EXEMPLES DÉTUDE DE LA CONVERGENCE DE SÉRIES NUMÉRIQUES
série (comparaison, avec une série de Riemann, comparaison avec une intégrale) Exercice 2 Soient α ∈ + ∗ et u la suite définie sur par : u n = (−) + 1 1 n αn 1 Montrer que la série de terme général un est convergente et que : un n= ∞ 0 = dt 0 1 t 1 + α (Utilisation du TSCSA et des séries géométriques) 2 En déduire
6 Critères de convergence d’une série
En d’autres termes, une série majorée par une série convergente est éga-lement convergente 2) Si u k >v k pour tout k>pet que la série de terme v k diverge, alors la série de terme u k diverge En d’autres termes, une série minorée par une série divergente est égale-ment divergente
SERIES NUMERIQUES - univ-rennes1fr
Pour une série convergente, ∑ n ≥ 0 un, de somme S et de sommes partielles Sn, on appelle reste d'ordre n (ou de rang n) la différence Rn = S - Sn Rn est aussi la somme de la série convergente ∑ p ≥ n + 1 up , c'est-à-dire Rn = ∑ p = n + 1 & up Exemple Si un = 1 n(n + 1) pour n ≥ 1 , on obtient un = 1 n - 1 n + 1
Convergence absolue et semi-convergence, cours de premier
n est absolument convergente 2 Semi-convergence 2 1 Définition Définition : Une série convergente non absolument convergente est dite semi-convergente 2 2 Cas des séries alternées Définition : On dit qu’une série P u n à termes réels est alternée si la suite ((−1)nu n) n est de signe constant 2
1 INTRODUCTION AUX SÉRIES - Christophe Bertault
Exemple La série X1 n, dite série harmonique, diverge — ET POURTANT: lim n→+∞ 1 n =0 Démonstration • Preuve n 1 : Pour tout n ∈ N∗: X2n k=n+1 1 k ¾ X2n k=n+1 1 2n = n 2n = 1 2, or si la série X1 n était convergente de somme S, on aurait : X2n k=n+1 1 k = X2n k=1 1 k − Xn k=1 1 k −→ n→+∞ S −S =0 — contradiction
Séries - mathematiqueselodiebouchetfr
k, le reste d'une série convergente converge toujours vers 0 Exemple 1 Soit q2R, la série X qnest appelée série géométrique de raison q Pour tout n2N, on a : S n= Xn k=0 qk= (1 qn+1 1 q si q6= 1 n+1 si q= 1: La série P q nconverge si et seulement si jqj
Cours 04: Séries Numériques
ˇ La série X un est dite convergente lorsque la suite des sommes partielles (Sn)n2N admet une limite finie ‘2E Dans le cas contraire, elle est dite divergente ˇ Si la série converge, on note sa limite ¯1 X k˘0 uk ˘ lim n¯1 n k˘0 uk et pour tout n 2N,Rn ˘ ¯1X k˘0 uk ¡Sn ˘ ¯1 k˘n¯1 uk La limite de la série X un est
Exo7 - Cours de mathématiques
exemple, pour la série harmonique X n˚1 1 n on a X2n k˘n 1 k ˘ 1 n ¯ 1 n¯1 ¯¢¢¢¯ 1 2n ˚ 1 2n ¯ 1 2n ¯¢¢¢¯ 1 2n ˘ 1 2, ce qui implique que cette série est divergente Définition 1 3 On dit qu’une série P un est absolument convergente si la série P junj est convergente En utilisant le critère de Cauchy, on démontre la
Exo7 - Cours de mathématiques
On peut noter une série de différentes façons, et bien sûr avec différents symboles pour l’indice : + X1 i=0 ui n2N un P k>0 uk uk Pour notre part, on fera la distinction entre une série quelconque X k>0 uk, et on réservera la notation +X1 k=0 uk à une série convergente ou à sa somme 1 2 Série géométrique Proposition 1 Soit q
Suites numériques Convergence, valeurs d’adhérence Exemples
Par exemple, ( 1)n) ne converge On sait que cette série diverge d’adhérence n’est pas nécessairement convergente Exemple : la suite de terme général
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1 UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).