Adrien Douady John H Hubbard - Cornell University
ETUDE DYNAMIQUE DES POLYNOMES^ COMPLEXES Adrien Douady John H Hubbard avec la collaboration de Pierre Lavaurs, Tan Lei & Pierrette Sentenac "
Chapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 2
2nde Chapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 2 2012-2013 Chapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 2 I La fonction carré f ∶ x z→ x2 TD : Soit A la fonction qui à tout nombre x de [0 ; +∞[ associe l’aire d’un carré de côté x (le côté
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ment connus sous le nom de polynômes de Hurwitz) Plusieurs théorèmes contenant des limites inférieures au maximum des parties réelles des zéros (cela veut dire la qualité de sta¬ bilité) sont constatés et prouvés
I Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré
trois nombres réels connus (appelés les coefficients), et ≠0 f est appelé trinôme ou polynôme du second degré (ii) On appelle discriminant du trinôme f le nombre défini par ∆= 2−4 Propriété (Soit ????( )= 2+ + où ≠0 Alors, on a ???? )= ( − )2+ Cette dernière expression est
SECOND DEGRE - Plus De Bonnes Notes
sont des nombres réels connus 1 Equation du second degré On appelle équation du second degré toute équation qui peut se mettre sous la forme : 52+8+9=0 Pour résoudre les équations du second degré, il faut d’abord calculer le discriminant : L=82−459 • Si L>0, alors l’équation du second degré possède deux solutions
A unified approach to various orthogonalities
Ainsi, puisque les polynomes orthogonaux vectoriels de dimension d = 1 sont les polynomes habituels, plusieurs résultats connus sur diverses orthogonalités sont retrouves dans un cadre unine et parfois generalises
Chapitre 1 FONCTIONS re 1 STI2D
) ( = 2+ + où a, b et c sont trois nombres réels connus (appelés les coefficients), et ≠ r trinôme ou fonction (polynôme) du 2 nd degré Propriété La représentation graphique de la fonction f définie par ( )= 2 + + , ( ≠ r) est une
bibliotecadigitalexactasubaar
Dirección: Biblioteca Central Dr Luis F Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel (++54 +11) 4
MATHEMATIQUES - Dunod
connu, à trouver deux nombres bien connus a et b tels que a 6x 6b Une telle expression s’appelle un encadrement de x, le nombre a est un minorant de x,etb un majorant; plus l’écart entre a et b est petit, meilleur est l’encadrement Le plus grand nombre entier inférieur ou égal à x s’appelle la partie entière de x et on le note bxc
Liste MATHEMATIQUE Arabe
ءزﺟﻟا لﺣﻠﻟ ﺔﺣرﺗﻘﻣ نﯾرﺎﻣﺗ , ﺔﻟوﻠﺣﻣ نﯾرﺎﻣﺗ , سورد : ﻲﺿﺎﯾرﻟا لﯾﻠﺣﺗﻟا
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2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
Chapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 2I La fonction carréf?x?→x2
TD :SoitAla fonction qui à tout nombrexde[0 ;+∞[associe l"aire d"un carré de côtéx(le côté
est mesuré en cm et l"aire en cm2). SoitCla courbe représentant la fonctionA.
1. CalculerA(0),A(1),A(2),A(3).
2. Placer, dans un repère orthonormé, les points deCconnus par la question 1.a.
3. Doit-on relier ou non ces points pour représenter la courbeC?
4. Quandxaugmente, que faitA(x)? Qu"en déduit-on sur la fonctionA?
5. CalculerA(0,5),A(1,5). Peut-on relier les points déjà placés à la règle?
6. Tracer la courbeCsur[0 ; 3].
7. Soitfla fonction définie surRparf(x)=x2. ObserverCfà la calculatrice.
Expliquer comment tracer la courbeCfsur[-3 ; 0]. Justifier.I.1 Sens de variation
Définition 1
La fonction carré est définie surRparf?x?→x2soitf(x)=x2.Propriété 1
La fonction carré est :
- strictement décroissante sur]-∞; 0] - strictement croissante sur[0 ;+∞[Démonstration :
Sur[0 ;+∞[:
Si 0⩽a produit aussi :(b+a)(b-a)>0 d"oùb2-a2>0 Doncf(b)>f(a)c"est à diref(a) Pour tousaetbde[0 ;+∞[, sia f(b). fest strictement croissante sur[0 ;+∞[. Sur] -∞; 0]:
Sia leur produit est négatif :(b+a)(b-a)<0 d"où b 2-a2<0
Doncf(b)f(b).
