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Equations Diff´erentielles
Examen Mai 2016
Dur´ee : 3 heures
Documents et calculatrices interdits
Le sujet est compos´e de 5 exercices ind´ependantsExercice 1
( 4 points)On consid`ere l"´equation diff´erentielle
y ?=f(y)(1) avecf:R→Rdonn´e par1 siy >1.
(a) Montrer que pour tout (t0,y0)?R2il existe une et une seule solution globaleyde (1) v´erifianty(t0) =y0. (b) Obtenir cette solution explicite dans le cas o`ut0= 0 et 0< y0<1.Exercice 2
( 3.5 points)On consid`ere l"´equation diff´erentielle
y ?=ty+t y.(2) (a) Quel est le type de cette ´equation ? (b) Montrer que?y0?R?il existe une solution maximale unique de (2) v´erifianty(0) =y0. (c) On posez(t) =y(t)2. Montrer qu"alorszest solution dez?= 2tz+ 2tet r´esoudre cette´equation.
(d) R´esoudre (2) avec la condition initialey(0) = 2. Donner le domaine de d´efinition de la solution maximale.Exercice 3
( 4 points ) SoientM,N:R2→Rdeux fonctions de classeC1telles que la fonction ∂M ∂y(x,y)-∂N∂x(x,y)M(x,y)
ne d´epend pas de la variablex. On poseFla fonction donn´ee parF(y) =∂M
∂y(x,y)-∂N∂x(x,y)M(x,y)
1 et on suppose queFest continue. (a) On consid`ere l"´equation diff´erentielleN(x,y(x))y?(x) +M(x,y(x)) = 0.
(i) Soitμ:R→Rune fonction de classeC1. Montrer que l"´equation diff´erentielleμ(y)N(x,y)y?+μ(y)M(x,y) = 0
admet une int´egrale premi`ere si et seulement siμv´erifie l"´equation dμ(t) dt+F(t)μ(t) = 0.(3) (ii) R´esoudre l"´equation (3), c"est `a dire, d´eterminerμen fonction deFett. (b) On veut appliquer cette m´ethode pour r´esoudre l"´equation (2x3y(x) +x3y4(x))y?(x) + 3x2y2(x) = 0.(4)(i) Quelle est la fonctionFassoci´ee `a cette ´equation ? Les hypoth`eses pr´ec´edentes sont-
elles v´erifi´ees parF? (ii) D´eterminer la fonctionμassoci´ee qui v´erifie de plusμ(0) = 1.(iii) En utilisant cette fonctionμ, transformer (4) en une ´equation admettant une int´egrale
premi`ere (aussi appel´ee ´equation exacte ) et calculer la solution (sous forme implicite).Exercice 4
( 5 points)On consid`ere le syst`eme diff´erentiel?x?= 2y
y ?=x-y(5) (a) D´eterminer la solution de (5) correspondant `a la condition initialex(0) =x0,y(0) =y0. (b) Soitγ(t) = (x(t),y(t)) la courbe int´egrale de (5) v´erifiantγ(0) = (x0,y0). (i) Pour quelles donn´ees initiales cette courbe est-elle une demi-droite ? (ii) Pour quelles donn´ees initiales cette courbe tend vers 0 quandt→ ∞?(c) En se basant dans les r´esultats pr´ec´edents, dessiner le portrait de phase en respectant le
sens des courbes. (d) La solution nulle est-elle stable ? Justifier.Exercice 5
( 6 points) Etant donn´ee une courbe param´etr´ee part?R, avec courbure et torsion donn´ees par des fonctionsc,τ:R→Rcontinues, les formules de Serret-Frenet permettent de r´eduire l"analyse de la courbe `a l"´etude du syst`eme suivant :?????x ?(t) =c(t)y(t), y ?(t) =-c(t)x(t) +τ(t)z(t), z ?(t) =-τ(t)y(t),(6) 2 avec conditions initiales (x(0),y(0),z(0)) = (x0,y0,z0). (a) Justifier que pour tout (x0,y0,z0)?R3, il existe une unique solution globale de (6).(b) Montrer que si la condition initiale v´erifiex20+y20+z20= 1, alors la solution v´erifiex2(t) +
y(t)2+z2(t) = 1, pour toutt?R. On suppose d´esormais quec(t) = 8t3etτ(t) = 0, pour toutt?R. (c) Montrer quez(t) =z0pour toutt?R. Conclure que si x 0=12⎷2, y0=12⎷2, z0=⎷
3 2, alors la solution est contenue dans un cercle dans le portrait de phases. D´eterminer le centre et rayon de ce cercle. (d) Pour obtenir la matrice fondamentale du syst`eme, on supposequez0= 0 et on introduit la variableη(t) =y(t)
1 +x(t).
(i) En utilisant (b), montrer queη2+ 1 =21 +x. En d´eduire quex=1-η21 +η2,y=2η1 +η2
et queηv´erifie l"´equation `a variables s´eparables : ?=-4t3(η2+ 1).(7)(ii) R´esoudre l"´equation (7) avec les conditions initiales suivantes :η(0) = 0 etη(0) = 1.
D´eterminer l"intervalle maximal de d´efinition dans chaque cas.(e) En d´eduire l"expression explicite pour la matrice fondamentaleG(t) associ´ee au syst`eme de