[PDF] Equations di erentielles L3 de Math ematiques

Equations di erentielles L3 de Math ematiques

dans ce cours introductif { Trouver des solutions explicites (mais ce n’est pas toujours possible) et, plus g en eralement, d emontrer l’existence de solutions { Etudier le probl eme de Cauchy : est-il possible de trouver une solution prenant une valeur prescrite X 0 au temps t 0? Y-a-t-il unicit e d’une telle solution? Quel est le plus

Notes et exercices du cours dÉquations Différentielles

Notes et exercices du cours d’Équations Différentielles Ce manuscrit rassemble d’une manière simplifiée quelques notions de bases du module d’équations différentielles enseigné en 3ème année licence mathé-matiques Il se partage équitablement en deux entrainements : Un entrainement basé

L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

cours de Calcul Di erentiel de L3, sont introduits dans d’autres cours La notion suivante est egalement d’un usage equent : D e nition 1 2 9 Soit (E;d) un espace m etrique Un sous-ensemble A E est compact si, de toute suite d’ el ements de A, on peut extraire une sous-suite convergeant dans A

Calcul diff´erentiel, ´equations diff´erentielles

A l’oral : Dans ce cours, nous allons voir des ´equations diff´erentielles dont l’inconnue est une fonction d’un intervalle de Rdans Rn cette fois (le cas n= 1 ´etant le cas “classique” des fonctions de Rdans R On peut y penser comme une trajectoire dans Rn param´etr´ee par le temps (attention cependant, cette trajectoire n’est

CALCUL DIFFERENTIEL ET EQUA TIONS DIFFERENTIELLES

6 8- Retour sur l’ equation ( ) 108 Exercices du Chapitre 6 109 Corrig e des exercices du Chapitre 6 109 R ef erences 112 III - EXAMENS ET PARTIELS Tests corrig es i Probl eme : G eom etrie du graphe d’une application di eren tiable ii Enonc es ann ee 2000-2001 iii Enonc es ann ee 2001-2002 vii Enonc es ann ee 2002-2003 xi

MAT265 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - Cours

NOTES DE COURS ET EXERCICES VOLUME 2 PAR GILLES PICARD VERSION DU 11 FÉVRIER 2021 Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution- Pasd’UtilisationCommerciale -PasdeModification4 0 International RÉDIGÉ À L’ÉTÉ 2017

VIBRATIONS ET ONDES

Chapitre 1 Introduction aux équations de Lagrange 1 1 Equations de Lagrange pour une particule 1 1 1 Equations de Lagrange Considérons le cas particulier d’une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, sur

[PDF] exercice corrigé equation differentielle l3

[PDF] equation differentielle ordinaire cours pdf

[PDF] résolution d'équation complexe

[PDF] progression bac pro assp structure

[PDF] cours sur la tenue professionnelle

[PDF] pole 3 bac pro assp

[PDF] tenue pour bac pro assp

[PDF] cours complet sur ipv6

[PDF] exercice adressage ipv6

[PDF] cours ipv6 cisco pdf

[PDF] exercice adressage ipv6 corrigé pdf

[PDF] comprendre adressage ipv6

[PDF] cours ipv6 pdf

[PDF] cours simple ipv6

[PDF] mécanique des fluides exercices corrigés pdf

Equations dierentielles

L3 de Mathematiques

Raphael Danchin

Annee 2010{2011

2

Table des matieres

1

Equations dierentielles lineaires 7

1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2Equations dierentielles scalaires lineaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz lineaire et consequences . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exponentielles de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Comment calculer une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Le cas lineaire homogene a coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Le cas des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Le cas scalaire d'ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 La methode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Le cas des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.2 Le cas scalaire d'ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.3 Application au cas des coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Contr^ole des EDO lineaires 29

2.1 Problemes de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Stabilisation par retour d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Problemes d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

Equations dierentielles non lineaires 37

3.1 Le theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Quelques proprietes qualitatives des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Criteres d'existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Dependance par rapport aux parametres et conditions initiales . . . . . . 42

3.2.3 Le

ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Exemples d'equations dierentielles non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1 Equations dierentielles du typex0@xf+@tf= 0 . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3Equation de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Exemples d'equations non lineaires d'ordre superieur . . . . . . . . . . . . 48

4 Equations dierentielles autonomes 51

4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Stabilite des solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Points stationnaires hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Bibliographie63

