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Déterminer le rayon de convergence R et la somme lorsqu’elle converge de la série entière ≥0 n n an x 29 Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : a ≥ − − 1 1 ( 1) 2 n n n n z n n, b ≥0 2 n n n z, c ≥ = 1 1 ( ) n n n n k z ne sh k, d ≥ − − 1 2 1 1

Sequences and series - GitHub Pages

Contents List of Definitions, Assumptions, Propositions and Theorems iii 1 Definitions and notation 1 2 Convergence of sequences 4 3 Convergence of series 6

3 Séries entières ; solutions - PSI Fabert

1 2 Rayons de convergence : Soit X a nx n une série entière de rayon de convergence R a ni non nul Que peut on dire des rayons de convergence des séries entières suivantes :X a n x 2n, X a2xn, X a 2nx n, Xa n n xn, X 1 a n xn (en supposant de plus que ∀n ∈ N, a n 6= 0 ) SOLUTION : • a nx2n = a n(x2)n, série qui converge absolument

SERIES SOLUTIONS OF ODES WITH VARIABLE COEFFICIENTS

The convergence interval is the interval for which the series, s(x), converges Note that the series always converges for x= x 0, since, then all terms except for the rst one, a 0, are equal to zero The convergence interval is thus de ned as follows jx x 0j

Suites et séries de fonctions - AlloSchool

Convergence simple, uniforme ou normale de séries de fonctions 9 Etudier la convergence simple des séries ∑un de fonctions définies ci-dessous, puis une fois déterminé l’ensemble D sur lequel la série converge simplement, étudier sa convergence normale sur les ensembles proposés a ∀ n ∈ , ∀ x ∈ , 1 ( ) 2 −+ = n n e u

Series Solutions of Linear Equations - UCLA Bionics Lab

interval of convergence, the series of constants is convergent by the alternating series test At the right endpoint x 5, the series is the divergent harmonic series The interval of convergence of the series is [1, 5), and the radius of convergence is R 2 • APowerSeries Defines a Functio Apower series defines a function

Convergence in Mean (L2 Convergence) of Fourier Series

Convergence in Mean (L2 Convergence) of Fourier Series Xu-Yan Chen Contents

Cours 09 : Séries entières

On conclut avec le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions ˇ Il ne faut pas confondre la convergence normale sur D(0,r) pour tout r ˙ R et la convergence normale sur D(0,R) Par exemple, la série entière X n˚0 zn-dont le rayon de convergence est égal à 1- converge donc norma-

Cours 04: Séries Numériques

de calcul, a contribué à focaliser l’attention des mathématiciens sur la notion d’absolue convergence, domaine des séries où ce type de pathologie n’apparait pas Nous avons vu que ¯1X k˘1 (¡1)k¯1 k ˘ ¯1X k˘1 µ 1 2k¯1 ¡ 1 2k¯2 ¶ ˘ln2 Sommons dans un ordre différent : puisque N⁄ ˘ a k2N ‰ 1 2k¯1, 1 4k¯2, 1 4k¯4

Le role des politiques monétaires et la convergence

e rapport est relatif au rôle des politiques monétaires et de la convergence macroéconomique dans le développement des secteurs financiers dans les pays du sud de la méditerrannée 2 Au niveau de la conduite des politiques monétaires et de change par les banques centrales, il en

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???xnn n ??2n n? x 2n ??S(x) =∞? n=0π

0= 3, π1= 1, π2= 4, π3= 1, π4= 5, π5= 9??? ??????

n=1a nxn??an=11 + 2 + 3 +...+n n=1u nxn??un= 1 +12 +13 +14 +...+1n n=1cos ?2nπ3 ?n xn n=0x n(2n)! n=0cos(nθ)n!xn n=1sin(nθ)n xn??T(x) =∞? n=1cos(nθ)n xn n=1(n! + 2!)(n+ 2)!xn ?? ???????n?N, an=1n n a n+1a n=nn(n+ 1)n+1=1(n+ 1)?1 +1n nn→∞≂1n.e n=e) ????limn→+∞a n+1a n= 0??R= +∞? ?? ????x?C???n?N??????un=?2n n? x 2n u n+1u n=? 2n+2 n+1?? 2n n? x2=(2n+2)!(n+1)!2(2n)!n!n!x

