MP interdit
3 2 Premieres` propriet´ es´ des zeros´ d’une solution de (E ’; ) Soit uune solution sur I, non identiquement nulle, de l’equation diff´ erentielle´ (E ’; ) 3 2 1 Montrer que si t 0 2Iest un zero de´ ualors u0(t 0) 6= 0 et il existe >0 tel que 8t2I\]t 0 ;t 0 + [nft 0g; u(t) 6= 0 3 2 2 Soient aet bdeux ´el ements de´ Itels que
Résolution d’équations différentielles du premier ordre Les
Montrer que z est solution de l’équation différentielle (E’) : z'= −z +1 Résoudre (E’) puis (E) Exercice 4 Soit (E) l’équation différentielle y'+2y = cosx Montrer que g(x) = 0,4cosx + 0,2sin x est solution de (E) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si f – g est solution de l’équation
La partie III est ind´ependante des deux premi`eres
Montrer que y est solution de (E α) sur ] − ∞,0[ si et seulement si la fonction x 7→y(−x) est solution de (E α) sur ]0,+∞[ En d´eduire la solution g´en´erale de (E α) sur ]−∞,0[ I 5 Soit j α la fonction d´efinie sur ]0,+∞[ par j α(x) = xαf α(x) I 5 1 Montrer que j α est solution sur ]0,+∞[ de l’´equation
Primitives et équations différentielles
e−2x est solution de (E’) 3) Vérifier que g définie sur R par : g(x)=−3e−3x est solution de (E) 4) En remarquant que f =g+h, montrer que f est une solution de (E) Partie B Soit Cf la courbe de f dans un repère orthonormé (O,~ı, ~ )d’unité 1 cm 1) Déterminer les limites de f en +∞ et −∞
Algèbre linéaire 1 - PSI Fabert
a) Montrer que f−1(G) est un sous espace vectoriel de E b) Montrer que dim (f−1(G)) = dim (GT Im (f)+dim (kerf) SOLUTION : a) f(0 E) = 0 F ∈ Gdonc 0 E ∈ f−1(G) et f−1(G) n'est pas vide ∀x,y∈ f−1(G),∀λ∈ K ,f(x+λy) = f(x) {z} ∈G +λf(y) {z} ∈G ∈ G donc x+λy∈ f−1(G) f−1(G) est donc un sous espace vectoriel
Devoir de synthèse n° 3 Math
E x y:11 24 1 / Montrer que si ;xy est solution de E alors x et y sont premier entre eux / Montrer que est solution de si, et seulement si xy 11 11 24 5 0 / Résoudre dans l’équation 2) / Montrer que, pour tout n IN , 10 1n est divisible par 9 / Montrer que si ;nm est solution de alors
Probl eme 1 - WordPresscom
Montrer que z 1 est d erivable sur R + et calculer sa d eriv ee Montrer que la fonction ainsi obtenue est solution de (E) sur ] 2;+1[ Fin du probl eme 1 2/2
DS PTSI 1 - bagbouton
3 EXERCICE 12 : Montrer que 2 1 1 3,3 3 n n et 2 1 1 2 ,4 2,5 n n n EXERCICE 13 : Soit la suite n n u
Exercices du chapitre II avec corrig´e succinct
} est born´e Solution : Comme n < n+1, il est clair que ∀x ∈ A, on a 0 ≤ x ≤ 1 Exercice II 23 Ch2-Exercice23 Soit a < b, en utilisant la caract´erisation de la borne sup´erieure, montrer que sup [a,b[= b Solution : On utilise la caract´erisation de la borne sup´erieure
Corrig´es d’exercices pour le TD 3 - Monteillet
car le d´eterminant de ce syst`eme est ad−bc6= 0 Montrer que dans la d´efinition d’une norme Nsur un espace vectoriel E, on peut remplacer l’in´egalit´e triangulaire par la propri´et´e“{x∈ E; N(x) ≤ 1} est convexe” Solution Supposons que Nv´erifie l’in´egalit´e triangulaire
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Exercices du chapitre II avec corrig´e succinct
Exercice II.1Ch2-Exercice1
Les applicationsf1(x) =|x|,f2(x) =⎷x,f3(x) =1⎷x2+1sont-elles des applications
de IR dans IR?Solution:f1: oui,f2: non (f2n"est d´efinie que sur IR+),f3: oui.Exercice II.2Ch2-Exercice2
Soit la fonctionf: IR→IR,f:x?→⎷x. Donner son domaine de d´efinitionD. Puisconsid´erantfcomme une application deDdans IR, donner l"image de cette application.Solution:D= IR+, Imf= IR+(le d´emontrer par double inclusion, sachant que si
y?IR+il peut s"´ecrirey=?y2).Exercice II.3Ch2-Exercice3
