DÉRIVATION (Partie 2)

Dérivée de l’inverse 1 u 0 = u0 u2 Dérivée du quotient u v 0 = u 0v uv v2 Dérivée de la puissance (un)0= nu0un 1 Dérivée de la racine p u 0 = u0 2 p u

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

Opération Dérivée f+g f0+g0 fg f0g+fg0 f g f0g fg0 2 g f f0 g0 f 1 u u0 u2 un nu0un 1 p u u0 2 p u eu u0eu ln(u) u0 u Quelques formules de trigonométrie

DÉRIVÉES USUELLES ET DIFFÉRENTIELLES

Mesures physiques 1 ère année Cours de Mesures I U T de Caen, décembre 2006 1/1 derivees doc DÉRIVÉES USUELLES ET DIFFÉRENTIELLES DÉRIVÉES FONDAMENTALES Fonction Dérivée 1 Dérivée 2 Différentielle y = u(x) y' = u'(x) dy dx = du dx dy = du = u' dx y = un(x) y' = n u' un-1 dy dx = n un-1 du dx dy = n un-1 du y = 1 u y' = - u' u2 dy

La fonction dérivée

Quelques conseils lorsqu’on calcule une dérivée • Comme il est plus facile de dériver une somme qu’un quotient, on ne cherchera pas à réduire au même dénominateur avant de dériver • Comme le signe de la dérivée donne les variation de la fonction, on cherchera à factoriser la dérivée lorsque cela est possible

EXALG020 Mons, questions-types, 2000-2001

1) Racine de : Dérivée première ' 2 2 Racines de ' : 2 Le signe de ' est le signe de 2 2 Tableau de variation ' 0 0 Si , l'extréma a x a x a x f x x a f x x a e x a e e x a x a xa fx xa f x x a x a aa fx f x Min Max xa 22

FONCTION DERIVÉE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques IV Extremum d'une fonction Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I Si la dérivée f ' de f s'annule et change de signe en un réel c de I alors f admet un extremum en x = c - Admis - Méthode : Rechercher un extremum

DÉRIVATION (Partie 2)

Le coefficient de x2, égal à 3, est positif, donc la parabole est tournée dans le sens « cuvette » La dérivée est donc positive pour tout x 3) On en déduit le tableau de variations de f: x −∞ +∞ f'(x) + f 4) EXEMPLE 2 Soit la fonction f définie sur par f(x)=x3+ 9 2 x2−12x+5 1) Calculer la fonction dérivée de f

TD 1, Intégrales généralisées

f x ( ) dx, il suffit de disposer d’une primitive de f, c’est-à-dire d’une fonction F dont la dérivée est f Et alors ∫ b a f x ( ) dx = F(b) – F(a) Ce théorème de Newton-Leibniz est aussi appelé théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, car il établit un pont entre calcul différentiel et calcul intégral

Tableaux des primitives usuelles - Mathovore

u et v sont des fonctions de primitives respectives U et V Fonction f Une primitive F (déterminée à une constante près) Remarques f = u + v F = U + V f = ku (k constante) F = kU Dans la suite u est dérivable sur un intervalle I f = u' un (n ≠ –1) F = 1 n 1 un+1 selon les valeurs de n f = u' u2 F = – 1 u u ne s'annule pas sur I f = u

Feuille d’exercices n˚15 : correction

entier, de f) Les plus curieux constateront (par exemple en appliquant les règles de Bioche) que d’autres changements de variables sont possibles, qui donnent de façon intéressante d’autres expressions de nos primitives Par exemple, en posant directement u = sh(t) dans l’intégrale initiale, du = ch(t)dt, et F(x) = Zx 0 ch(t) ch2(t

1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDÉRIVATION (Partie 2) I. Fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie par f(x)=2x

3 -3x 2 +5x-1 . Pour déterminer la fonction dérivée f ', on applique la technique suivante : f(x)=2x 3 -3x 2 +5x-1 f'(x)=3×2x 2 -2×3x+5