Pour tousaetbde]-∞; 0], sia
f(b). fest strictement croissante sur]- ∞; 0]. Remarque :La fonction carré n"est ni linéaire ni affine. -1- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
I.2 Parabole d"équationy=x2
La fonction carré est représentée par une courbe appeléeparabole. Elle est constituée de tous les
pointsM(x;x2)et a pour équationy=x2. Le pointO(0 ; 0)est appelé sonsommet. 2 4 6 8 10 12 14 246-2-4-6O⃗ı
M"?M Propriété 2
Dans un repère orthogonal, la parabole d"équationy=x2admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie. Démonstration :
Pour n"importe quel réelx, on a(-x)2=x2.
Les pointsM(x;x2)etM′(-x;x2)appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par
rapport à l"axe des ordonnées (abscisses opposées et mêmes ordonnées). L"axe des ordonnées est un
axe de symétrie de cette parabole. I.3 Équationsx2=a
a<0 x 2=an"a pasde solution.
O⃗ı
Démonstration :
x 2⩾0 pour tout réelx. Doncx2
ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif. a=0 x 2=aa pouruniquesolution
0. O⃗ı
Démonstration :
x 2=0 signifiex×x=0. Un
produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Donc 0 est la seule solution.
a>0 x 2=aadeuxsolutions⎷
aet a. O⃗ı
Démonstration :
x 2=arevient àx2-a=0 c"est à
dire(x-⎷ a)(x+⎷a)=0 soit x=⎷ aoux=-⎷a. -2- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
II Fonctions polynômes de degré 2
Définition 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie surRparf?x?→ax2+bx+coùa,b,
etcsont des réels eta≠0. TP : 1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont des fonctions polynômes de degré 2 et
préciser les coefficientsa,betctels quef(x)=ax2+bx+c (a)f1(x)=2x-4 (b)f2(x)=2x2-20x+54(c)f3(x)=x2 2+3x-1(d)f4(x)=2x2+4x-5
(e)f5(x)=-2(x-1)2+1 2. Tracer sur la calculatrice les représentations graphiques des fonctionsf2,f3etf5.
3. Conjecturer la nature des courbes obtenues. En déduire des propriétés de symétrie de ces courbes.
4. Dresser les tableaux de variation des fonctionsf2,f3etf5.
5. Déterminer à l"aide la calculatrice les coordonnées du sommet de chacune de ces paraboles et
reporter ces valeurs dans les tableaux de variation obtenusà la question précédente. Propriété 3 (Admises)
?Une fonction polynôme de degré 2f?x?→ax2+bx+cest : soit strictement décroissante puis strictement croissante sia>0 soit strictement croissante puis strictement dé- croissante sia<0 ?Elle est représentée par une courbe appeléeparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie
parallèle à l"axe des ordonnées (dans un repère orthogonal). ?Le pointSde la parabole situé sur l"axe de symétrie de la parabole est appelésommetde la parabole. SiSa pour coordonnées(xS;yS), la fonctionfatteint son extremumySenxS. -3- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
EXERCICE no1 (Une méthode à retenir!)
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etPsa courbe représentative. 1. Soitf(x)=-2x2-4x+5.
(a) Déterminerf(0). (b) Résoudre l"équationf(x)=f(0). (c) En déduire l"abscisse du sommet deP. 2. Reprendre la question 1 pourf(x)=-x2+3x+2.
EXERCICE n
o2 (Les variations de l"aire d"un triangle) ABCDest un carré de côté 10 cm. On place un pointLsur le segment[AB]puis le pointMsur le segment[AD]tel queDM=AL. On notexla longueurALen cm etA(x)l"aire du triangle CLMen cm2.