3

4TABLE DES MATIERES

Introduction

On appelleequation dierentielle ordinaire(EDOen abrege) toute expression du type (S)X0=F(t;X) ouFest une fonction continue denie surIAavecIun intervalle deRetAune partie de R n;et a valeurs dansRnou dans1Cn:La fonctionFa doncncomposantesF1;;Fnqui sont des fonctions deIAdansKet l'EDO ci-dessus peut donc se recrire 0 B @X 01... X 0n1 C A=0 B @F

1(t;X1;;Xn)

F n(t;X1;;Xn)1 C A: Lorsquen2;pour souligner le fait que l'expression consideree dans (S) comporte plusieurs equations, on parle aussi desysteme dierentieldu premier ordre. Par analogie avec la physique (dont, historiquement, l'etude des equations dierentielles est issue), la variabletest souvent appelee \temps". Une EDO est dite autonome (resp. non autonome) siFne depend pas det(resp.Fdepend det). Denition.On dit que la fonctiondenie sur un sous-intervalleJdeIet a valeurs dans K nestsolutionde l'equation dierentielle associee aFsi elle est derivable surJet verie (1)8t2J; (t)2Aet0(t) =F(t;(t)): Remarque.En integrant l'expression ci-dessus entret0ett(out0est un element arbitraire de

J) on obtient

(2)(t) =(t0) +Z t t

0F(;())d:

L'expression

(I)X=X0+Z t t

0F(;X)d

est appeleeequation dierentielle integree. Pour les fonctions assez regulieres, les formulations (I) et (S) sont equivalentes. En eet, il est clair que toute solutionde (S) denie pres det0verie (2). Reciproquement, siest continue et verie (2) pres det0alors le theoreme de composition (souvenons-nous queFest continue) assure queestC1pres det0; en derivant on verie queest solution de (S):1

Dans la suite,Kdesignera indieremmentRouC:

5

6TABLE DES MATIERES

Remarque.Tout systeme dierentiel non autonome anequations se ramene a un systeme dierentiel den+ 1 equations autonome gr^ace a l'artice suivant : 0 B BB@X 01... X 0nT01 C CCA=0 B BB@F

1(T;X1;;Xn)

F n(T;X1;;Xn) 11 C CCA: Donnons-nous maintenant une fonctionfdenie et continue surIAeta valeurs scalaires (c'est-a-dire dansRouC). L'expression x (n)=f(t;x;x0;;x(n1)) (E) est appeleeequation dierentielle scalaire d'ordrenassociee af. On dit que la fonction' denie sur un sous-intervalleJdeIet a valeurs dansKnest solution de l'equation dierentielle scalaire associee afsi elle estnfois derivable surJet verie

8t2J;('(t);'0(t);;'n1(t))2Aet'(n)(t) =ft;'(t);'0(t);;'(n1)(t):

Remarque.Toute equation dierentielle scalaire d'ordrenpeut ^etre interpretee comme un systeme denequations dierentielles. En eet, en posantX0=x,X1=x0;etc, on constate que resoudre (E) est equivalent a resoudre 0 B BB@X 0... X n2 X n11 C CCA0 =0 B BB@X 1... X n1 f(t;X0;X1;;Xn1)1 C CCA: Voici une liste de problemes importants lies a l'etude d'une EDO et que l'on souhaite aborder dans ce cours introductif. { Trouver des solutions explicites (mais ce n'est pas toujours possible) et, plus generalement, demontrer l'existence de solutions. {Etudier leprobleme de Cauchy: est-il possible de trouver une solution prenant une valeur prescriteX0au tempst0? Y-a-t-il unicite d'une telle solution? Quel est le plus grand intervalleJIou une telle solution existe? La solution correspondante est appelee solution maximale. {Etudier le comportement des solutions maximales aux bornes deJet trouver des condi- tions necessaires et susantes pour queI=J: {Etudier la stabilite des solutions : si on perturbe un peut0; X0ouF;la solution obtenue est-elle tres dierente de la solution initiale? { Trouver des algorithmes permettant de calculer des solutions approchees d'une EDO. Cela est particulierement interessant si l'EDO consideree n'admet pas de solution explicite.

