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Exercice : Séries télescopiques Justifier la convergence et donner la somme de rang et le case échéant, la somme de la série dont le terme général est le suivant : Solution a) Rappelons la formule : donc : La série converge et : Donc : b) On a : donc la série diverge et : donc la série est téléscopique et :
TD2 - Séries
Exercice IV On considère c n = Xn k=1 k = n(n+1) 2 1 Soit a n = 1 cn Montrer que a n est une série téléscopique 2 Évaluer la somme X∞ n=1 a n 3 On considère maintenant a n = ln 1+ 1 n Montrer que a n est une série téléscopique et en déduire le terme général de la suite des sommes partielles de a n 1
Séries - Mathématiques en ECS1
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Corrigé du DM no 1 - Série numérique
Corrigé du DM no 1 - Série numérique Exercice 1 (Somme téléscopique) Montrerquelasérie X n 0 3 (3n+1)(3n+4) convergeetcalculersasomme Notonspourtoutn 0;u n = 3 (3n+1)(3n+4) On a l’équivalence entre suites positives : u n ˘ n+1 1 3n2 Comme 1 3n2 est le terme général d’unesérieconvergente,alorsd
X 1 X n 1 Exercice Résolution
La série est téléscopique donc (a n) converge et il existe tq a n = +o(1) D’où le résultat Exercice On pose u 0 0 et 8n2N?;u n+1 = e nu n+1 Préciser la limite de u n et nu n Nature de P P u n et de ( 1)nu n Résolution On a, par récurrence immédiate, (u n) positive De plus, 8n 0;u n 1 n 0 donc u n 0 P(n+ 1)u n+1 = e u n 1
Séries Numériques (corrigé des indispensables)
Remarque : la convergence de la série pouvait être obtenue simplement avec un équivalent Séries à termes positifs ou de signe constant 4 • La première série est à termes positifs et : n n n 1 ~ 2 +1 +∞, donc la série diverge puisque la série harmonique diverge • Pour la deuxième série, elle est encore à termes positifs et
Séries numériques - Claude Bernard University Lyon 1
3 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ ( ) Exercice 23 On considère la série numérique de terme général pour et : ( ()) 1 Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée, elle converge pour tout 2 Montrer que si la série est divergente On pourra utiliser un développement limité de ( ) 3
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Exercice 11 : Montrer que les séries de termes généraux positifs a n et a n a n+1 sont de même nature Exercice12: Soit(a n) n 1 unesuitederéels 1 Montrer que si la série X n 0 a n converge vers S, alors la série X n 0 a n+a n+1 converge, et calculersasomme 2 Supposonsquepourtoutn 0 onaita n 0 Montrerquesilasérie X n 0 a n+a n+1
Fonction - Caleffi
Vanne de zone à trois voies série 6480, 1" en fonctionnement “BY-PASS” avec Té de by-pass série 6490 sans buse Vanne de zone téléscopique à trois voies avec by-pass série 6489, en fonctionnment “BY-PASS” équipé d’une buse U6 Kv (m3/h) 1,20 Ø 3/4" 1,4 1,8 80 60 160 140 600 700 1600 1400 1800 800 70 90 120 50 100 200 500 1000
Fonction - Caleffi
Série 677 Vanne de zone à 3 voies dimension 1/2”, 3/4” et 1” Série 678 Vanne de zone à 3 voies avec té de by-pass téléscopique dimension 1/2”, 3/4” et 1” Série 6563 Tête électrothermique à ouverture manuelle et indicateur de position 230 V (~) - alimentation 24 V ( /cc)
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Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 1 -
Séries Numériques (corrigé des indispensables).Séries télescopiques.
