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Exercices de
mathématiques sur vecteurs, translations et coordonnées dans le plan
Exercice :1
Démontrer que les points B et D sont confondus sachant que :
Exercice :2
ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que : 1. a. Démontrer que . b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] . Corrigé de cet exercice de maths sur Etude d"un parallélogramme.
Exercice :3
A et B sont deux points distincts.
On cherche à construire le point M tel que :
1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?ont-ils le même
sens?ont-ils la même norme?
2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l"on a l"égalité :
3. En déduire en fonction de .
Construire le point M.
Corrigé de cet exercice de maths sur Problème sur les vecteurs.
EXERCICE4
Exercice n° 1 :
(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm. a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3). b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repere (O;C,D)dans le repère (O;D,C)? c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repere (E;C,D)?
Exercice n° 2 :
La figure ci-dessous représente des hexagones reguliers de centres a,b,c,d.
1. Determiner les images de chacun des points C,E,A,M par la translation
de vecteur : a. b. c.
2. Demontrer que C est le milieu de [AK].
Exercice n° 3 :
Demontrer que pour tous points A, B, C, D.
Exercice n° 4 :
Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4). a.Placer les points A,B,C. b. Calculer les coordonnees des vecteurs . c. En deduire les coordonnees du point M tel que d. Verifier que B est le milieu de [AM] . e. Calculer la distance AB .
Exercice n° 5 :
ABC est un triangle.
D,E,F sont les points tels que :
Demontrer que les points D, E, F sont alignes .
Indication : utiliser la relation de Chasles .
Corrigé de cet exercice de maths sur Vecteurs et repérage..
Points alignés dans un repère en seconde
Exercice :
Dans un repère , on donne :
E(3 ; - 1) F(7 ; - 7) G(5 ; - 4).
Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés. Corrigé de cet exercice de maths sur Points alignés dans un repère.
Exercice :5
Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs et sont colinéaires.
1. .
2. Corrigé de cet exercice de maths sur Vecteurs colinéaires.
Exercice :6
On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :
1. Montrer à l"aide de la relation de Chasles que .
2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?
Corrigé de cet exercice de maths sur Relation de Chasles et vecteurs.
Exercice :7
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l"ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. Corrigé de cet exercice de maths sur Parallélogramme et vecteur.
Exercice :8
Soit ABCD est un parallelogramme .
1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:
2) Montrer en utilisant la relation de chasles que .
3) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
Corrigé de cet exercice de maths sur Vecteurs et parallèlogramme..
Exercice :9
Les points P, Q et R sont-ils alignés ?
Corrigé de cet exercice de maths sur Les point sont-ils alignés.
Exercice :10
ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].
E est le point tel que
1. Effectuer la figure suivante.
2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère .
3. Les points A, E et C sont-ils alignés ?
Corrigé de cet exercice de maths sur Points alignés et vecteurs.
Exercice :11
Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on note E l"ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation : On considère également les points F(4;0) et F"(-4;0).
1. Calculer les coordonnées des points d"intersection de E avec les axes du repères.
2. A l"aide du logiciel géogebra, visualiser l"ensemble E et faire une conjecture sur
la somme des distances MF + MF" lorsque M est un point de E.
3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer en fonction de et en déduire que . b) Montrer que . c) Sachant que , montrer que puis en déduire que . d) Valider la conjecture . Corrigé de cet exercice de maths sur Coordonnées de points et longueurs ..
Exercice :12
1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
2. Déterminer tel que les vecteurs et soient colinéaires.
Corrigé de cet exercice de maths sur Coordonnées et vecteurs colinéaires.
Exercice :13
Soit ABCD un parallélogramme et soit les points M,N et P définis par :
1. Construire les points M, N et P sur la figure ci-dessous.
2. On veut démontrer que les droites (BM) et (PN) sont parallèles.
On propose deux méthode au choix :
Méthode A
a) Exprimer les vecteurs et en fonction de et . b) Que peut-on dire des vecteurs et . c) Conclure Méthode B
On se place dans le
repère a) Donner (sans justification) les coordonnées des points A, B, C et D. b) Calculer les coordonnées des points
M, N et P.
c) Conclure Corrigé de cet exercice de maths sur Vecteurs et parallèles..
Exercice :14
A et B sont deux points distincts du plan .
On définit le point M par la relation vectorielle suivante :
1. Exprimer en fonction de .
2. Placer le point M .
Corrigé de cet exercice de maths sur Exprimer un vecteur en fonction de deux autres.
Exercice :15
Dans un repère , on donne K ( - 3 ; 5) et L(4 ; 2). Déterminer l"abscisse du point M d"ordonnée - 2 tel que K, L et M soient alignés. Corrigé de cet exercice de maths sur Déterminer les coordonnées d"un point M.
Exercice :16
Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
Corrigé de cet exercice de maths sur Colinéarité de deux vecteurs.
Exercice :17
1. Placer le point E tel que .
2. Placer le point F tel que .
3. Placer le point G tel que .
Corrigé de cet exercice de maths sur Placer des points à partir d"égalités vectorielles.
Exercice :18
Dans un repère , on donne A(2 ;- 3) B(0 ; - 3) C( - 3 ; 0).
1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que
2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.
3. Donner les équations de (CE) et (AB).
Corrigé de cet exercice de maths sur Etude de droites dans un repère.
Exercice :19
Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.
Montrer que :
Corrigé de cet exercice de maths sur Quatre points quelconques du plan.