2=(2n+ 1)(2n+ 2)(n+ 1)2x2=2(2n+ 1)n+ 1x2n→∞-→4x2

??4x2>1 (?? |x|>12 ??4x2<1 (?? |x|<12 •????x= 0, S(0) =π0= 3? ????x=110 , S(110 ) =a0+a110 +a210

2+a310

3+...=∞?

n=0π n10 n=π ???n?N,1 + 2 + 3 +..+n=n(n+ 1)2 ????an=2n(n+ 1)= 2(n+ 1)-nn(n+ 1)=2n -2n+ 1 ????limn→+∞a n+1a n= 1??R=11 = 1? • ?x?[-1,1], S4(x) = 2∞? n=1? xnn -xnn+ 1? ? ??x= 1,p? n=11n -1n+ 1= 1-1p+ 1?? ?? ??????? ? ?? ?????? ?????p→+∞?S(1) = 2? S

4(x) = 2∞?

n=1x nn -2∞? n=1x nn+ 1= 2∞? n=1x nn -2x n=2x nn ?x?[-1,1[, S4(x) =-2ln(1-x)-2x (-ln(1-x)-x) =2(1-x)x ln(1-x) + 2 ???n?N?,un+1u n=1 +12 +...+1n +1n+11 + 12 +...+1n = 1 +1(n+ 1)(1 +12 +...+1n )n→∞-→1 ????R=11 ?? ?? ?????(bn)n≥0?????? ??? ?b0= 0???n?N?, bn=1n

0=a0b0= 0

c

1=a0b1+a1b0= 1

c

2=a0b2+a1b1+a2b0= 1 +12

?n?N, cn=n? k=0a n-kbk=n? k=1a n-k???? =1b k???? 1k =n? k=11k =un n=0a nxn=∞? n=0x n=11-x n=0b nxn=∞? n=1x nn =-ln(1-x) ?x?]-1,1[,∞? n=0c nxn=? n=0a nxn?? n=0b nxn? =-ln(1-x)1-x ?????x?]-1,1[, S5(x) =∞? n=1u nxn=-ln(1-x)1-x ??S(x) =-12 ln(x2+x+ 1) •??x >0, x= (⎷x)2??S(x) =+∞? n=0⎷x

2n(2n)!=??(⎷x)

•??x <0, x=-(⎷-x)2??S(x) =+∞? n=0? (-⎷-x)2?n(2n)!=+∞? n=0(-1)n(⎷-x)2n(2n)!= cos(⎷-x) ?x?R, S(x) =12 n=0e inθ+e-inθn!xn=12 n=0(eiθx)nn!+12 n=0(e-iθx)nn!

S(x) =12

(exp(xeiθ) + exp(xe-iθ)) =12

S(x) =excosθ2

(eixsinθ+e-ixsinθ) =excosθcos(exsinθ) ?x?R,∞? ???1? ?x?]-1,1[, S?(x) =∞? n=1sin(nθ)xn-1=∞? n=1e inθ-e-inθ2ixn-1 S ?(x) =12i? e iθ∞? n=1(xeiθ)n-1-e-iθ∞? n=1(xe-iθ)n-1? 12i? e iθ∞? n=0(xeiθ)n-e-iθ∞? n=0(xe-iθ)n? S ?(x) =12i? eiθ1-xeiθ-e-iθ1-xe-iθ? S ?(x) =12ie iθ-e-iθx

2-2xcosθ+ 1=sinθ(x-cosθ)2+ sin2θ

?x?]-1,1[, S(x) =S(0) +? x 0

S?(t)dt= 0 +?