1. La série proposée est clairement télescopique, construite avec la suite (an) donnée par :
" n Î , nnea 1Puisque (a
n) converge (vers 1), la série converge et sa somme vaut (e - 1).2. Ecrivons comme proposé : (1 - x).un = )x1(1
)x1(1 )x1).(x1(xxn1n1nn1nn---=---+++, et la série apparaît bien comme télescopique en posant : " n ³ 1, )x1(1ann-=.Pour x dans l"intervalle proposé, (a
n) converge vers 1, donc la série ∑ 1).1( nnuxconverge et sa somme vaut : x x x-=--111 1.Puisque (1 - x) est non nul, la série
³1nnuconverge aussi et sa somme est 2)1(xx-.
3. On peut écrire : )]1ln()[ln()]ln()1[ln()ln()1ln(11ln22
2----+=--=
-nnnnnnn, et la série est bien télescopique en posant : " n ³ 2, a n = ln(n) - ln(n - 1) --=n 11ln.Puisque la suite (a
n) converge (vers 0), la série est donc convergente et sa somme vaut : a2 - 0 = ln(2) - ln(1) = ln(2).
Remarque : la convergence de la série pouvait être obtenue simplement avec un équivalent. Séries à termes positifs ou de signe constant.4. · La première série est à termes positifs et : nn
n1~12¥++, donc la série diverge puisque la série harmonique
diverge. · Pour la deuxième série, elle est encore à termes positifs et : n nneee nchnch-¥+=.2~).2()(.
Comme cette dernière série est géométrique, de raison positive strictement intérieure à 1, elle converge et
la série de départ aussi. · Utilisons un développement limité pour cette troisième série en écrivant : " n ³ 1, u n = 222222111ln111ln)1ln()1ln(11lnnnnnnnnnnnnn
Puis par exemple :
22222221
.211111.2111111lnnonnnonnnnnn.
De même :
22222221
.231111.2111111lnnonnnonnnnnn.
Finalement :
2222~12
nnonu n¥+ · Pour cette dernière série, on écrit simplement : +nonenonenonnnnnn n1 .211.1 .21exp.1 .211.exp11ln.exp11 22.Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 2 -
Donc :
+-none ne n1 .211.Finalement, les deux séries sont toutes deux positives (également garanti à partir d"un certain rang) et la
seconde est divergente, donc la série proposée l"est aussi.5. · La première série converge car : nnenenn--=.)².².(4, tend vers 0 en +¥.
∑n.2e).nln(!n diverge car son terme général ne tend pas vers 0 (théorème des croissances comparées).
∑nn.n1 diverge car c"est une série à termes positifs et : nnn n nnn1~)ln(exp.1
.1 Par comparaison de séries à termes positifs, la série proposée diverge.6. On pose : a=n.n
e!.nu nn n, où : a Î , et : vn = ln(un+1) - ln(un). a. Tout d"abord, les termes de la suite (u n) sont strictement positifs, donc (vn) est bien définie.Puis :
++nnnnn nnn uuvnn n n n11ln.111ln.1ln.1)1().1(lnln 11aa.On utilise alors un développement limité de ln(1+u) à l"ordre 3 pour le premier logarithme et à l"ordre 2
pour l"autre, et : ++--=222233211.3121.211
.211.11 .31 .211. nonnnonnnonnnnvnaaa.Distinguons alors plusieurs cas :
· a >
21- ; on a : nvn1.21~
+¥+a, et les deux séries ont des termes généraux de même signe (positif) à partir d"un certain rang, la seconde divergeant et la série ∑nv aussi.· a <
21- ; on a toujours : nvn1.21~
+¥+a, et le même argument (pour des séries à termes négatifs cette fois) montre que la série ∑nvdiverge encore.· a =
21- ; on a cette fois : 21.
12 1~ nvn-¥+, et les deux séries ont des termes généraux de même signe (négatif) à partir d"un certain rang mais cette fois convergent. b. Pour la valeur : a = 21-, la série ∑nvconverge donc la suite (ln(un)) converge vers une valeur réelle L.
