`ere etu?-→f(u) r´eguli`ere, nous avons (14)?????f ?u(t+ Δt)?=f?u(t)?+ Δtdu dtf?(u(t))+

Δt2

2udt2f?(u(t)) +12?

Δtdudt?

2f??(u(t)) + O(Δt3).

Preuve du lemme 1.

Nous ´ecrivons la formule de Taylor pourf(u(t)+v),pour un infiniment petit va prioriarbitraire :

Franc¸ois Dubois

(15)f(u(t) +v) =f(u(t)) +v f?(u(t)) +v2

2f??(u(t)) + O(v3)

puis nous particularisonsvcompte tenu du d´eveloppement donn´e en (9) : (16)v= Δtdu dt(t) +12Δt2d2udt2(t) + O(Δt3).

On a donc

(17)

2v2=12?

Δtdudt?

2+ O(Δt3)

(18) O(v3) = O(Δt3). On injecte les relations (16) `a (18) au sein du d´eveloppement (15). On re- marque quef?u(t+Δt)?=f?u(t)+v+O(Δt3)?=f?u(t)+v?+O(Δt3), donc f?u(t+ Δt)?=f?u(t)?+?

Δtdu

dt+12Δt2d2udt2? f?(u(t))+

Δtdudt?

2f??(u(t)) + O(Δt3),

ce qui constitue exactement le d´eveloppement (14) annonc´e. Avec la d´efinition (13) de l"erreur de troncature et le d´eveloppement (14), on a

T?Δt, t;u()?=du

dt+Δt2d

2udt2-?

f(u(t)) + Δtdudtf?(u(t))? + O(Δt2) ?du dt-f(u(t))? + Δt?12d

2udt2-dudtf?(u(t))?

+ O(Δt2). Siu() est solution de l"´equation diff´erentielle (1), on adu dt=f(u(t)) et par d´erivation par rapport au temps de cette identit´e : dt2=ddt? f(u(t))? =f?(u(t))dudt donc le d´eveloppement de l"erreur de troncature s"´ecrit (19)T?Δt, t;u()?=-Δt

2udt2+ O(Δt2)

ce qui montre quele sch´ema d"Euler r´etrograde est d"ordre 1.

Erreur de troncature

4) Sch

ema de Crank-Nicolson C"est en quelque sorte la "moyenne" entre les deux sch´emas d"Euler (5) et (12) : (20)1

Δt?uk+1-uk?-12?

f(uk) +f?uk+1??= 0. De mani`ere analogue aux deux autres sch´emas, on introduitune solution de l"´equation diff´erentielle (1), on remplaceukparu(t) etuk+1paru(t+Δt) dans l"expression (20) du sch´ema, et le r´esultat obtenud´efinitl"erreur de troncature : (21)T?Δt, t;u()?≡u(t+ Δt)-u(t)

Δt-12?f(u(t)) +f(u(t+ Δt))?.

Le d´eveloppement limit´e de l"erreur de troncature (21) dusch´ema de Crank-Nicolson s"obtient en rapprochant les d´eveloppements (9) et (14). Nous obtenons :

T?Δt, t;u()?=du

dt+Δt2d

2udt2+Δt26d

3udt3+ O(Δt3)

f(u(t)) +f(u(t)) + Δtdudtf?(u(t)) +Δt22d

2udt2f?(u(t))

Δtdudt?

2f??(u(t))?

+ O(Δt3) (22) ?Δt, t;u()?=?du dt-f(u(t))? +Δt2? d2udt2-dudtf?(u(t))?quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

[PDF] Erreur de troncature - Université Paris-Saclay

Chapitre 3

Erreur de troncature

1) Probl

Franc¸ois Dubois

2) Sch

Nous ´ecrivons ce sch´ema

Δt?uk+1-uk?-f?uk?= 0.

Δt?u((k+ 1)Δt)-u(kΔt)?-1Δt?

Δt?u(t+ Δt)-u(t)?-f?u(t)?.

Erreur de troncature

2udt2(t) + O(Δt2),

2u/dt2est non nul :

3) Sch

Δt?uk+1-uk?-f?uk+1?= 0

Δt?u(t+ Δt)-u(t)?-f?u(t+ Δt)?.

Lemme 1.D´eveloppement limit´e.

Δt2

2udt2f?(u(t)) +12?

Δtdudt?

2f??(u(t)) + O(Δt3).

Preuve du lemme 1.

Franc¸ois Dubois

2f??(u(t)) + O(v3)

On a donc

2v2=12?

Δtdudt?

2+ O(Δt3)

Δtdu

Δtdudt?

2f??(u(t)) + O(Δt3),

T?Δt, t;u()?=du

2udt2-?

2udt2-dudtf?(u(t))?

2udt2+ O(Δt2)

Erreur de troncature

4) Sch

Δt?uk+1-uk?-12?

Δt-12?f(u(t)) +f(u(t+ Δt))?.

T?Δt, t;u()?=du

2udt2+Δt26d

3udt3+ O(Δt3)

2udt2f?(u(t))

Δtdudt?

2f??(u(t))?

Nous ´ecrivons ce sch´ema

Preuve du lemme 1.

T?Δt, t;u()?=du

T?Δt, t;u()?=du