???????t-cosθsinθ?? x 0

S(x) =???????x-cosθsinθ?

-???????-cosθsinθ? =???????x-cosθsinθ? +???????cosθsinθ?

S(x) =???????x-cosθsinθ?

tan(π2 π2 -θ?]-π2 ,π2 [?? ???????tan(π2 -θ)?=π2 +π2 -θ?x?]-1,1[,∞? n=1sin(nθ)n xn=???????x-cosθsinθ? +π2 ?x?]-1,1[, T?(x) =∞? n=1cos(nθ)xn-1=∞? n=1e inθ+e-inθ2 xn-1 T ?(x) =12 e iθ∞? n=1(xeiθ)n-1+e-iθ∞? n=1(xe-iθ)n-1? T ?(x) =12 eiθ1-xeiθ+e-iθ1-xe-iθ? T ?(x) =12 e iθ+e-iθ-2xx

2-2xcosθ+ 1=cosθ-xx

2-2xcosθ+ 1

?x?]-1,1[, T(x) =T(0) +? x 0

T?(t)dt= 0-12

?ln(t2-2tcosθ+ 1)?x 0

T(x) =-12

ln(x2-2xcosθ+ 1)?x?]-1,1[,∞? n=1cos(nθ)n xn=-12 ln(x2-2xcosθ+ 1)???S(x) =∞? n=0(n! + 2!)(n+ 2)!xn a n+1a

n=(n+ 1)! + 2(n+ 3)!×(n+ 2)!(n! + 2!)≂n→+∞(n+ 2)(n+ 1)(n+ 3)(n+ 2)-----→n→+∞1????R=11

= 1• ?x?]-1,1[,S(x) =∞? n=0n!(n+ 2)!xn+∞? n=02(n+ 2)!xn=∞? n=0x n(n+ 1)(n+ 2)+ 2∞? n=0x n(n+ 2)!

S(x) =∞?

n=0?

1n+ 1-1n+ 2?

x n+2x

2∞

n=0x n+2(n+ 2)!

S(x) =∞?

n=0x nn+ 1-∞? n=0x nn+ 2+2x

2∞

n=2x nn!

S(x) =1x

n=0x n+1n+ 1-1x

2∞

n=0x n+2n+ 2+2x

2(ex-1-x)

S(x) =1x

n=1x nn -1x

2∞

n=2x nn +2x

2(ex-1-x)

S(x) =-1x

ln(1-x)-1x

2(-ln(1-x)-x) +2x

2(ex-1-x)S(x) =?1x

2-1x ln(1-x) +1x +2x ?a ?a nx2n??a2nxn??a

2nxn??ann!xn??1a

|x2|> R(?? |x|>⎷R) ????R

1=⎷R

•????x >0?a2nxn= (an?|x|)2-----→n→+∞0???|x|< R????R2?R??????? ?? ????? ??????? a ????R ????R ?M?R+,?n?N,|anrn|?M????|an|?Mr n ???????x?R,??ann!xn???Mn!??xr ????R n? 1x n?? ???? ??? ???? ? ?? ?? ??????1a n? 1x <1|x| ????R 5?1R n=0(3n2+ 9n+ 4)xn= 0 n=0x ?x?]-1,1[,1(1-x)2=∞? n=0,1nx n-1=∞? n=0(n+ 1)xn??

2(1-x)3=∞?

n=0,1,2n(n-1)xn-2=∞? n=0(n+ 2)(n+ 1)xn

3X2+ 9X+ 4 = 3(X+ 1)(X+ 2)-2

????? ??|x|<1,∞? n=0(3n2+ 9n+ 4)xn=∞? n=0? (3(n+ 1)(n+ 2)-2? xn= 3∞? n=0(n+ 2)(n+ 1)xn-2∞? n=0x n n=0(3n2+ 9n+ 4)xn=6(1-x)3-2(1-x)=6-2(1-x)2(1-x)3=-2x2+ 4x+ 4(1-x)3 n=0(3n2+ 9n+ 4)xn= 0?? |x|<1??-2x2+ 4x+ 4 = 0 ?? |x|<1??x2-2x-2 = 0 ?? |x|<1??x= 1 +⎷3??x= 1-⎷3 ????(un)?? ????? ?????? ??? ? u