Donc (u
n) converge vers : C = eL > 0, ce qui s"écrit encore : Cun¥+~, d"où l"équivalent (qui correspond au
début de la formule de Stirling) : nenCnenCnnnnn...~...~!217. Toutes les séries évoquées sont à termes réels positifs.
· pour la première, on peut écrire simplement : " n Î , 0 £ max(u n,vn) £ un + vn. Donc par majoration (pour des séries à termes positifs), la série ∑),max(nnvu converge. · pour la deuxième, on a encore : " n Î , 2.0nn nnvuvu+££, car : 2 2 2 nn nnnnvuvuvu-=-+.Donc à nouveau par majoration, la série
∑nnvu. converge. · pour la troisième, on a toujours : " n Î , 2.0 nn nnnnvu vuvu+£+£, car : 22)(..2)(nnnnnnvuvuvu-=-+.Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 3 -
Une fois de plus par majoration, la série ∑+nnnnvuvu. converge.8. a. Puisque ∑nuest à termes positifs, les termes de ∑nvsont définis et positifs.
Puis : " n Î ,
n nnuuu£+£10, donc par majoration de série à termes positifs, ∑nvconverge. b. Supposons maintenant que ∑nvconverge.Alors son terme général tend vers 0.
De plus : " n Î ,
n nn nvvvu¥+-=~1. Par comparaison de séries à termes positifs, la série ∑nuest donc convergente. Séries de signe quelconque, sommes de séries.9. La série est alors convergente, puisque somme de deux séries convergentes.
Notons ensuite : " n Î , v
n = an + un, où ∑na est absolument convergente et∑nusemi-convergente.Si la série
∑nvétait absolument convergente, on aurait : " n Î , un = vn - an, donc : |un| £ |vn| + |an|, et la série ∑+)(nnavétant convergente, la série ∑nu
serait aussi convergente ce qui n"est pas le cas.Donc la série
∑nvn"est que semi-convergente.10. · La première série est convergente puisque : " n ³ 1, 22.41
)1.2(10nn£+£, et par majoration la série considérée est bien convergente.Puis : " n ³ 0,
nnn pn pn pn pn kSSppppk.411.411 ).2(11 )1.2(11.2 121.21 2 121.2
1 2
02-=-=-=++
==∑∑∑∑∑, où Sn est la somme partielle de la série dont on donne la somme. En faisant tendre n vers +¥, on en déduit que : 86.416 )1.2(1 222
0
2ppp=-=+∑
=n n. · La seconde série est absolument convergente et : " n ³ 0, n kn kn kk kkk02 121.21
2)1.2(1
).2(1)1(.Donc :
12.242
86.41)1.2(1lim).2(1lim)1( 2 222
0 2 12
12pppp-=-=-=+-=-∑∑∑
=n k nn k nnnkkn.11. Pour les deux séries, plusieurs façons de montrer leur convergence :
· on peut écrire pour la première (comme pour la deuxième) : )!2(1~!)1.(~!²-¥+¥+nnnn
nn, d"où la convergence de la série (par équivalence de séries à termes positifs), ou :0!.lim
2 2 =+¥®n nn n, du fait du théorème des croissances comparées, d"où la convergence de la série.Puis on écrit : " n ³ 2, n
2 = n.(n - 1) + n, et :∑∑∑∑
2220!!)1.(1!)1.(10!²nnnnnn
nnn nnnn nn, puisque les deux séries qui apparaissent sont convergentes.Enfin :
eeeppnnnn ppnnn.2)1(1!1 !11)!1(1 )!2(11!² , à l"aide de translations d"indice dans les deux dernières sommes de séries. En travaillant de la même façon, et à partir de : " n ³ 3, n3 - n = n.(n - 1).(n - 2) + 3.n2 - 3.n = n.(n - 1).(n - 2) + 3.n.(n - 1), on aboutit à :
Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 4 -
33303!)1.(.3
!)2).(1.(3!)1.(.3)2).(1.( !2600!nnnnnnn nnnn nnnnnn nnn, et à nouveau : eeeppnnn ppn.4)1.(33!1.3!13!1303=-++=++=-∑∑∑
12. · Pour : n = 4.k+2, on a, pour la première série : kkkkknnxxxxn.2222.41.22).2.(.2.)1()1.(.2.4.sin.2-=-=
++p.Si ce terme général ne tend pas vers 0, la série diverge donc une condition nécessaire pour qu"elle
converge est : |2.x2| < 1, soit : 21 Pour ces valeurs de x, on peut alors écrire :
ppp--= Les deux séries géométriques qui apparaissent sont alors convergentes (de raison en module strictement
plus petites que 1) et : 4.4.04
04 02..211
..211 ..21])..2()..2(.[.21.4.sin.2 ppppp iinn i nn i nn nexexiexexixn En réduisant au même dénominateur, on aboutit à : " 21 02.2.21.4.sin.2xxxxnnn
n+-= =p. · Pour la deuxième série, elle converge pour : x = 0, et sinon s"écrit : ∑∑=+nnxxx)(.212. x étant maintenant supposé non nul, ces séries ont même comportement et convergent si et seulement si :
|x 2| < 1, soit encore : |x| < 1.