1. (a) Exprimer en fonction dexles longueursBL,DM
etAMpuis les aires des trianglesCDM,MAL etLBC. (b) En déduireA(x)en fonction dex. Quelle est la nature de la fonctionA? 2. (a) Résoudre l"équationA(x)=50.
(b) En déduire l"extremum de la fonctionA. (c) Dresser le tableau de variations de la fonctionA. 3. tracer la courbe représentative de la fonctionA.
AB CDL Mx -4-quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
Doncf(b)>f(a)c"est à diref(a) Pour tousaetbde[0 ;+∞[, sia f(b). fest strictement croissante sur[0 ;+∞[. Sur] -∞; 0]:
Sia leur produit est négatif :(b+a)(b-a)<0 d"où b 2-a2<0
Doncf(b)f(b).
Pour tousaetbde]-∞; 0], sia
f(b). fest strictement croissante sur]- ∞; 0]. Remarque :La fonction carré n"est ni linéaire ni affine. -1- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
I.2 Parabole d"équationy=x2
La fonction carré est représentée par une courbe appeléeparabole. Elle est constituée de tous les
pointsM(x;x2)et a pour équationy=x2. Le pointO(0 ; 0)est appelé sonsommet. 2 4 6 8 10 12 14 246-2-4-6O⃗ı
M"?M Propriété 2
Dans un repère orthogonal, la parabole d"équationy=x2admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie. Démonstration :
Pour n"importe quel réelx, on a(-x)2=x2.
Les pointsM(x;x2)etM′(-x;x2)appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par
rapport à l"axe des ordonnées (abscisses opposées et mêmes ordonnées). L"axe des ordonnées est un
axe de symétrie de cette parabole. I.3 Équationsx2=a
a<0 x 2=an"a pasde solution.
O⃗ı
Démonstration :
x 2⩾0 pour tout réelx. Doncx2
ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif. a=0 x 2=aa pouruniquesolution
0. O⃗ı
Démonstration :
x 2=0 signifiex×x=0. Un
produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Donc 0 est la seule solution.
a>0 x 2=aadeuxsolutions⎷
aet a. O⃗ı
Démonstration :
x 2=arevient àx2-a=0 c"est à
dire(x-⎷ a)(x+⎷a)=0 soit x=⎷ aoux=-⎷a. -2- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
II Fonctions polynômes de degré 2
Définition 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie surRparf?x?→ax2+bx+coùa,b,
etcsont des réels eta≠0. TP : 1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont des fonctions polynômes de degré 2 et
préciser les coefficientsa,betctels quef(x)=ax2+bx+c (a)f1(x)=2x-4 (b)f2(x)=2x2-20x+54(c)f3(x)=x2 2+3x-1(d)f4(x)=2x2+4x-5
(e)f5(x)=-2(x-1)2+1 2. Tracer sur la calculatrice les représentations graphiques des fonctionsf2,f3etf5.
3. Conjecturer la nature des courbes obtenues. En déduire des propriétés de symétrie de ces courbes.
4. Dresser les tableaux de variation des fonctionsf2,f3etf5.
5. Déterminer à l"aide la calculatrice les coordonnées du sommet de chacune de ces paraboles et
reporter ces valeurs dans les tableaux de variation obtenusà la question précédente. Propriété 3 (Admises)
?Une fonction polynôme de degré 2f?x?→ax2+bx+cest : soit strictement décroissante puis strictement croissante sia>0 soit strictement croissante puis strictement dé- croissante sia<0 ?Elle est représentée par une courbe appeléeparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie
parallèle à l"axe des ordonnées (dans un repère orthogonal). ?Le pointSde la parabole situé sur l"axe de symétrie de la parabole est appelésommetde la parabole. SiSa pour coordonnées(xS;yS), la fonctionfatteint son extremumySenxS. -3- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
EXERCICE no1 (Une méthode à retenir!)
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etPsa courbe représentative. 1. Soitf(x)=-2x2-4x+5.
(a) Déterminerf(0). (b) Résoudre l"équationf(x)=f(0). (c) En déduire l"abscisse du sommet deP. 2. Reprendre la question 1 pourf(x)=-x2+3x+2.
