Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

1 Anneaux id eaux

D e nition Un anneau est dit principal si tout id eal est principal Un anneau A est dit int egre si ab= 0 )a= 0 ou b= 0: Un anneau est un corps (commutatif) si tout el ement non nul de Aest inversible, ce qui revient a dire que (An0;:) est un groupe ab elien ou que ses seuls id eaux

Anneaux, morphismes et idéaux - Éditions Ellipses

Notons qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est toujours intègre Exemple 1 11 A = M(2,R)et B = a 0 00;a ∈ R sont deux anneaux avec B⊂A Cependant Bn’est pas un sous-anneau de Acar 1A =1B Lemme 1 12 Soit Sun sous-ensemble d’un anneau A Alors Sest un sous-anneau de Asi, et seulement si, Scontient 1A et pour tout couple (a,b)d

21 Dé nitions, premières propriétés 7 22 Morphismes entre

4 3 Les idéaux d'un anneau quotient 23 4 4 Le théorème chinois sous sa forme générale 24 5 Idéaux premiers, maximaux 26 5 1 Dé nitions, premières propriétés 26 5 2 Existence d'un idéal maximal 28 6 Localisation 31 6 1 Dé nitions, premières propriétés 31 6 2 Idéaux d'un anneau localisé 37 7 Anneaux principaux 39 7 1

Anneaux 1 La structure d’anneau

a)Propriété universelle de l’anneau Z Soit A un anneau unitaire Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneauxunitairesf: ZA Vériﬁerqu’ilestdonnéparf(k) = k1 A Le noyau de l’unique morphisme f : ZA est de la forme nZpour un unique n2N Cet entier nest

ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013

1 1 Idéaux — Si Aest un anneau, une partie I Aest un idéal si c’est un sous-groupe additif et si, pour tout a2Aet tout b2I, on a ab2I C’est exactement la propriété qu’il faut pour pouvoir mettre sur le groupe additif A=Iune structure d’anneau qui fait de la projection canonique AA=Iun morphisme d’anneaux

Anneaux - UPJV

Idéal Anneau Anneau intègre Corps Module Espace vectoriel Algèbre A lgèbre associative (1 01) (0 11) (1 11) 01) 01) 0) Title: Microsoft PowerPoint - Anneaux ppt

Anneaux et corps - pagesperso-orangefr

Définition: Une partie B d’un anneau A contenant 1A et stable pour les deux lois d’un anneau A est un sous-anneau de A ssi B muni des deux lois induites de celle de A est un anneau Caractérisation pratique Une partie B d’un anneau (A, +, ×) est un sous-anneau de A ssi : (i) 1 ∈ B; (ii) ∀(a, b) ∈ B×B, x – y ∈ B et x y ∈ B

Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

2 1 Structure d’anneau Dfinition 8 Un anneau est un ensemble muni de deux LCI (A,+, ) tels que : •(A,+) est un groupe commutatif de neutre not´e 0A

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

(a) Dans un groupe G, l’ el emen t neutre eest n ecessairemen t unique, et le sym etrique d’un el ement quelconque est n ecessairemen t unique (b) Si Gest unensemblenon-videmunid’uneloi decomposition interne:quiestsuppos ee associative,

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