Pour ces valeurs de x, on a alors :
2 02 01.21)(.xxxxxnn
nn-==∑∑ 13. a. On utilise pour cela la formule du binôme de Newton et :
" n Î , n kk kknn kn03..2.)3.2(ee, puis : ∑ n kk kknnn kn0))1(1.(3.2.)32()32(. Dans cette dernière somme ne restent que les k pairs (k = 2.p), et : 2 0 .2 3.2..2.2)32()32(
nE p ppnnn pn, Enfin la somme étant un entier, la quantité proposée est bien un entier pair que l"on notera 2.N
n. b. On peut alors écrire : " n Î , u n = ))32.(sin())32.(..2sin(nn nN--=--ppp. Il est clair que la quantité dans le sinus tend vers 0 (suite géométrique) donc : n nu)32.(~--¥+p. Par équivalence de séries à termes négatifs, la série ∑nuconverge, l"autre étant géométrique et convergente. 14. a. Notons tout d"abord que suivant P, la suite (un) présente un problème de définition.
Il est nécessaire que le coefficient dominant de P soit positif car sinon, P deviendrait négatif à partir d"un
certain rang. Dans le cas donc où le coefficient dominant de P (notons-le a) est positif, on peut alors écrire :
" n Î , P(n) = a.n k + ... kna.~¥+, où k désigne le degré de P. Cet équivalent garantit que P(n) devient positif pour n assez grand et que u n est alors défini à partir de ce rang. Puis :
2.~)( k nanP¥+, et d"autre part : nn¥++~12. Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 5 -
Distinguons alors plusieurs cas :
· k < 2, alors
)(nPest négligeable en +¥ devant 12+n et (un) tend vers +¥ : la série ∑nudiverge. · k > 2, alors
12+n devient négligeable devant )(nP, et (un) tend vers -¥ : la série diverge encore.
· k = 2, et : a ¹ 1, on a alors :
naun).1(~-¥+, un à nouveau ne tend pas vers 0, et ∑nudiverge. Finalement pour que la série converge, il faut que : k = 2, a = 1, soit : P = X 2 + b.X + c.
b. On peut sous la dernière hypothèse écrire : 333
22
21
2 211.164.1.821.21.1..)(nonbcb
nbc nbnnc nbncnbnnP, et : 3221
2 21
.211.11.1nonnnnn. D"où :
223211.164.1.8221
2 nonbcb nbcbu n. On doit donc prendre : b = 0, pour que u
n tende vers 0. Si : c ¹ 1, alors :
ncun1.221~ -¥+, et la série ∑nua son terme général équivalent à celui d"une série de
signe constant et divergente, et à ce titre diverge. Donc on doit prendre : c = 1, et dans ce cas : " n Î , u n = 0, et la série ∑nu converge. Conclusion : la série converge si et seulement si : P = X 2 + 1, et la série est alors la série nulle.
