Partie 1 : Complément de cours à étudier intervalle stable
Soit une fonction définie sur un domaine D de La suite (u n) définie par: u 0 D et n , u n+1 = f(u n) est une suite récurrente d’ordre 1 associée à la fonction f On a u 1 = f(u 0), u 2 = f(u 1) = f f(u 0) etc 1 Problème d'existence, notion d’intervalle stable : La suite (u n) est bien définie lorsque tous ses termes existent
Suites r´ecurrentes du type n+1 n - toile-libreorg
Dans tout ce chapitre, f d´esignera une fonction d´efinie sur un intervalle I 1 Existence de tous les termes de la suite 1 1 Intervalles stables D´efinition On dit que J est un intervalle stable par f si f(J) ⊂ J Rappels: 1 f(J) ⊂ J signifie que pour tout x∈ J, f(x) ∈ J 2
16 Fonctions dérivées sur un intervalle
Étudier la fonction fet montrer que h 1;e2 i est stable par f b) Étudier les variations de f(x) xsur h 1;e2 i En déduire que fpossède un unique point fixe dans cet intervalle c) Montrer que pour tout n, u nexiste et appartient à l’intervalle h 1;e2 i d) Étudier la monotonie de (u n) et montrer qu’elle converge vers une limite
Convergence de suites - Université de Paris
Soient I un intervalle de R, et f : I R une fonction Supposons que l’intervalle I est stable par f, c’est-a-dire que f(I) ˆI Dans les exemples simples, f sera une fonction continue sur I On se donne un el ement u 0 2I, et l’on veut etudier la suite (u n) d e nie par u 0 et la relation de r ecurrence u n+1 = f(u n)
Suites - Etudes des suites recurrentes - Bienvenue sur le
Soit f une fonction continue sur I Supposons que le segment [a,b] est stable par f Alors f poss`ede un point fixe appartenant dans l’intervalle [a,b] ☞Ainsi (a condition que fsoit continue) dans un intervalle stable parf, il existe n´ec´essairement un point fixe de f
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES - bagbouton
Soit a une fonction continue sur un intervalle I Les solutions de l’équation homogène du premier ordrey axy' 0 sont les fonctions : x Ce Ax , où C K etA une primitive de a sur I Démonstration : La fonction a admet des primitives sur l’intervalleI, soitA l’une d’entre elles
Suites récurrentes réelles - bagbouton
avec I intervalle stable par f • Si la suite (un)converge vers un réel L • Si Iest un intervalle fermé • Si la fonction f est continue sur I Alors L I˛ et vérifieL f L= ( ) Démonstration : L’intervalle Iest un intervalle fermé donc de la forme ]-¥,a], OU [a,+¥[, OU [a b,] où a et b sont deux réels tels que a b<
Suites récurrentes un+1=f(un)
fonction dé nie sur pa rtie D de R, un intervalle I stable r f et un réel a ∈ I On p eut alo rs construire une suite (u n) dé nie pa r u 0 = a p our tout n ∈N, u n + 1 = f ( ) Une telle suite ainsi dé nie est app elée une récurrente (Lycée Jean PERRIN) 11 / 54
Intégration sur un intervalle quelconque
De même, une fonction réelle continue par morceaux sur un intervalle ouvert peut avoir une limite infinie ou pas de limite aux bornes de cet intervalle Par exemple, la fonction x 7→ sin 1 x est continue par morceaux sur ]0,1]car continue par morceaux (et même continue) sur tout segment contenu dans ]0,1] Théorème 1
1) Fonction croissante Fonction décroissante
atteinte par cette fonction sur cet intervalle Le minimum d’une fonction ???? sur un intervalle I est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle Un extremum d’une fonction ???? sur un intervalle I est un maximum ou un minimum de cette fonction ???? sur l’intervalle I 2) Exemples :
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