Exercice :20
Dans un repère orthonormal , on donne les points :
A(5 ; 4), B(- 1 ; 6) et C(- 3 ; 1)
1° a) Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées de D.
b) Calculer les coordonnées du point I centre du parallélogramme ABCD. c) Le point F est le symétrique du point C par rapport au point E(- 2 ; - 1).
Calculer les coordonnées de F.
d) Calculer les coordonnées des vecteurs et . Que remarque-t-on ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
2° Soit le point M défini par : .
a) Calculer les coordonnées du point M. b) Les points M, I et D sont-alignés ?
9X9w/L/91
Démontrer que les points B et D sont confondus sachant que :
Conclusion : les points B et D sont confondus
9X9w/L/92
ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que : 1. a. Démontrer que .
Nous avons :
de même :
Or ABCd est un parallèlogramme donc
donc ainsi : On en déduit que le quadrilatère MBPD est un parallèlogramme. b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] . Propriété : les diagonales d"un parallèlogramme se coupent en leur milieu.
Conclusion : le point O est le milieu de [MP].
9X9w/L/93
A et B sont deux points distincts.
On cherche à construire le point M tel que :
1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?ont-ils le même
sens?ont-ils la même norme? Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires de sens opposés et n"ont pas la même norme.
2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l"on a l"égalité :
On sait que :
3. En déduire en fonction de .
Construire le point M.
9X9w/L/94
Exercice n° 1 :
(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm. a. Placer les points... b. Nous avons : car
Les coordonnées de A(-2;2) dans (O,C,D)
de même, montrer que les coodrdonné sont B(-1;-1) dans (O,C,D). Dans le repere (O,D,C), il suffit d"inverser abscisse et ordonnée. c. LE point O a pour coordonné O(1;1) dans le repère (E,C,D).
Exercice n° 2 :
La figure ci-dessous représente des hexagones reguliers de centres a,b,c,d.
1. Determiner les images de chacun des points C,E,A,M par la translation
de vecteur : a. La translation de vecteur envoie C en L, E en D, A en B et M en N. b. La translation de vecteur envoie C en d, A en a et M en c. c. LA translation de vecteur envoie C en K, E en O,A en C et M en I.
2. Utiliser la translation de vecteur
Exercice n° 3 :
Demontrer que pour tous points A, B, C, D.
D"après la relation de Chasles.
Exercice n° 4 :
Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4). a.Placer les points A,B,C. b. . e.
9X9w/L/95
Dans un repère , on donne :
E(3 ; - 1) F(7 ; - 7) G(5 ; - 4).
Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés. Vérifions si les vecteurs et sont colinéaires alors les trois points seront alignés. donc donc Nous remarquons que donc les vecteurs sont colinéaires et les points E,F et G sont alignés.
9X9w/L/96
Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs et sont colinéaires.
1. .
Utilisons la relation de Chasles :
2.
Utilison la relation de Chasles
9X9w/L/97
On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :
1. Montrer à l"aide de la relation de Chasles que .
2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?
les vecteurs et sont donc colinéaires et on en déduit que les droites (BJ) et (IC) sont parallèles.
9X9w/L/98
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l"ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. il y en a d"autres sur l"identité du parallélogramme que vous aurez l"occasion de rencontrer dans d"autres exercices du site.
Les points P, Q et R sont-ils alignés ?
Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs et sont colinéaires
9X9w/L/911
ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].
E est le point tel que
1. Effectuer la figure suivante.
2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère .
3. Les points A, E et C sont-ils alignés ?
Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs et sont colinéaires.
9X9w/L/912
Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on note E l"ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation : On considère également les points F(4;0) et F"(-4;0).
1. Calculer les coordonnées des points d"intersection de E avec les axes du repères.
Lorsque x=0 , y=3 et y= -3.
Lorsque y=0, x=5 et x= - 5 .
2. A l"aide du logiciel géogebra, visualiser l"ensemble E et faire une conjecture sur
la somme des distances MF + MF" lorsque M est un point de E.
La distance MF+MF" est constante.
3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer en fonction de et en déduire que . or ce qui est équivalent à dire que ce qui équivaut b) Montrer que . c) Sachant que , montrer que puis en déduire que . d) Valider la conjecture .
9X9w/L/913
1. Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
Calculons le déterminant :
Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires.
2. Déterminer tel que les vecteurs et soient colinéaires.
Le déterminant doit être nul :
9X9w/L/914
9X9w/L/915
A et B sont deux points distincts du plan .
On définit le point M par la relation vectorielle suivante :
1. Exprimer en fonction de .
Utilisons la relation de Chasles :
2. Placer le point M .
9X9w/L/916
Dans un repère , on donne K ( - 3 ; 5) et L(4 ; 2). Déterminer l"abscisse du point M d"ordonnée - 2 tel que K, L et M soient alignés. Pour que les points soient alignés il faut que les vecteurs et soient colinéaires avec . Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs : et Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :
Conclusion :
9X9w/L/917
Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
Calculons le déterminant :
9X9w/L/918
1. Placer le point E tel que .
2. Placer le point F tel que .
3. Placer le point G tel que .
9X9w/L/920
Dans un repère , on donne A(2 ;- 3) B(0 ; - 3) C( - 3 ; 0).
1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que
Résolvons un système :
Nous obtenons les deux équations :
donc Conclusion : les coordonnées du point E sont E( - 4 ; 0 ) .
2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.
Les vecteurs et étant colinéaires, les droites (CE) et (AB) sont parallèles.
9X9w/L/921
Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.
Montrer que :
Nous avons
9X9w/L/922
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