Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles
Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles — MPSI - Prytan´ee National Militaire Pascal Delahaye 21 juin 2018 Dans ce chapitre, on consid`ere un espace euclidien (E, h , i) de dimension n
ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES
Définition-théorème (Groupe orthogonal) L’ensemble des matrices orthogonales de taille n, noté O(n)ou On(R), est un sous-groupe du groupe linéaire GLn(R)appelé le groupe orthogonal de degré n Le produit de deux matrices orthogonales et l’inverse d’une matrice orthogonale sont donc des matrices orthogonales
Isom etries d’un espace euclidien
2 Repr esentation matricielle des isom etries vectorielles 2 1 Matrices orthogonales D e nition 3 On dit que la matrice Mde M n(R) est orthogonale ssi MTM= I n L’ensemble des matrices orthogonales d’ordre nest appel e groupe orthogonal d’ordre n et not e O n(R) ou O(n) Propri et e 5 (du groupe orthogonal d’ordre n) O(n) ˆGL n(R) et
Chapitre 2 Les isom´etries du plan a - Université de Sherbrooke
n(R) est un groupe, toute isom´etrie est inversible puisque sa partie lin´eaire est orthogonale et son inverse est une isom´etrie Corollaire 2 3 6 Les isome´tries forment un groupe Notation 2 3 7 Nous d´enoterons par Isom(Rn) < Aff(Rn) le sous-groupe des isom´etries de Rn 2 4 Classification des isom´etries du plan
Programme de colle : du 25 janvier au 29 janvier
1 Matrices orthogonales Définition Une matrice A ∈ Mn (R) est orthogonale si, et seulement si, ses colonnes forment une base orthonormée de Mn,1 (R) 2 Une matrice de passage entre deux bases orthonormée est une matrice orthogonale 3 Si A ∈ On (R), alors det(A)=±1 Matrices orthogonales positives et négatives 4 Orientation d
Maths 2 - Sujet Princ 07
Mn,1 ()\ le -espace vectoriel\ des matrices à n lignes et une colonne Mn ()\ la -algèbre\ des matrices carrées réelles de taille n GLn ()\ le groupe des matrices inversibles de Mn (\) pour une matrice A de Mn ()\, t A est sa matrice transposée On ()\ le groupe des matrices orthogonales, c’est-à-dire des matrices A de Mn ()\ vérifiant n
1 Variables aléatoires 2 Endomorphismes remarquables des
– Matrices orthogonales, caractérisation par les colonnes ou lignes, par la relation tMM = I n ou M tM = I n – Groupes orthogonaux O(E) et O(n) – Lien entre isométries vectorielles et matrices orthogonales – Changement de base orthonormée – Déterminant d’un élément de O(E) ou O(n) Groupe spécial orthogonal SO(n)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
2 Matrices orthogonales Soit M∈M n(R) une matrice carrée réelle On dit que M est orthogonale si l’endomorphisme u M canoniquement associé à M est une isométrie vectorielle pour la norme associée au produit scalaire canonique sur M n,1(R) Définition Soit M∈M n(R) Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 Mest une
forme - mathuniv-lyon1fr
matrices orthogonales directes Groupe produit, liste des sous-groupes distingue´s 1985 — D´ecompositions d’une transformation affine du plan euclidie n en transformations ´el ementaires´ Transformations affines et vectorielles, image d’un parall e´logramme Similitudes directes et indirectes
6 Pourquoi Les Groupes de Symetrie en Cristallographie
Th~or~me: ces quatre O P S (ou les matrices orthogonales 2 x 2 qui leur correspondent) constituent un groupe d'ordre 4 et not6 2ram DEmonstration: 4tablissons la table de multiplication - la multiplication est une loi de compos- ition interne dans l'ensemble e, 2, ml, m2 -chaque 616ment est lui m6me son
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