Chapitre 1

Equations dierentielles lineaires

1.1 Generalites

Denition.On dit que le systeme dierentiel (S) estlineairesi pour toutt2Ila fonction X7!F(t;X) est ane : il existe un vecteurB(t) deKnet une matriceA(t) deMn(K) tels que

8(t;X)2IKn; F(t;X) =B(t) +A(t)X:

Dans la suite, on demandera aux fonctionst7!A(t) ett7!B(t) d'^etre continues. Un systeme lineaire est dithomogenesi la fonctionBest identiquement nulle. Le systeme (S0)X0=A(t)X est appele systeme homogene associe a (S)X0=A(t)X+B(t): Denition.On dit qu'une equation dierentielle scalaire d'ordrenestlineaires'il existen+1 fonctionsb; a1;;andeC(I;K) telles que

8(t;x1;;xn)2IKn; f(t;x1;;xn) =b(t) +a1(t)x1++an(t)xn:

On dit que ce systeme lineaire esthomogenesi la fonctionbest identiquement nulle, et l'on

denit comme precedemment l'equation dierentielle homogene associee en remplacantbpar 0:Proposition.Soit(S)un systeme dierentiel lineaire, et(S0)le systeme homogene as-

socie. Soit0une solution de(S). Alorsest solution de(S)si et seulement si0 est solution de(S0).Preuve :Siet0verient (S), il est clair que la dierence0verie (S0). Reciproquement, si0verie (0)0=A(t)(0) et0verie00=A(t)0+B(t),

on a bien0=A(t)+B(t).Remarque :Autrement dit, la solution generale d'un systeme lineaire (S) s'ecrit comme somme

des solutions generales du systeme homogene associe et d'une solution particuliere. 7

8CHAPITRE 1.EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

1.2

Equations dierentielles scalaires lineaires du premier ordreTheoreme.Soitaune fonction numerique continue sur un intervalleIdeR, et soit

t

02I. L'ensemble des solutions de l'equation dierentielle scalaire homogene

(E0)x0=a(t)x est le sous-espace vectoriel de dimension1deC(I;R)engendre par la fonction t7!eR t t0a()d:Preuve :Soit'une fonction derivable surI. Posons (t)def='(t)eRt t0a()d:

Un calcul immediat donne 0(t) =eRt

t0a()d('0(t)a(t)'(t)):Donc'est solution de (E0) si et seulement si 0est la fonction nulle, c'est-a-dire constante, ce qui donne le

resultat voulu.Remarque :On observe que si'solution de (E0) n'est pas la fonction nulle, alors elle ne

s'annule jamais. De ce fait, elle est solution dex0=x=a(t), qui peut s'integrer \a vue" puisque x

0=xest la derivee de logjxj.

Exercice :Resoudrex0+ax= 0 aveca2R:

Theoreme.Soitaetbdeux fonctions numeriques continues sur un intervalle ouvertIdeR, t

02Ietx02R. Alors l'equation dierentielle scalaire d'ordre1

(E)x0=a(t)x+b(t) admet une unique solution prenant la valeurx0ent0. Il s'agit de la fonction ':8 :I!R t7!eR t t0a()d x 0+Z t t 0eR t0a(0)d0b()d Preuve :Soit'une fonction derivable surI. Observons que ddt '(t)eRt t0a()d =eRt t0a()d '0(t)a(t)'(t)

Donc'est solution de (E) si et seulement si

ddt '(t)eRt t0a()d =eRt t0a()db(t):

Cette egalite s'integre en

'(t)eRt t0a()d=K+Z t t 0eR t0a(0)d0b()d:

La condition'(t0) =x0est donc veriee si et seulement siK=x0.Exercice :Transformee de Fourier de la Gaussienne : pourx2R;on pose

f(x) =Z R eitxet22 dt: Verier quefestC1et solution d'une equation dierentielle scalaire du premier ordre que l'on determinera, puis calculerf:

1.3. LE TH

EOREME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LINEAIRE ET CONSEQUENCES9 Lemme(de Gronwall).Soitaet'deux fonctions continues et positives sur l'intervalleIde

R,t02Ietx02R+. Supposons que

(1.1)8t2I; '(t)x0+Z t t

0a()'()d:

Alors on a

8t2I; '(t)x0ejRt

t0a()dj: Preuve :On considere juste le castt0;le cast < t0etant laisse en exercice. On pose alors (t) =x0+Z t t

0a()'()d:

On a 0(t) =a(t)'(t)a(t) (t). Soit

quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38