Remarque : le développement limité (si u
n n"avait pas été constamment nul) nous aurait permis dans tous les cas de déterminer la nature de ∑nu qui aurait été alors convergente, grâce à un équivalent. 15. On peut utiliser des développements limités en +¥, et :
" n ³ 1, ++++=++++nbnanbanbnan 21ln.11ln.)ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(, soit :
" n ³ 1, 2211.2.41)..2()ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(
nonba nbanbanbnan. Donc il est nécessaire que : a + b + 1 = 0, pour que (u n) tende vers 0. Si cette condition est remplie et si : a + 2.b ¹ 0, le terme général de la série est équivalent à celui d"une
série de signe constant et divergente +∑nba 1)..2(, donc ∑nudiverge.
On doit donc choisir : a + b + 1 = 0, a + 2.b = 0, soit : b = 1, a = -2. Dans ce cas :
2221~11
nnonun- ¥+, et la série ∑nuconverge.
Pour calculer sa somme on peut revenir à des sommes partielles ou remarquer que : " n ³ 1, u n = [ln(n) - ln(n+1)] - [ln(n+1) - ln(n+2)], soit le terme général d"une série télescopique.
Finalement :
)2ln()]1ln()[ln(lim)]2ln()1[ln( 1-=+---=+¥®+¥
=∑nnunnn. Produit infini.
16. a. On peut commencer par remarquer que : " N Î , ∑Õ
N n nN n nN uuP 00)ln()ln()ln(.
· si on suppose (P
N) convergente vers L non nulle, la continuité de ln en L montre que la suite des sommes partielles de la série ³0)ln(
nnuconverge vers ln(L) et la série ∑ ³0)ln(
nnu converge. · si on suppose que la série
³0)ln(
nnu converge vers L, alors la suite (ln(PN)) converge vers L et par continuité de exp en L, (P N) converge vers eL qui est bien non nulle.
Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 6 -
b. Si (PN) tend vers 0, la suite (ln(PN)) tend vers -¥, et la suite des sommes partielles de la série ∑
³0)ln(
nnu diverge vers -¥ : dans ce cas, la série ³0)ln(
nnu diverge. Séries alternées et autour des séries alternées. 17. · La première série est définie pour : n ³ 2, et est bien alternée puisqu"alors le dénominateur garde un
signe constant. Puis : " n ³ 2,
22111)1(1)1(1.)1()1(1.)1(
)1()1( nonnnonnnnnnnnnn nn Si on note u
n le terme général de cette série, alors un apparaît comme la somme de deux termes : a n = n n)1(-, et ∑ ³2nna converge du fait du critère spécial, b n = 2221~11 nnon- +-¥+, et ∑ ³2nnb converge, par comparaison de séries à termes négatifs. Finalement
³2nnuconverge.
· Pour la deuxième série, elle est encore alternée puisque l"argument du cosinus reste entre 0 et p/2.
Puis :
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
Pour ces valeurs de x, on peut alors écrire :
ppp--=Les deux séries géométriques qui apparaissent sont alors convergentes (de raison en module strictement
plus petites que 1) et :4.4.04
0402..211
..211 ..21])..2()..2(.[.21.4.sin.2 ppppp iinn i nn i nn nexexiexexixn En réduisant au même dénominateur, on aboutit à : "21 02.2.21.4.sin.2xxxxnnn
n+-= =p. · Pour la deuxième série, elle converge pour : x = 0, et sinon s"écrit : ∑∑=+nnxxx)(.212. x étant maintenant supposé non nul, ces séries ont même comportement et convergent si et seulement si :
|x 2| < 1, soit encore : |x| < 1.