0= 1???n?N, un+1=n?

k=0u kun-k n=0u u 1= 1 u 2= 2 u 3= 5 u

4= 14........ u10= 16796

n=0u ?x?]-R,R[, S(x) =∞? n=0u nxn n=0c nxn?? ????? ??????? ??????? ?? ?????? ??∞? n=0u nxn??? ???? ???? ? ???????c

0=u0u0= 1

c

1=u0u1+u1u0= 2

c

2=u0u2+u1u1+u2u0= 5

?n?N, cn=n? k=0u kun-k=un+1 n=0c nxn=? n=0u nxn?? n=0v nxn? ??????x?]-R,R[,∞? n=0c nxn=? n=0u nxn? 2 =? ?x?]-R,R[,∞? n=0u n+1xn=? n=0u nxn? 2 =S2(x) =? ?x?]-R,R[,∞? n=0u =? ?x?]-R,R[, S(x)-u0=xS2(x) =? ?x?]-R,R[, xS2(x)-S(x) + 1 = 0 ??????x?]-R,R[∩]- ∞,14 ]- {0}, S(x) =1 +⎷1-4x2x??S(x) =1-⎷1-4x2x ????? ?????x?]-R,R[∩]- ∞,14 ]- {0}, S(x) =1 +⎷1-4x2x? ?????x?]-R,R[∩]- ∞,14 ??????x?]-R,R[∩]- ∞,14 ?? ???? ????α?R,?u?]-1,1[,(1 +u)α= 1 +∞? n=1α(α-1)...(α-n+ 1)n!un ?????u?]-1,1[,⎷1 +u= (1 +u)12 = 1 +∞? n=112 (12 -1)...(12 -n+ 1)n!un ?u?]-1,1[,⎷1 +u= 1 +∞? n=112 (-12 )(-32 )...(-2n+32 )n!un= 1 +∞? n=1(-1)n-11.3.5. ...(2n-3)2 nn!un ?u?]-1,1[,⎷1 +u= 1 +∞? n=1(-1)n-1(2n-2)!2

2n-1n!(n-1)!un

?u?]-14 ,14 [,⎷1-4x= 1 +∞? n=1(-1)n-1(2n-2)!2

2n-1n!(n-1)!(-4x)n= 1-2∞?

n=1(2n-2)!n!(n-1)!xn ??????x?]-R,R[∩]-14 ,14 [-{0}, S(x) =1-⎷1-4x2x=22x∞ n=1(2n-2)!n!(n-1)!xn=∞? n=0(2n)!(n+ 1)!n!xn R >0? n=0v nxn???n?N,vn=(2n)!(n+ 1)!n!?? ?????R?=14 ,14 [, T(x) =1-⎷1-4x2x?? ???? ???sT2(x)-T(x) + 1 = 0 v

0= 1???n?N, vn+1=n?

k=0v kvn-k ?n?N, an+2=an+1+ann+ 2 ?? ??????? ?? ?????? ?? ?? ?????(an)?

S(x) =∞?

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S(x) =a0+a1x+∞?

n=0a n+2xn+2=a0+a1x+∞? n=0? a n+1+ann+ 2? x n+2

S(x) =a0+a1x+∞?

n=0a n+1xn+2+∞? n=0a nn+ 2xn+2

S(x) =a0+a1x+x∞?

n=0a n+1xn+1+∞? n=0a nn+ 2xn+2=a0+a1x+x(S(x)-a0) +∞? n=0a nn+ 2xn+2 ?x?]-1,1[, S?(x) =a1+S(x)-a0+xS?(x) +∞? n=0aquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26