EXERCICE n
o2 (Les variations de l"aire d"un triangle) ABCDest un carré de côté 10 cm. On place un pointLsur le segment[AB]puis le pointMsur le segment[AD]tel queDM=AL. On notexla longueurALen cm etA(x)l"aire du triangle CLMen cm2.
1. (a) Exprimer en fonction dexles longueursBL,DM
etAMpuis les aires des trianglesCDM,MAL etLBC. (b) En déduireA(x)en fonction dex. Quelle est la nature de la fonctionA? 2. (a) Résoudre l"équationA(x)=50.
(b) En déduire l"extremum de la fonctionA. (c) Dresser le tableau de variations de la fonctionA. 3. tracer la courbe représentative de la fonctionA.
AB CDL Mx -4-quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
Pour tousaetbde[0 ;+∞[, sia f(b). fest strictement croissante sur[0 ;+∞[. Sur] -∞; 0]:
Sia leur produit est négatif :(b+a)(b-a)<0 d"où b 2-a2<0
Doncf(b)f(b).
Pour tousaetbde]-∞; 0], sia
f(b). fest strictement croissante sur]- ∞; 0]. Remarque :La fonction carré n"est ni linéaire ni affine. -1- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
I.2 Parabole d"équationy=x2
La fonction carré est représentée par une courbe appeléeparabole. Elle est constituée de tous les
pointsM(x;x2)et a pour équationy=x2. Le pointO(0 ; 0)est appelé sonsommet. 2 4 6 8 10 12 14 246-2-4-6O⃗ı
M"?M Propriété 2
Dans un repère orthogonal, la parabole d"équationy=x2admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie. Démonstration :
Pour n"importe quel réelx, on a(-x)2=x2.
Les pointsM(x;x2)etM′(-x;x2)appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par
rapport à l"axe des ordonnées (abscisses opposées et mêmes ordonnées). L"axe des ordonnées est un
axe de symétrie de cette parabole. I.3 Équationsx2=a
a<0 x 2=an"a pasde solution.
O⃗ı
Démonstration :
x 2⩾0 pour tout réelx. Doncx2
ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif. a=0 x 2=aa pouruniquesolution
0. O⃗ı
Démonstration :
x 2=0 signifiex×x=0. Un
produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Donc 0 est la seule solution.
a>0 x 2=aadeuxsolutions⎷
aet a. O⃗ı
Démonstration :
x 2=arevient àx2-a=0 c"est à
dire(x-⎷ a)(x+⎷a)=0 soit x=⎷ aoux=-⎷a. -2- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
II Fonctions polynômes de degré 2
Définition 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie surRparf?x?→ax2+bx+coùa,b,
etcsont des réels eta≠0. TP : 1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont des fonctions polynômes de degré 2 et
préciser les coefficientsa,betctels quef(x)=ax2+bx+c (a)f1(x)=2x-4 (b)f2(x)=2x2-20x+54(c)f3(x)=x2 2+3x-1(d)f4(x)=2x2+4x-5
(e)f5(x)=-2(x-1)2+1 2. Tracer sur la calculatrice les représentations graphiques des fonctionsf2,f3etf5.
3. Conjecturer la nature des courbes obtenues. En déduire des propriétés de symétrie de ces courbes.
4. Dresser les tableaux de variation des fonctionsf2,f3etf5.
5. Déterminer à l"aide la calculatrice les coordonnées du sommet de chacune de ces paraboles et
reporter ces valeurs dans les tableaux de variation obtenusà la question précédente. Propriété 3 (Admises)
?Une fonction polynôme de degré 2f?x?→ax2+bx+cest : soit strictement décroissante puis strictement croissante sia>0 soit strictement croissante puis strictement dé- croissante sia<0 ?Elle est représentée par une courbe appeléeparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie
parallèle à l"axe des ordonnées (dans un repère orthogonal). ?Le pointSde la parabole situé sur l"axe de symétrie de la parabole est appelésommetde la parabole. SiSa pour coordonnées(xS;yS), la fonctionfatteint son extremumySenxS. -3- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
EXERCICE no1 (Une méthode à retenir!)
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etPsa courbe représentative. 1. Soitf(x)=-2x2-4x+5.