Pour ces valeurs de x, on a alors :
2 02 01.21)(.xxxxxnn
nn-==∑∑ 13. a. On utilise pour cela la formule du binôme de Newton et :
" n Î , n kk kknn kn03..2.)3.2(ee, puis : ∑ n kk kknnn kn0))1(1.(3.2.)32()32(. Dans cette dernière somme ne restent que les k pairs (k = 2.p), et : 2 0 .2 3.2..2.2)32()32(
nE p ppnnn pn, Enfin la somme étant un entier, la quantité proposée est bien un entier pair que l"on notera 2.N
n. b. On peut alors écrire : " n Î , u n = ))32.(sin())32.(..2sin(nn nN--=--ppp. Il est clair que la quantité dans le sinus tend vers 0 (suite géométrique) donc : n nu)32.(~--¥+p. Par équivalence de séries à termes négatifs, la série ∑nuconverge, l"autre étant géométrique et convergente. 14. a. Notons tout d"abord que suivant P, la suite (un) présente un problème de définition.
Il est nécessaire que le coefficient dominant de P soit positif car sinon, P deviendrait négatif à partir d"un
certain rang. Dans le cas donc où le coefficient dominant de P (notons-le a) est positif, on peut alors écrire :
" n Î , P(n) = a.n k + ... kna.~¥+, où k désigne le degré de P. Cet équivalent garantit que P(n) devient positif pour n assez grand et que u n est alors défini à partir de ce rang. Puis :
2.~)( k nanP¥+, et d"autre part : nn¥++~12. Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 5 -
Distinguons alors plusieurs cas :
· k < 2, alors
)(nPest négligeable en +¥ devant 12+n et (un) tend vers +¥ : la série ∑nudiverge. · k > 2, alors
12+n devient négligeable devant )(nP, et (un) tend vers -¥ : la série diverge encore.
· k = 2, et : a ¹ 1, on a alors :
naun).1(~-¥+, un à nouveau ne tend pas vers 0, et ∑nudiverge. Finalement pour que la série converge, il faut que : k = 2, a = 1, soit : P = X 2 + b.X + c.
b. On peut sous la dernière hypothèse écrire : 333
22
21
2 211.164.1.821.21.1..)(nonbcb
nbc nbnnc nbncnbnnP, et : 3221
2 21
.211.11.1nonnnnn. D"où :
223211.164.1.8221
2 nonbcb nbcbu n. On doit donc prendre : b = 0, pour que u
n tende vers 0. Si : c ¹ 1, alors :
ncun1.221~ -¥+, et la série ∑nua son terme général équivalent à celui d"une série de
signe constant et divergente, et à ce titre diverge. Donc on doit prendre : c = 1, et dans ce cas : " n Î , u n = 0, et la série ∑nu converge. Conclusion : la série converge si et seulement si : P = X 2 + 1, et la série est alors la série nulle.
Remarque : le développement limité (si u
n n"avait pas été constamment nul) nous aurait permis dans tous les cas de déterminer la nature de ∑nu qui aurait été alors convergente, grâce à un équivalent. 15. On peut utiliser des développements limités en +¥, et :
" n ³ 1, ++++=++++nbnanbanbnan 21ln.11ln.)ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(, soit :
" n ³ 1, 2211.2.41)..2()ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(
nonba nbanbanbnan. Donc il est nécessaire que : a + b + 1 = 0, pour que (u n) tende vers 0. Si cette condition est remplie et si : a + 2.b ¹ 0, le terme général de la série est équivalent à celui d"une
série de signe constant et divergente +∑nba 1)..2(, donc ∑nudiverge.
On doit donc choisir : a + b + 1 = 0, a + 2.b = 0, soit : b = 1, a = -2. Dans ce cas :
2221~11
nnonun- ¥+, et la série ∑nuconverge.
Pour calculer sa somme on peut revenir à des sommes partielles ou remarquer que : " n ³ 1, u n = [ln(n) - ln(n+1)] - [ln(n+1) - ln(n+2)], soit le terme général d"une série télescopique.