Soitf: IR+→IR d´efinie parf(x) =⎷x. Cette application est-elle injective? surjec-tive? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu"elle devienne bijective?Solution: Elle est injective car⎷x
1=⎷x
2?x1=x2. Elle n"est pas surjective car
Imf= IR+et non pas IR, donc elle n"est pas bijective. Elle serait bijective si on prenait f: IR+→IR+.Exercice II.4Ch2-Exercice4 Montrer, en utilisant les r´esultats du chapitre 1, que la n´egation de l"implication ?x?E,?x??E,{(f(x) =f(x?))?(x=x?)} est ?x?E,?x??E,{(x?=x?)et(f(x) =f(x?))}. En d´eduire qu"une application n"est pas injective si ?x?E,?x??E,{(x?=x?)et(f(x) =f(x?))}.Solution: On sait quenon(P?Q) s"´ecrit (Pet(nonQ), d"o`u non{?x?E,?x??E,(f(x) =f(x?))?(x=x?)} ? {?x?E,?x??E,(f(x) =f(x?))et(x?=x?)}Exercice II.5Ch2-Exercice5
En utilisant les r´esultats du chapitre 1, montrer que ((f(x) =f(x?))?(x=x?))?((x?=x?)?(f(x)?=f(x?)) En d´eduire qu"une applicationf:E→Fest injective si et seulement si ?x?E,?x??E,((x?=x?)?(f(x)?=f(x?))).Solution: Il suffit d"appliquer : (P?Q)? {(nonQ)?(nonP)}.Exercice II.6Ch2-Exercice6 SoitE= IR\{-2}et soitf:E→IR,x?→x+1x+2. TrouverF=Imf. Montrer quefestbijective deEsurF. Mˆeme question avecD= IR+?.Solution: Apr`es calculs on montre que touty?= 1 admet un unique ant´ec´edent qui
s"´ecrit x=1-2yy-1 d"o`u (y?Imf)?(y?= 1) et donc Imf= IR\{1}. Lorsque le domaine de d´efinition defest limit´e `a IR+?, on a x >0?1-2yy-1>0?y?]12 ,1[.Exercice II.7Ch2-Exercice7 SoientEetFdeux ensembles, et soitfune application deEdansF. Montrer quela compositionidF◦fest valide et queidF◦f=f.Solution:idF◦f:E→F→FetidF◦f(x) =idF(f(x)) =f(x).Exercice II.8Ch2-Exercice8
Soient les applicationsf: IR+
?→IR+ ?etg: IR+ ?→IR d´efinies parf(x) =1x etg(x) =x-1x+1. Montrer queg◦f=-gsur IR+?.Solution: Tout d"abord, comme 0 et-1 sont exclus des domaines de d´efinition, ces
deux applications sont effectivement bien d´efinies. Il suffit ensuite de calculerg(f(x)).En effetg(f(x) =1x
-11 x + 1=1-x1 +x.Exercice II.9Ch2-Exercice9
En vous souvenant de lnxetex, donner les ensembles de d´epart et d"arriv´ee permet-tant de dire que l"une est l"application r´e de l"autre.Solution: lnx: IR+?→IR etex: IR→IR+?, do`uelnx: IR+?→IR+?et lnex: IR→IR.Exercice II.10Ch2-Exercice10
SoientEetFdeux ensembles, et soitfdeEdansFqui admet une application r´eciproquef-1. Montrer, `a partir de la d´efinition def-1quef-1admet une applicationr´eciproque et que (f-1)-1=f.Solution:f-1◦f=idEetf◦f-1=idFcaract´erisent (par d´efinition) l"inverse de
f -1qui est doncf.Exercice II.11Ch2-Exercice11 Vous avez montr´e (dans un exercice pr´ec´edent) quef: IR\{-2} →IR\{1},f:x?→x+1x+2est une bijection. D´eterminer l"expression def-1(y).Solution: On a d´ej`a d´emontr´e quef-1(y) =1-2yy-1en r´esolvant l"´equationy=f(x).Exercice II.12Ch2-Exercice12
Soient les applicationsf: IR+?→IR+?etg: IR+?→]-1,1[ d´efinies parf(x) =1x et g(x) =x-1x+1. Donnerf-1,g-1puis (g◦f)-1. Comparer avec le r´esultat de l"exerciceII.8Solution:f-1: IR+?→IR+?etf-1(y) =1y
,g-1:]-1,1[→IR+?etg-1(y) =1 +y1-y (r´esoudrey=g(x)), d"o`u (g◦f)-1(y) = (f-1◦g-1)(y) =11+y1-y=1-y1 +y. Il a ´et´e montr´e dans l"exercice 8 que (g◦f)-1= (-g)-1et l"on a bien (-g)-1=1-y1 +y (r´esoudrey=-g(x)).Exercice II.13Ch2-Exercice13 Montrer que la loi "soustraction"est une loi de composition interne dans ZZ. Montrer que la loi "division"n"est pas une loi de composition interne dans ZZ\{0}mais que cetteloi est une loi de composition interne dansQ\{0}.Solution: La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de
deux entiers relatifs peut ne pas ˆetre un entier relatif ( 23??ZZ). Par contre le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel non nul, en effet pq p ?q ?=pq?qp ?les ´el´ements p,q,p ?,q?´etant tous des entiers non nuls.
