Exercice 3: Chapitre 2 feuille dexercices : Ordre et limites

Démontrer une inégalité 1 Principes généraux On est dans cette situation quand la question est sous la forme : Montrer que, pour tout x de l’intervalle I, a f x b≤ ≤( ) Montrer que, pour tout entier naturel n, a bn n≤ Etudier le sens de variation de la suite (un)

Inégalités - Université du Luxembourg

Inégalités On donne ici quelques astuces pour démontrer une inégalité Les carrés sont toujours positifs Pour tout nombre réel a, on sait que a2 ≥0 Cette simple remarque peut permettre de démontrer un certain nombre d’inégalités

Corrigé, démonstration par récurrence

Démonstration par récurrence, démontrer une inégalité ENONCE 1 Propriété à démontrer : Soit ∈ℕ, on a : $ &’= ’&)* + $,=0 Démontrer que pour tout entier naturel ≥1, on a : ’ + ≤$ ≤1 SOLUTION DETAILLE ET REDIGEE On se propose de démontrer la propriété par récurrence INITIALISATION On vérifie si la propriété

Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes

Dans l'inégalité à démontrer apparaît une racine carrée En pareille circonstance, on cherche souvent à s'en débarrasser par élévation au carré des deux membres de la formule, ce qui est ici permis; on obtient de la sorte P 5 On élimine le dénomina-teur intervenant dans P 5 en y quadruplant les deux membres, d'où P 4 En

/%$8 /E &F9:(Y j ,- +$#; ,) ] / (+$1jJ%$(+1jJ%$k)$ 3 ?9

L TG + O -+0/21-> J R 6 1 1 [ 43 k 4&)(+_ 65 o9:, 19:6)(? ] :*,)* (> 87 9 : x y{z}C~\ y{ - f #,d d h TG/

Exercice 3: Chapitre 2 feuille dexercices : Ordre et limites

Pour démontrer une inégalité de la forme 8x2I, f(x) 6g(x), on eutp : artirp d'une inégalité déjà onnuce et utiliser les glesèr d'opérations sur les inégalités jusqu'à obtenir l'inégalité souhaitée se amènerr à l'étude du signe de g(x) f(x) I soit arp un aisonnementr sur les signes (par exemple un tableau de signes)

Suites Numériques SN1 Récurrence

Vocabulaire : une propriété est dite héréditaire si, lorsqu'elle est vraie pour un entier k, elle est aussi vraie pour un entier k + 1 Remarque : l'initialisation est importante (cf exemple du manuel page 12) Application 1 : Démontrer une égalité/inégalité avec une récurrence : On note 1×2×3× ×n=n (ce qu'on lit « factorielle

Corrigé de la feuille d’exercices no4

Déduire de l’inégalité de Hölder l’inégalité de Minkowski : (∑n i=1 (ai +bi)p)1/p (∑n i=1 ap i)1/p + (∑n i=1 bp i)1/p: 5 On définit pourx = (x1;:::;xn) 2 Rn ∥x∥p = (jx1jp + +jxnjp)1/p: Démontrer que ∥∥ p est une norme sur Rn Correction 1 La fonction ln est concave, et on a donc : ln (1 p xp + 1 q yq) 1 p ln(xp)+ 1

EXERCICE 3 6 points - Meilleur en Maths

Calculer une valeur approchée à 10−3 près de u 2 2 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un⩾0 2 b Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel n, un⩽1 2 c Montrer que la suite (un) est convergente 3

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