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Équations différentielles ordinaires
[Bou12]G Boularas, Equations différentielles, Cours de L3 de l’Université de Limoges (2012) [Dem06]J P Demailly, Analyse numérique des équations différentielles, EDP Sciences, 2006 [EK05]L Edelstein-Keshet, Mathematical models in biology, SIAM, 2005 49
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Dans ce cours, nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme dite normale (appelés parfois équations résolues par rapport aux dérivées), ou pouvant se ramener à un système sous forme normale Définition 1 3 On appelle système différentiel normal tout système différentiel du premier ordre de la forme u0= f(t;u
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Equations Différentielles Ordinaires
Equations aux Dérivées Partielles
Franck Boyer
M1 Enseignement Supérieur et Recherche
Université Paul Sabatier - Toulouse 3
26 février 2021
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franck.boyer@math.univ-toulouse.fr iiF. BOYER- VERSION DU26FÉVRIER2021
TABLE DES MATIÈRESiii
Table des matières
I Equations différentielles ordinaires
1I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1II Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2II.1 Les fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2II.2 Equations et inéquations différentielles linéaires scalaires. Lemmes de Gronwall . . . . . . . . .
10II.3 Notions de solution d"un problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13III Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13III.1 Enoncé et preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14III.2 Equations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16III.3 Flot d"un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18IV Théorème de Cauchy-Lipschitz local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24IV.1 Enoncé et preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24IV.2 Critères de globalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26V Equilibres. Stabilité. Stabilité asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28V.1 Cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29V.2 Cas nonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34VI Etude détaillée d"un exemple : un modèle de propagation d"épidémie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45VI.1 Existence et unicité d"une solution globale en temps positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45VI.2 Etats d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46VI.3 Quelques exemples de trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48II Equations de transport53
I Modèles de transport en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53I.1 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53I.2 Dynamique des gaz simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56II Modèles de transport en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58II.1 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58II.2 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59II.3 Exemple d"application à l"établissement d"une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . .
60III Solutions classiques des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61III.1 Cas général de l"équation de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61III.2 Cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63III.3 Autres applications de la méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64IV Solutions faibles de l"équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67IV.1 Définition des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67IV.2 Validité de la formule de représentation par les caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70IV.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72IV.4 Le problème des conditions aux limites / conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72IV.5 Un exemple de modèle en dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75III Formulations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques 81
I Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81I.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81I.2 Les questions mathématiques que l"on veut résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83I.3 Comment montrer l"existence d"un minimiseur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Espaces de Sobolev en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88II.1 L"espaceH1(]a;b[). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
II.2 L"espaceH10(I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
II.3 Résolution du problème variationnel pour la corde élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93F. BOYER- VERSION DU26FÉVRIER2021
ivTABLE DES MATIÈRESIII Formulation variationnelle d"un problème aux limites linéaires. Théorème de Lax-Milgram. . . . . . . .94
III.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95III.2 Exemples en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96III.3 Preuve du théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103IV Espaces de Sobolev et problèmes elliptiques sur un domaine deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
IV.1 Espaces de Sobolev sur un domaine deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
IV.2 Problèmes aux limites elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108A Eléments de la théorie des distributions
113I Intégration par parties en dimensiond: le cas des fonctions à support compact . . . . . . . . . . . . . . .113
II Un lemme important de la théorie de l"intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114III Espace des fonctions test. Espace des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117III.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117III.2 Convergence au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121IV Dérivation au sens des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122B La formule de Stokes125
I Hypersurfaces deRd. Intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
I.1 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125I.2 Intégrales sur des hypersurfaces deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
II Domaines réguliers deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
III Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129III.1 Le cas du demi-espaceRd+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
III.2 Le cas du demi-espace à frontière non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130F. BOYER- VERSION DU26FÉVRIER2021
1Chapitre I
Equations différentielles ordinaires
I Introduction
Le but de ce chapitre est l"étude des équations différentielles ordinaires (du premier ordre) de la forme
x0=f(t;x);
oùxest unefonction inconnuede la variable réelletet l"applicationfest une donnée du problème. A chaque instantt,
la valeur dex(t)est appelée l"état du système à l"instanttet l"espace dans lequel la fonction inconnuexprend ses valeurs
est appeléespace d"états. Comme la mécanique est principalement à l"origine de l"étude de ces équations, on parlera
souvent devariable de tempspour la variabletet detrajectoire du systèmepour une solutiont7!x(t).Dans toute la suite, l"espace d"états considéré sera un (sous-ensemble d"un) espace vectoriel de dimension finie. De
très nombreuses questions se posent sur l"équation ci-dessus :Si on se un donne un état initial du système, c"est-à-dire un i nstantinitial t0et l"étatx0du système à cet instantt0,
existe-t"il une ou plusieurs solution(s) de l"équation qui satisfont à la condition initialex(t0) =x0?
Si une telle solution e xiste,peut-on la calculer e xplicitement? Si le calcul e xpliciteest impossible, peut-on au moins les décrire qualitati vement?Si fest une fonction périodique du temps, existe-t"il des solutions périodiques en temps de l"équation?
Si xetysont deux solutions de l"équation, associées à des données initialesx0ety0proches (en un sens à préciser),
est-ce que les solutionsxetyrestent proches au cours du temps?