Variables aleatoires discr´ etes` - CBMaths
—L’´ecart-type de la variable al´eatoire Xest le nombre, note´ ˙(X) d´efini par : ˙(X) = p Var(X): Remarques 3 2 1 La variance est la moyenne des carr´es des ´ecarts a la moyenne `
Lyc´ee Thiers - MP Variables aleatoires´ 2017-18
Soit Xla variable aleatoire repr´ esentant le nombre de correspondants obtenus ´ 1 Donner la loi de X Justifier 2 La secr´etaire rappelle une seconde fois, dans les m emes conditions, chacunˆ des n Xcorrespondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la premi`ere serie d’appels
TD 7 : Couples et suites de variables aléatoires réelles
4) On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, et on note Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’on a obtenu une boule numérotée n (succès) : les conditions sont celles d’une la loi binomiale de paramètres 10 et ˝ZZ 1I3 ]^=˜R 4: > 5) 9 ˜ 1I3 L 1I3 et _ ˜ 1I3 `N 1I3 a L 1O3 1I3b
Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS
3 5 1 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete 46 3 5 2 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire a densit´e 47
LE PARAMETRAGE DU MRP SOUS INCERTITUDES DE DELAIS D
D Demande en produits finis (variable aléatoire discrè-te), n Nombre de types de composants nécessaires pour l’assemblage de produit fini, d i Quantité nécessaire de chaque type de composant i pour assembler une unité de produit fini,
FRE 3206 CNRS / USM 502 MNHN
Variable quantitative discrète une distribution discrune distribution discrune distribution discrè èèètetteete observations d'une variable aléatoire
ALGORITHMES EN PROBABILITES
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers le haut, et H la hauteur de la particule lorsqu’elle sort de l’écran a) Quelle est la loi de X ? b) Quelle est l’espérance de X ? c) Déterminer le lien entre X et H En déduire l’espérance de H Interpréter
Nouvelle méthode d’analyse statistique d’apparition d’un mot
À partir de Da, on calcule la quantitéν0a = Ka Da ν0 est une valeur possible de la variable aléatoire ν laquelle obéit à la loi de Kolmogorov (Ch Guilpin, 1999) Ainsi, la probabilité
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Lyc ´ee Thiers - MPVariables al´eatoires2017-18Exercices banque CCP
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Lyc ´ee Thiers - MPVariables al´eatoires2017-18Exercices banque CCP
Banque CCP - Exo 95
Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tir
´ee, il gagne 2 points et pour chaque boule
noire tir ´ee, il perd 3 points. On noteXla variable al´eatoire repr´esentant le nombre de boules blanches tir´ees. On noteYle nombre de points obtenus
par le joueur sur une partie. (a) D ´eterminer la loi deX, son esp´erance et sa variance. (b) D ´eterminer la loi deY, son esp´erance et sa variance.2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans
remise. (a) D´eterminer la loi deX.
(b) D´eterminer la loi deY.
Banque CCP - Exo 96
Onadmet, danscetexercice, que:8q2N,X
k>q k q x kqconvergeet8x2]1;1[, +1X k=q k q x kq=1(1x)q+1: Soitp2]0;1[etr2N. On d´epose une bact´erie dans une enceinte ferm´ee`a l"instantt= 0(le temps est exprim´e en secondes). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte. Le premier rayon laser est envoy´e`a l"instantt= 1.
La bact
´erie a la probabilit´epd"ˆetre touch´ee par le rayon laser. Les tirs de laser sont ind ´ependants. La bact´erie ne meurt que lorsqu"elle a´et´e touch´eerfois par le rayon laser. SoitXla variable al´eatoire´egale`a la dur´ee de vie de la bact´erie. 1. D´eterminer la loi deX.
2. Prouver queXadmet une esp´erance et la calculer.Banque CCP - Exo 97
Soita2]0;+1[. Soit(X;Y)un couple de variables al´eatoires`a valeurs dansN2 dont la loi est donn´ee par:
8(j;k)2N2,P(X=j;Y=k) =(j+k)12
j+kej!k!. 1. D ´eterminer les lois marginales deXet deY. Les variablesXetYsont-elles ind´ependantes?
2. Prouver queE2X+Yexiste et la calculer.
Banque CCP - Exo 98
Une secr
´etaire effectuenappels t´el´ephoniques versncorrespondants distincts. On admet que lesnappels constituentnexp´eriences ind´ependantes et que pour chaque appel, la probabilit ´e d"obtenir le correspondant demand´e estp(p2]0;1[). SoitXla variable al´eatoire repr´esentant le nombre de correspondants obtenus.1. Donner la loi deX. Justifier.
2. La secr
´etaire rappelle une seconde fois, dans les mˆemes conditions, chacun desnXcorrespondants qu"elle n"a pas pu joindre au cours de la premi`ere s ´erie d"appels. On noteYla variable al´eatoire repr´esentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde s´erie d"appels.
(a) Soiti2[[0;n]]. D´eterminer, pourk2N; P(Y=kjX=i). (b) Prouver queZ=X+Ysuit une loi binomiale dont on d´eterminera le param `etre. (c) D ´eterminer l"esp´erance et la variance de Z.Banque CCP - Exo 99
1. Rappeler l"in
´egalit´e de Bienaym´e Tchebychev.
