Extremums d’une fonction - Parfenoff org
Soit une fonction définie et dérivable sur I = 4 ; 6 dont on donne ci-dessous le tableau de variation T – 4 0 2 6 Variations de B 5 3 1 1 La lecture de ce tableau nous permet d’affirmer : • Que admet sur I un maximum en L F4 et un minimum en L 0 • Que sur ? F1 ; 3 B admet un maximum local en L 2 et un minimum en
3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE
Lorsquea >0, la fonction f: xax bxca 2 + + admet un minimum pour 2 b x a =− Lorsquea
Savoir démontrer qu une fonction admet un extrémum
1 Utiliser la le menu graph, et fonction trace de la calculatrice pour visualiser l ¶allure de la courbe et l ¶ordonnée du point de la courbe d ¶abscisse x = 4 S ¶agit-il d ¶un maximum , ou d ¶un minimum ? 2 Par le calcul, montrer que la fonction f admet un extremum sur , donner la nature et la valeur de cet extremum
Exercices : Fonctions de plusieurs variables : optimisation
2 L’objectif de cette question est de montrer que f admet un minimum global et de le calculer a Justi˙er qu’il su˝t de travailler sur la restriction de f à R [0;+1[ b Étudier, pour y > 0 donné, les variations de la fonction g y: x 2R 7 f(x;y) Montrer qu’elle admet un minmum global m y que l’on exprimera en fonction de y
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - maths et tiques
f admet donc un minimum en 1 Ce minimum est égal à 3 Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par f(x)=a(x−α) 2 +β, avec a≠0 - Si a>0, f admet un minimum pour x=α Ce minimum est égal à β - Si a
Optimisation dune fonction dune variable
Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I = [a;b] Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I) C Nazaret Optimisation
Bornes supérieures et inférieures
1 Montrer que admet une borne inférieure et la déterminer, est-ce un minimum ? 2 Montrer que admet une borne supérieure et la déterminer, est-ce un maximum ? Allez à : Correction exercice 6 : Exercice 7 : Soit ={2 2 +3; , ∈ℕ∗} 1 Montrer que est minoré et majoré 2
La dérivée seconde- - HEC Montréal
La rubrique précédente nous a permis d'analyser une fonction par sa dérivée première Les points stationnaires, critiques, minimum et maximum pouvaient tous être déterminés avec cette simple première dérivée Même si la dérivée première donne beaucoup d'information à propos d'une fonction,
Continuité et dérivabilité d’une fonction
Remarque : Parfois la fonction f n’admet pas une limite en a, mais admet une limite à droite et une limite à gauche C’est le cas de la fonction partie entière E (voir plus loin) On a par exemple : lim x→2− E(x)=1 et lim x→2+ E(x)=2 1 2 Continuité en un point Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert
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Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable1ère année
E.N.S.T.B.B.
I.P.B.
Année Universitaire 2015-16
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
4Convexité
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiantMinimiserf(x)
x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest
souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéC. NazaretOptimisation
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Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexitéminimum global et local
Définition
Soit f une fonction définie sur I et x
2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global
sur I au point x , si8x2I f(x)f(x):
(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que8x2J f(x)f(x):
(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexitéminimum global et local
Définition
Soit f une fonction définie sur I et x
2I.On dit que f admet un extremum en x
si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.RemarqueUn extremum global est un extremum local.
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexité
Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexité-5
0 5 100.00.51.01.52.02.53.0
Maximum localMaximum global
Minimum local
Figure:
f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
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Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
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Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
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Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreSoit
un intervalle ouvert.ThéorèmeToute fonction continue et coercive sur
atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
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Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordreThéorème
Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvertI et si f admet en un point x
de I un extremum alors f0(x) =0:C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreRemarque
La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les
extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.
En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I. On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
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ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.
De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1 quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions ,les choses
seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
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ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions ,les choses
seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
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Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
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Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.