Finalement :
)2ln()]1ln()[ln(lim)]2ln()1[ln( 1-=+---=+¥®+¥
=∑nnunnn. Produit infini.
16. a. On peut commencer par remarquer que : " N Î , ∑Õ
N n nN n nN uuP 00)ln()ln()ln(.
· si on suppose (P
N) convergente vers L non nulle, la continuité de ln en L montre que la suite des sommes partielles de la série ³0)ln(
nnuconverge vers ln(L) et la série ∑ ³0)ln(
nnu converge. · si on suppose que la série
³0)ln(
nnu converge vers L, alors la suite (ln(PN)) converge vers L et par continuité de exp en L, (P N) converge vers eL qui est bien non nulle.
Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 6 -
b. Si (PN) tend vers 0, la suite (ln(PN)) tend vers -¥, et la suite des sommes partielles de la série ∑
³0)ln(
nnu diverge vers -¥ : dans ce cas, la série ³0)ln(
nnu diverge. Séries alternées et autour des séries alternées. 17. · La première série est définie pour : n ³ 2, et est bien alternée puisqu"alors le dénominateur garde un
signe constant. Puis : " n ³ 2,
22111)1(1)1(1.)1()1(1.)1(
)1()1( nonnnonnnnnnnnnn nn Si on note u
n le terme général de cette série, alors un apparaît comme la somme de deux termes : a n = n n)1(-, et ∑ ³2nna converge du fait du critère spécial, b n = 2221~11 nnon- +-¥+, et ∑ ³2nnb converge, par comparaison de séries à termes négatifs. Finalement
³2nnuconverge.
· Pour la deuxième série, elle est encore alternée puisque l"argument du cosinus reste entre 0 et p/2.
Puis :
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
02.2.21.4.sin.2xxxxnnn
n+-= =p. · Pour la deuxième série, elle converge pour : x = 0, et sinon s"écrit : ∑∑=+nnxxx)(.212.x étant maintenant supposé non nul, ces séries ont même comportement et convergent si et seulement si :
|x2| < 1, soit encore : |x| < 1.
Pour ces valeurs de x, on a alors :
2 0201.21)(.xxxxxnn
nn-==∑∑13. a. On utilise pour cela la formule du binôme de Newton et :
" n Î , n kk kknn kn03..2.)3.2(ee, puis : ∑ n kk kknnn kn0))1(1.(3.2.)32()32(. Dans cette dernière somme ne restent que les k pairs (k = 2.p), et : 2 0 .23.2..2.2)32()32(
nE p ppnnn pn,Enfin la somme étant un entier, la quantité proposée est bien un entier pair que l"on notera 2.N
n. b. On peut alors écrire : " n Î , u n = ))32.(sin())32.(..2sin(nn nN--=--ppp. Il est clair que la quantité dans le sinus tend vers 0 (suite géométrique) donc : n nu)32.(~--¥+p. Par équivalence de séries à termes négatifs, la série ∑nuconverge, l"autre étant géométrique et convergente.14. a. Notons tout d"abord que suivant P, la suite (un) présente un problème de définition.
Il est nécessaire que le coefficient dominant de P soit positif car sinon, P deviendrait négatif à partir d"un
certain rang.Dans le cas donc où le coefficient dominant de P (notons-le a) est positif, on peut alors écrire :
" n Î , P(n) = a.n k + ... kna.~¥+, où k désigne le degré de P. Cet équivalent garantit que P(n) devient positif pour n assez grand et que u n est alors défini à partir de ce rang.Puis :
2.~)( k nanP¥+, et d"autre part : nn¥++~12.Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 5 -
Distinguons alors plusieurs cas :
· k < 2, alors
)(nPest négligeable en +¥ devant 12+n et (un) tend vers +¥ : la série ∑nudiverge.· k > 2, alors
12+n devient négligeable devant )(nP, et (un) tend vers -¥ : la série diverge encore.