2. Soit(Yn)une suite de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes, de
m ˆeme loi et admettant un moment d"ordre 2. On poseSn=nX k=1Y k.Prouver que:8a2]0;+1[,P
S nnE(Y1)>a
6V(Y1)na
2.Feuille exos - Variables al
´eatoires
Lyc´ee Thiers - MPVariables al´eatoires2017-183.Application: On effectue des tirages successifs, avec remise, d"une boule
dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.´A partir de quel nombre de tirages peut-on garantir `a plus de 95% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre0;35et0;45?Banque CCP - Exo 100
Soit2]0;+1[. SoitXune variable al´eatoire discr`ete`a valeurs dansN. On suppose que8k2N,P(X=n) =n(n+ 1)(n+ 2). 1. D ´ecomposer en´el´ements simples la fraction rationnelleRd´efinie parR(x) =1x(x+1)(x+2).
2. Calculer.
3. Prouver queXadmet une esp´erance, puis la calculer.
4.Xadmet-elle une variance? Justifier.
Banque CCP - Exo 102
SoitN2N. Soitp2]0;1[. On poseq= 1p. On consid`ereNvariables al ´eatoiresX1;X2;;XNd´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e( ;T;P), mutuellement ind ´ependantes et de mˆeme loi g´eom´etrique de param`etrep.1. Soiti2[[1;N]]. Soitn2N. D´eterminerP(Xi6n), puisP(Xi> n).
2. On consid
`ere la variable al´eatoireYd´efinie parY= min16i6N(Xi)c"est`a dire8!2 ,Y(!) = min(X1(!);;Xn(!)),mind´esignant "le plus pe- tit´el´ement de" .
(a) Soitn2N. CalculerP(Y > n). En d´eduireP(Y6n), puisP(Y=n).
(b) Prouver queYadmet une esp´erance et la calculer.Banque CCP - Exo 103
Soit( ;A;P)un espace probabilis´e.1. (a) SoitX1etX2deux variables al´eatoires d´efinies sur(
;A). On suppose queX1etX2sont ind´ependantes et suivent une loi de Poisson, de param `etres respectifs1et2. D´eterminer la loi deX1+X2.(b) En d ´eduire l"esp´erance et la variance deX1+X2.2. SoitXetYdeux variables al´eatoires d´efinies sur(
;A;P). On suppose que Ysuit une loi de Poisson de param`etre. On suppose queX( ) =Net que8m2N, la loi conditionnelle deXsachant(Y=m)est une loi binomiale
de param `etre(m;p). D´eterminer la loi deX.Banque CCP - Exo 104
On dispose denboules num´erot´ees de1`anet d"une boˆıte form´ee de trois com- partiments identiques ´egalement num´erot´es de 1`a 3. On lance simultan´ement lesnboules . Elles viennent se ranger al´eatoirement dans les 3 compartiments.Chaque compartiment peut
´eventuellement contenir lesnboules. On noteXla variable al ´eatoire qui`a chaque exp´erience al´eatoire fait correspondre le nombre de compartiments rest´es vides.
1. Pr´eciser les valeurs prises parX.
2. (a) D
´eterminer la probabilit´eP(X= 2).
(b) Finir de d´eterminer la loi de probabilit´e deX.
3. (a) CalculerE(X).
(b) D ´eterminerlimn!+1E(X). Interpr´eter ce r´esultat.Banque CCP - Exo 106
XetYsont deux variables al´eatoires ind´ependantes et`a valeurs dansN. Elles suivent la m ˆeme loi d´efinie par:8k2N,P(X=k) =P(Y=k) =pqko`u p2]0;1[etq= 1p. On consid`ere alors les variablesUetVd´efinies parU= sup(X;Y)etV= inf(X;Y).
1. D´eterminer la loi du couple(U;V).
2. Expliciter la loi deU.
On admet queV(
) =Net que pour toutn,P(V=n) =pq2n(1 +q)3. Montrer queW=V+ 1suit une loi g´eom´etrique.
En d´eduire l"esp´erance deV.
4.UetVsont-elles ind´ependantes?
Feuille exos - Variables al
´eatoires
Lyc ´ee Thiers - MPVariables al´eatoires2017-18Banque CCP - Exo 108 SoientXetYdeux variables al´eatoires d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e ;A;P)et`a valeurs dansNdont la loi est donn´ee par:8(i;j)2N2,P((X= i)\(Y=j)) =1e 2 i+1j! 1. D´eterminer les lois deXet deY.
2. (a) Prouver que1 +Xsuit une loi g´eom´etrique et en d´eduire l"esp´erance
et la variance deX. (b) D ´eterminer l"esp´erance et la variance de Y.3. Les variablesXetYsont-elles ind´ependantes?
4. CalculerP(X=Y).
Banque CCP - Exo 109
Soitn2N. Une urne contientnboules blanches num´erot´ees de 1`anet deux boules noires num ´erot´ees 1 et 2. On effectue le tirage une`a une, sans remise, de toutes les boules de l"urne. On noteXla variable al´eatoire´egale au rang d"apparition de la premi `ere boule blanche. On noteYla variable al´eatoire´egale au rang d"apparition de la premi `ere boule num´erot´ee 1. 1. D´eterminer la loi deX.
2. D´eterminer la loi deY.
Banque CCP - Exo 110
Soit( ;A;P)un espace probabilis´e.1. SoitXune variable al´eatoire d´efinie sur(
;A;P)et`a valeurs dansN. On consid `ere la s´erie enti`ereXtnP(X=n)de variable r´eellet. On noteRX son rayon de convergence. (a) Prouver queR>1. On pose alorsGX(t) =+1X n=0t nP(X=n)et note D GXl"ensemble de d´efinition deGX. Justifier que[1;1]DGX.Pour tout r
´eeltfix´e, exprimerGXsous forme d"une esp´erance.(b) Soitk2N. Exprimer, en justifiant votre r´eponse,P(X=k)en fonction
deG(k) X(0).