Définition : Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie sur ℝ par f(x)=ax

3 +bx 2 +cx+d

. On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ℝ par f'(x)=3ax

2 +2bx+c

. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) f(x)=x

3 -3x 2 +2x-5 b) g(x)=5x 3 +2x 2 +2x-7 c) h(x)=-2x 3 -3x 2 -7x+8 d) k(x)=-x 3 +x 2 +1 e) l(x)=-4x 3 +1 f) m(x)=-x 3 +7x a) f(x)=x 3 -3x 2 +2x-5 donc f'(x)=3×x 2 -2×3x+2=3x 2 -6x+2 b) g(x)=5x 3 +2x 2 +2x-7 donc g'(x)=3×5x 2 +2×2x+2=15x 2 +4x+2 c) h(x)=-2x 3 -3x 2 -7x+8 donc h'(x)=-2×3×x 2 -2×3x-7=-6x 2 -6x-7 2

2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr d) k(x)=-x

3 +x 2 +1 donc k'(x)=-3×x 2 +2×x=-3x 2 +2x e) l(x)=-4x 3 +1 donc l'(x)=-3×4x 2 =-12x 2 f) m(x)=-x 3 +7x donc m'(x)=-3×x 2 +7=-3x 2 +7

II. Variations d'une fonction polynôme du troisième degré 1) Observation sur quelques exemples À l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, on observe les variations de quelques fonctions polynômes du troisième degré. 2) Etude des variations à l'aide de la fonction dérivée Théorème (rappel) : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si

, alors f est décroissante sur I. - Si f'(x)≥0

, alors f est croissante sur I. Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du troisième degré Vidéo https://youtu.be/23_Ba3N0fu4 EXEMPLE 1

3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSoit la fonction f définie sur

par f(x)=x 3 +2x 2 +2x

. 1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. 4) À l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f. 1) Pour tout x réel, on a :

f'(x)=3x 2 +4x+2 . 2) Commençons par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme 3x 2 +4x+2 est égal à Δ = 42 - 4 x 3 x 2 = -8 Δ < 0 donc l'équation f'(x)=0

ne possède pas de solution. Le coefficient de x2, égal à 3, est positif, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». La dérivée est donc positive pour tout x. 3) On en déduit le tableau de variations de f : x -∞

f'(x)

+ f 4) EXEMPLE 2 Soit la fonction f définie sur

par f(x)=x 3 9 2 x 2 -12x+5

4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1) Pour tout x réel, on a :

f'(x)=3x 2 +2× 9 2 x-12=3x 2 +9x-12 . 2) Commençons par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme 3x 2 +9x-12 est égal à Δ = 92 - 4 x 3 x (-12) = 225 L'équation possède deux solutions : x 1 -9-225

2×3

=-4 et x 2 -9+225

2×3

Le coefficient de x2, égal à 3, est positif, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». La dérivée est donc positive à l'extérieur de ses racines -4 et 1. 3) On en déduit le tableau de variations de f : x -∞

-4 1 +∞ f'(x) + - + f 61 3 2

En effet,

f(-4)=-4 3 9 2 -4 2 -12×-4 +5=61 et f(1)=1 3 9 2 ×1 2 -12×1+5=- 3 2

. 4) Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] DÉRIVATION (Partie 2)

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en

DÉRIVÉES USUELLES ET DIFFÉRENTIELLES

La fonction dérivée

EXALG020 Mons, questions-types, 2000-2001

FONCTION DERIVÉE

DÉRIVATION (Partie 2)

TD 1, Intégrales généralisées

Tableaux des primitives usuelles - Mathovore

Feuille d’exercices n˚15 : correction

1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDÉRIVATION (Partie 2) I. Fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré Soit f une fonction polynôme du troisième degré définie par f(x)=2x

2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr d) k(x)=-x

3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSoit la fonction f définie sur

4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1) Pour tout x réel, on a :

2×3

2×3

En effet,