· k = 2, et : a ¹ 1, on a alors :
naun).1(~-¥+, un à nouveau ne tend pas vers 0, et ∑nudiverge. Finalement pour que la série converge, il faut que : k = 2, a = 1, soit : P = X2 + b.X + c.
b. On peut sous la dernière hypothèse écrire : 33322
21
2
211.164.1.821.21.1..)(nonbcb
nbc nbnnc nbncnbnnP, et : 32212 21
.211.11.1nonnnnn.
D"où :
223211.164.1.8221
2 nonbcb nbcbu n.On doit donc prendre : b = 0, pour que u
n tende vers 0.Si : c ¹ 1, alors :
ncun1.221~-¥+, et la série ∑nua son terme général équivalent à celui d"une série de
signe constant et divergente, et à ce titre diverge. Donc on doit prendre : c = 1, et dans ce cas : " n Î , u n = 0, et la série ∑nu converge. Conclusion : la série converge si et seulement si : P = X2 + 1, et la série est alors la série nulle.
Remarque : le développement limité (si u
n n"avait pas été constamment nul) nous aurait permis dans tous les cas de déterminer la nature de ∑nu qui aurait été alors convergente, grâce à un équivalent.15. On peut utiliser des développements limités en +¥, et :
" n ³ 1, ++++=++++nbnanbanbnan21ln.11ln.)ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(, soit :
" n ³ 1,2211.2.41)..2()ln().1()2ln(.)1ln(.)ln(
nonba nbanbanbnan. Donc il est nécessaire que : a + b + 1 = 0, pour que (u n) tende vers 0.Si cette condition est remplie et si : a + 2.b ¹ 0, le terme général de la série est équivalent à celui d"une
série de signe constant et divergente +∑nba1)..2(, donc ∑nudiverge.
On doit donc choisir : a + b + 1 = 0, a + 2.b = 0, soit : b = 1, a = -2.Dans ce cas :
2221~11
nnonun-¥+, et la série ∑nuconverge.
Pour calculer sa somme on peut revenir à des sommes partielles ou remarquer que : " n ³ 1, un = [ln(n) - ln(n+1)] - [ln(n+1) - ln(n+2)], soit le terme général d"une série télescopique.
Finalement :
)2ln()]1ln()[ln(lim)]2ln()1[ln(1-=+---=+¥®+¥
=∑nnunnn.Produit infini.
16. a. On peut commencer par remarquer que : " N Î , ∑Õ
N n nN n nN uuP00)ln()ln()ln(.
· si on suppose (P
N) convergente vers L non nulle, la continuité de ln en L montre que la suite des sommes partielles de la série³0)ln(
nnuconverge vers ln(L) et la série ∑³0)ln(
nnu converge.· si on suppose que la série
³0)ln(
nnu converge vers L, alors la suite (ln(PN)) converge vers L et par continuité de exp en L, (PN) converge vers eL qui est bien non nulle.
Chapitre 02 : Séries numériques - Exercices (Corrigé des indispensables). - 6 -
b. Si (PN) tend vers 0, la suite (ln(PN)) tend vers -¥, et la suite des sommes partielles de la série ∑
³0)ln(
nnu diverge vers -¥ : dans ce cas, la série³0)ln(
nnu diverge. Séries alternées et autour des séries alternées.17. · La première série est définie pour : n ³ 2, et est bien alternée puisqu"alors le dénominateur garde un
signe constant.Puis : " n ³ 2,
22111)1(1)1(1.)1()1(1.)1(
)1()1( nonnnonnnnnnnnnn nnSi on note u
n le terme général de cette série, alors un apparaît comme la somme de deux termes : a n = n n)1(-, et ∑ ³2nna converge du fait du critère spécial, b n = 2221~11 nnon- +-¥+, et ∑ ³2nnb converge, par comparaison de séries à termes négatifs.Finalement
³2nnuconverge.
· Pour la deuxième série, elle est encore alternée puisque l"argument du cosinus reste entre 0 et p/2.