Exercice II.14Ch2-Exercice14
Montrer que dans un groupe (E,♦) l"´el´ement neutre est unique, de mˆeme que l"´el´e-
ment inverse d"un´el´ement quelconque deE. Enfin, montrer que la" r`egle de simplification ": sia♦c=b♦c, alorsa=b, que vous connaissez bien pour l"addition dans ZZ, s"applique dans un groupe quelconque.Solution: S"il existe deux ´el´ements neutrese1ete2, on a e1♦e2=e1ete1♦e2=e2.
Et sixa deux inversesx1etx2, on a
x1♦x♦x2= (x1♦x)♦x2=e♦x2=x2
x1♦x♦x2=x1♦(x♦x2) =x1♦e=x1
d"o`ux1=x2.On appellec1l"inverse dec, alors
a♦c=b♦c?(a♦c)♦c1= (b♦c)♦c1?a♦(c♦c1) =b♦(c♦c1)?a♦e=b♦e?a=b
Quelles sont les propri´et´es que l"on a utilis´ees?Exercice II.15Ch2-Exercice15 Montrer que les lois "addition" et "multiplication" ne sont pas des lois internes dans l"ensemble des nombres irrationnels.Solution: Par exemple⎷2-⎷2 = 0 et ⎷2×⎷2 = 2, or 0 et 2 ne sont pas des irrationnels!Exercice II.16Ch2-Exercice16 Montrer que sixest irrationnel,p,qsont entiers,p?= 0 alorspxq est irrationnel.Solution: On peut raisonner par l"absurde : on suppose quexest irrationnel,p,q sont entiers,p?= 0 ,pxq est rationnel. On a doncxest irrationnel,p,qsont entiers,p?= 0 ,pxq =p?q Ce qui implique quexest irrationnel,p,qsont entiers etx=p?qq ?p, ce qui est absurde.Exercice II.17Ch2-Exercice17Montrer que la relation "<"n"est pas r´eflexive ni sym´etrique.Solution: Quels que soient les r´eelsxety, les propri´et´esx < xet (x < y)?(y < x)
sont clairement fausses.Exercice II.18Ch2-Exercice18
?a >0,?A?IR;?n?IN tel quena > A.Solution: Toutes ces in´egalit´es se d´emontrent `a partir des propri´et´es ´el´ementaires de
AppelonsPla propri´et´e d"Archim`ede,Qla proposition ?a >0,?A?IR;?n?IN tel quena > A. On montreP?Q. Il suffit d"appliquer la propri´et´e d"Archim`ede au nombre r´eelB=Aa On montreQ?P, il suffit d"appliquer la propositionQaveca= 1.Exercice II.19Ch2-Exercice19Tracer le graphe de la fonction partie enti`ereE: IR→IR.Solution: On obtient une fonction en "escalier"(voir la figure??).-2-102311
2 -2Fig.1.1 - graphe de partie enti`ere
Exercice II.20Ch2-Exercice20
Montrer que siMest un majorant deAtout r´eelM?≥Mest aussi un majorant. De deA. La d´emonstration est la mˆeme pourm?.Exercice II.21Ch2-Exercice21 Montrer qu"une partieAde IR est born´ee si et seulement si il existe un nombreM≥0(Aidez-vous d"un dessin si cela ne vous paraˆıt pas ´evident car ce r´esultat est souvent
utilis´e).Exercice II.22Ch2-Exercice22 Soita < b, en utilisant la caract´erisation de la borne sup´erieure, montrer que sup -c < a, oraest un ´el´ement de [a,b[ donccn"est pas majorant de [a,b[. -c≥aalorsc+b2 est un ´el´ement de [a,b[ qui est strictement sup´erieur `ac, doncc n"est pas majorant de [a,b[.On vient donc de d´emontrer quebest le plus petit des majorants de [a,b[.Exercice II.24Ch2-Exercice24
-Soitt <⎷2, alors entre deux nombres r´eels il existe toujours un rationnel, d"o`u ?q?Q tel quet < q <⎷2 et doncq?Av´erifie bient < q.Exercice II.25Ch2-Exercice25
Montrer queaest le plus grand des minorants deI= [a,+∞[.Solution: Raisonnons par l"absurde et supposons qu"il existe un minorantmdeItel
quea < m. Alors il existe un r´eelαtel quea < α < met donc il existe un r´eelα appartenant `aI(a < α) qui est strictement plus petit quem, ce qui est absurde puisquemest un minorant deI.Exercice II.26Ch2-Exercice26 En appliquant l"axiome de la borne sup´erieure, d´emontrer que toute partieAnon vide et minor´ee de IR admet une borne inf´erieure.Solution: Soitmun minorant deA. Alors : D´efinissons l"ensembleB={y?IR,y=-x,x?A}. AlorsBest major´e par-metBSi l"on revient aux ´el´ements deA(x=-y), on trouve-?x?A, on ax≥ -s-Soit-t >-s, alors?x?Atel que-t > x.
Ceci est la caract´erisation de "-s"est la borne inf´erieure deA.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16