(a) Déterminerf(0). (b) Résoudre l"équationf(x)=f(0). (c) En déduire l"abscisse du sommet deP. 2. Reprendre la question 1 pourf(x)=-x2+3x+2.
EXERCICE n
o2 (Les variations de l"aire d"un triangle) ABCDest un carré de côté 10 cm. On place un pointLsur le segment[AB]puis le pointMsur le segment[AD]tel queDM=AL. On notexla longueurALen cm etA(x)l"aire du triangle CLMen cm2.
1. (a) Exprimer en fonction dexles longueursBL,DM
etAMpuis les aires des trianglesCDM,MAL etLBC. (b) En déduireA(x)en fonction dex. Quelle est la nature de la fonctionA? 2. (a) Résoudre l"équationA(x)=50.
(b) En déduire l"extremum de la fonctionA. (c) Dresser le tableau de variations de la fonctionA. 3. tracer la courbe représentative de la fonctionA.
AB CDL Mx -4-quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
Sur] -∞; 0]:
Sia leur produit est négatif :(b+a)(b-a)<0 d"où b 2-a2<0
Doncf(b)f(b).
Pour tousaetbde]-∞; 0], sia
f(b). fest strictement croissante sur]- ∞; 0]. Remarque :La fonction carré n"est ni linéaire ni affine. -1- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
I.2 Parabole d"équationy=x2
La fonction carré est représentée par une courbe appeléeparabole. Elle est constituée de tous les
pointsM(x;x2)et a pour équationy=x2. Le pointO(0 ; 0)est appelé sonsommet. 2 4 6 8 10 12 14 246-2-4-6O⃗ı
M"?M Propriété 2
Dans un repère orthogonal, la parabole d"équationy=x2admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie. Démonstration :
Pour n"importe quel réelx, on a(-x)2=x2.
Les pointsM(x;x2)etM′(-x;x2)appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par
rapport à l"axe des ordonnées (abscisses opposées et mêmes ordonnées). L"axe des ordonnées est un
axe de symétrie de cette parabole. I.3 Équationsx2=a
a<0 x 2=an"a pasde solution.
O⃗ı
Démonstration :
x 2⩾0 pour tout réelx. Doncx2
ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif. a=0 x 2=aa pouruniquesolution
0. O⃗ı
Démonstration :
x 2=0 signifiex×x=0. Un
produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Donc 0 est la seule solution.
a>0 x 2=aadeuxsolutions⎷
aet a. O⃗ı
Démonstration :
x 2=arevient àx2-a=0 c"est à
dire(x-⎷ a)(x+⎷a)=0 soit x=⎷ aoux=-⎷a. -2- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
II Fonctions polynômes de degré 2
Définition 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie surRparf?x?→ax2+bx+coùa,b,
etcsont des réels eta≠0. TP : 1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont des fonctions polynômes de degré 2 et
préciser les coefficientsa,betctels quef(x)=ax2+bx+c (a)f1(x)=2x-4 (b)f2(x)=2x2-20x+54(c)f3(x)=x2 2+3x-1(d)f4(x)=2x2+4x-5
(e)f5(x)=-2(x-1)2+1 2. Tracer sur la calculatrice les représentations graphiques des fonctionsf2,f3etf5.
3. Conjecturer la nature des courbes obtenues. En déduire des propriétés de symétrie de ces courbes.
4. Dresser les tableaux de variation des fonctionsf2,f3etf5.
5. Déterminer à l"aide la calculatrice les coordonnées du sommet de chacune de ces paraboles et
reporter ces valeurs dans les tableaux de variation obtenusà la question précédente. Propriété 3 (Admises)
?Une fonction polynôme de degré 2f?x?→ax2+bx+cest : soit strictement décroissante puis strictement croissante sia>0 soit strictement croissante puis strictement dé- croissante sia<0 ?Elle est représentée par une courbe appeléeparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie
parallèle à l"axe des ordonnées (dans un repère orthogonal). ?Le pointSde la parabole situé sur l"axe de symétrie de la parabole est appelésommetde la parabole. SiSa pour coordonnées(xS;yS), la fonctionfatteint son extremumySenxS. -3- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
EXERCICE no1 (Une méthode à retenir!)
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etPsa courbe représentative. 1. Soitf(x)=-2x2-4x+5.
