S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e December 11, 2008

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1 Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question 1 Soient A, B et C trois points distincts du plan a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB AC AB AC⋅ = × b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB AC⋅ =0 c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB AC AB⋅ =−2

Le produit scalaire - Corrigé Exercice 1

Le produit scalaire - Corrigé Exercice 1 : 1) =×=4× 4+2 =24 car et sont colinéaires et de même sens 2) =××cos =8×5×cos 60 ° =8×5×ˆ ˙ =20 3) = ˝ par projection orthogonale =×˝ =7×3=21 car et ˝ sont colinéaires et de même sens 4) On utilise la formule des normes avec la différence : = 1 2

Planche no 36 Produit scalaire : corrigé

Produit scalaire : corrigé Exercice no 1 Montrons que ϕ : (A,B)7→ Tr(tA ×B)est un produit scalaire sur Mn(R) - ϕ est symétrique En eﬀet, pour (A,B)∈ (Mn(R))2, ϕ(A,B)=Tr tA×B =Tr t tA ×B =Tr tB×A =ϕ(B,A) - ϕ est bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition - Si A =(ai,j)16i,j6n ∈ Mn(R)\{0}, alors ϕ(A,A

Produit Scalaire - Tronc Commun - AlloSchool

Tronc Commun Série 1 : Produit Scalaire Corrigé de l’exercice 1 : 1 ⊳ D’après le théorème d’Al-kashi , on a : BC AB AC AB AC BAC2 2 2= + − × ×2 cos( )

Exercices sur le produit scalaire

Exercice 25 : Droite et produit scalaire d est la droite d’équation : 3x y+ 5 = 0 1)Trouver un vecteur normal à d 2)Trouver une équation de la droite passant par A(1;2) et perpendiculaire à d Exercice 26 : Droite et produit scalaire Dans chacun des cas suivants, dites si les droites d et d0sont perpendiculaires

Produit scalaire : exercices

Produit scalaire : exercices Les réponses aux questions sont disponibles à la ﬁn du document Le plan est muni d’un repère orthonormal Exercice 1 :

350re S - Produit scalaire - ChingAtome

2 Coordonnées et produit scalaire : Exercice 3018 Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; i; j), on considère les deux vecteurs u(x;y) et v (x′;y′) Le produit scalaire des vecteurs u et v est un nombre noté u v déﬁni par: u v = x x′ +y y′ Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit

wwwmathsenlignenet PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE

www mathsenligne net PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE EXERCICES 2D EXERCICE 2D 1 1 On considère un triangle ABC rectangle en A Ecrire la relation de Pythagore pour ce triangle 2 a On note u = AB et v = AC Démontrer que dans ce cas BC = v – u (Remarque : puisque le triangle est rectangle en A, on dit que les vecteurs

S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e December 11, 2008

1-1 EXERCICES CORRIGES¶ 3 1-1 Exercices corrig¶es 1-1 1 Exercice 1a - Produit scalaire Soit E = R2[X] l’ensemble des polyn^omes de degr¶e inf¶erieur ou ¶egal a 2 Soit ’

Espaces euclidiens – corrigé

Espaces euclidiens – corrigé (y) : désigne un exercice ou un raisonnement incontournable Exercice 1 On munit M n(R) du produit scalaire canonique a) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de M n(R), et en donner la dimension b) Soit J la matrice dont tous les coeﬃcients sont égaux à 1

[PDF] le pendul'or - 200 planches pdf

[PDF] danger du pendule

[PDF] cicéron de la divination

[PDF] cicéron de divinatione texte latin

[PDF] médecine parallèle définition

[PDF] futuribles pdf

[PDF] enseigner au canada avec le crpe

[PDF] médecine parallèle liste

[PDF] enseigner le francais au canada

[PDF] médecine conventionnelle et médecine traditionnelle

[PDF] salaire enseignant canada

[PDF] définition médecine conventionnelle

[PDF] enseigner au canada avec un diplome français

[PDF] medecine parallele cancer

[PDF] enseigner au canada primaire

ALG

Module 2

PAD - Exercices

December 11, 2008

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 15 15 19

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
24

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

26
29

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.2 Exercice 8a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.3 Exercice 9a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
i iiTABLE DES MATIµERES

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.2 Exercice 8b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.3 Exercice 9b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.2 Exercice 5c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 6c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Espaces euclidiens

2CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

1-1 1-1.1

Exercice 1a - Produit scalaire

'(P;Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2) 1.

Montrer que'est un produit scalaireE.

8P2G; '(P;X2+X) = 0

3. 1. '(P;Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2) =Q(0)P(0) +Q(1)P(1) +Q(2)P(2) donc '(P;Q) ='(Q;P)

De plus

'(P+aR;Q) = (P+aR)(0)Q(0) + (P+aR)(1)Q(1) + (P+aR)(2)Q(2) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2) +a(R(0)Q(0) +R(1)Q(1) +R(2)Q(2)) ='(P;Q) +a'(R;Q) '(P;P) =P(0)2+P(1)2+P(2)2¸0

De plus si

'(P;P) = 0 alors

P(0)2+P(1)2+P(2)2= 0

2, et 3 c'est donc le polyn^ome nul.

'est donc un produit scalaire.

4CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

2. Gest le sous espace vectoriel orthogonal µaX+X2

SoitPun polyn^ome deE:P=aX2+bX+c,

soit 26a+ 14b+ 8c= 0 d'oµu :c=¡13a¡7b 4

Les polyn^omes deGsont de la forme :

P=aX2+bX+¡13a¡7b

4 3.

P=aµ

2¡13

4 +bµ

X¡7

Une base deGest donc :½

2¡13

4 ;X¡7 4 1-1.2

Exercice 2a. Orthogonalisation.

On munitR3du produit scalaire canonique.

SoitFune partie deR3. On noteF?, l'ensemble des vecteurs orthogonaux µa tout vecteur deF. 1. siFn'est pas un espace vectoriel . 2.

SoitF=Vect0

@1 2 11 A

Montrer queF?©F=R3

3. Montrer que toute famille orthogonale ¯nie de vecteurs non nuls est libre . 1.

SoitFune partie deR3; F?=fu2R3;8v2R3;u¢v= 0g

F ?est non vide car02F?;en e®et8v2R3;0¢v= 0

8¸2R;8(u;u0)2¡F?¢2: (¸u+u0)¢v=¸u¢v+u0¢v= 0

Donc (¸u+u0)?vet¸u+u02F?:

Application : SoitF=V ect8

:0 @1 2 11 A9= :etu0 @x y z1 A u2F?,x+ 2y+z= 0,z=¡x¡2y Donc F ?=8 u0 @x y

¡x¡2y1

2R3;(x;y)2R29=

La famille

8 u0 @1 0

¡11

A ;v0 @0 1

¡21

A9=

C'est donc une base deF?:

On pose :u1=uetu2=u1+av;Cherchonsapour queu2etu1soient orthogonaux. u

2¢u1= 0,u21+au1¢v= 0,a=¡u1¢v

21=¡2

2 =¡1

Une base orthogonale deF?est :8

u10 @1 0

¡11

A ;u20 @1 ¡1 11 A9=

En la normant on obtient :

8 1 p 2 0 @1 0

¡11

A ;1 p 3 0 @1 ¡1 11 A9=

8u2F?\F,u?u,u2= 0,u=0doncF?\F=f0g.

De plus comme dimF= 1 et dimF?= 2 on obtient :F?©F=R3: 3. Soitfu1;u2;:::;ungune famille de vecteurs non nuls orthogonaux . En multipliant scalairement parukon obtientakuk¢uk= 0 d0oµuak= 0 .

Ainsi la famillefu1;u2;:::;ungest libre .

6CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

1-1.3

Exercice 3a - Matrices orthogonales

SoitE=M3(R) et une matriceA=0

@1 2 1 1 1 0

0 1 21

A Appelonsu1,u2,u3les vecteurs colonnes de la matriceA. 1. v 1=u1 v

2=av1+u2

3=bv1+cv2+u3

2. 3. 1. B=0 @1 2 1 1 1 0

0 1 21

A0 @1a0 0 1 0

0 0 11

A0 @1 0b 0 1c

0 0 11

A fv1;av1+u2;u3g fv1;av1+u2;bv1+cv2+u3g T=0 @1a0 0 1 0

0 0 11

A0 @1 0b 0 1c

0 0 11

A =0 @1a b+ac 0 1c

0 0 11

Calcul dea:

2²v1= 0,a(v1)2+u1²u2= 0,a=¡u1²u2

(v1)2=¡3 2 d'oµu v

2µ1

2 ;¡1 2

Calcul deb:

3²v1= 0,b(v1)2+u1²u3= 0,b=¡u1²u3

(v1)2=¡1 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e December 11, 2008

Module 2

PAD - Exercices

December 11, 2008

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.2 Exercice 8a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.3 Exercice 9a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.2 Exercice 8b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-2.3 Exercice 9b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.2 Exercice 5c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-3.3 Exercice 6c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Espaces euclidiens

2CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

Exercice 1a - Produit scalaire

Montrer que'est un produit scalaireE.

8P2G; '(P;X2+X) = 0

De plus

De plus si

P(0)2+P(1)2+P(2)2= 0

2, et 3 c'est donc le polyn^ome nul.

4CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

SoitPun polyn^ome deE:P=aX2+bX+c,

Les polyn^omes deGsont de la forme :

P=aX2+bX+¡13a¡7b

P=aµ

2¡13

X¡7

Une base deGest donc :½

2¡13

Exercice 2a. Orthogonalisation.

On munitR3du produit scalaire canonique.

SoitF=Vect0

Montrer queF?©F=R3

SoitFune partie deR3; F?=fu2R3;8v2R3;u¢v= 0g

8¸2R;8(u;u0)2¡F?¢2: (¸u+u0)¢v=¸u¢v+u0¢v= 0

Donc (¸u+u0)?vet¸u+u02F?:

Application : SoitF=V ect8

¡x¡2y1

2R3;(x;y)2R29=

La famille

¡11

¡21

C'est donc une base deF?:

2¢u1= 0,u21+au1¢v= 0,a=¡u1¢v

21=¡2

Une base orthogonale deF?est :8

¡11

En la normant on obtient :

¡11

8u2F?\F,u?u,u2= 0,u=0doncF?\F=f0g.

Ainsi la famillefu1;u2;:::;ungest libre .

6CHAPITRE 1. ESPACES EUCLIDIENS

Exercice 3a - Matrices orthogonales

SoitE=M3(R) et une matriceA=0

0 1 21

2=av1+u2

3=bv1+cv2+u3