(a) Déterminerf(0). (b) Résoudre l"équationf(x)=f(0). (c) En déduire l"abscisse du sommet deP. 2. Reprendre la question 1 pourf(x)=-x2+3x+2.
EXERCICE n
o2 (Les variations de l"aire d"un triangle) ABCDest un carré de côté 10 cm. On place un pointLsur le segment[AB]puis le pointMsur le segment[AD]tel queDM=AL. On notexla longueurALen cm etA(x)l"aire du triangle CLMen cm2.
1. (a) Exprimer en fonction dexles longueursBL,DM
etAMpuis les aires des trianglesCDM,MAL etLBC. (b) En déduireA(x)en fonction dex. Quelle est la nature de la fonctionA? 2. (a) Résoudre l"équationA(x)=50.
(b) En déduire l"extremum de la fonctionA. (c) Dresser le tableau de variations de la fonctionA. 3. tracer la courbe représentative de la fonctionA.
AB CDL Mx -4-quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
2-a2<0
Doncf(b)f(b).
Pour tousaetbde]-∞; 0], sia
f(b). fest strictement croissante sur]- ∞; 0]. Remarque :La fonction carré n"est ni linéaire ni affine. -1- 2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
I.2 Parabole d"équationy=x2
La fonction carré est représentée par une courbe appeléeparabole. Elle est constituée de tous les
pointsM(x;x2)et a pour équationy=x2. Le pointO(0 ; 0)est appelé sonsommet. 2 4 6 8 10 12 14246-2-4-6O⃗ı
M"?MPropriété 2
Dans un repère orthogonal, la parabole d"équationy=x2admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie.Démonstration :
Pour n"importe quel réelx, on a(-x)2=x2.
Les pointsM(x;x2)etM′(-x;x2)appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par
rapport à l"axe des ordonnées (abscisses opposées et mêmes ordonnées). L"axe des ordonnées est un
axe de symétrie de cette parabole.I.3 Équationsx2=a
a<0 x2=an"a pasde solution.
O⃗ı
Démonstration :
x2⩾0 pour tout réelx. Doncx2
ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif. a=0 x2=aa pouruniquesolution
0.O⃗ı
Démonstration :
x2=0 signifiex×x=0. Un
produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Donc0 est la seule solution.
a>0 x2=aadeuxsolutions⎷
aet a.O⃗ı
Démonstration :
x2=arevient àx2-a=0 c"est à
dire(x-⎷ a)(x+⎷a)=0 soit x=⎷ aoux=-⎷a. -2-2ndeChapitre 8 - Fonctions carré et polynômes de degré 22012-2013
II Fonctions polynômes de degré 2
Définition 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie surRparf?x?→ax2+bx+coùa,b,
etcsont des réels eta≠0. TP :1. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont des fonctions polynômes de degré 2 et
préciser les coefficientsa,betctels quef(x)=ax2+bx+c (a)f1(x)=2x-4 (b)f2(x)=2x2-20x+54(c)f3(x)=x22+3x-1(d)f4(x)=2x2+4x-5
(e)f5(x)=-2(x-1)2+12. Tracer sur la calculatrice les représentations graphiques des fonctionsf2,f3etf5.
3. Conjecturer la nature des courbes obtenues. En déduire des propriétés de symétrie de ces courbes.
4. Dresser les tableaux de variation des fonctionsf2,f3etf5.
5. Déterminer à l"aide la calculatrice les coordonnées du sommet de chacune de ces paraboles et
reporter ces valeurs dans les tableaux de variation obtenusà la question précédente.Propriété 3 (Admises)
?Une fonction polynôme de degré 2f?x?→ax2+bx+cest : soit strictement décroissante puis strictement croissante sia>0 soit strictement croissante puis strictement dé- croissante sia<0?Elle est représentée par une courbe appeléeparabole. Cette parabole admet un axe de symétrie
parallèle à l"axe des ordonnées (dans un repère orthogonal). ?Le pointSde la parabole situé sur l"axe de symétrie de la parabole est appelésommetde la parabole. SiSa pour coordonnées(xS;yS), la fonctionfatteint son extremumySenxS. -3-