Examen de Topologie - corrigé
1 Un espace topologique est un ensemble X muni d'une collection de sous-ensembles T (les éléments de T sont appelés les ouverts de X) véri ant (a) X et ∅ sont des éléments de T ; (b) T est stable pour les intersections nies; (c) T est stable pour les unions quelconques 2
CAHIER D’EXERCICES
On appelle courbe ferm ee simple d’un espace topologique X l’image d’une appli-cation : S1 X continue injective (ou S1 est le cercle unit e du plan euclidien) On rappelle le th eor eme de Jordan sur la 2-sph ere S2: Le compl ementaire S2 n (S1) d’une courbe ferm ee simple dans S2 est la r eunion
TOPOLOGIE-SÉRIE1 Exercice1 A B
Indication: La direction “⇐” est juste dans un espace topologique quelconque (pas forcément métrisable) Exercice4 Pourunespacetopologique(X,T),montrerque
Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 15 Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d’une partie Acomme ´etant ∂A= A\ A 1 Montrer que ∂A= ∂(Ac) et que A= ∂A⇐⇒ Aferm´e d’int´erieur vide 2 Montrer que ∂(A) et ∂( A) sont toutes deux incluses dans ∂A, et donner un exemple ou` ces inclusions sont strictes 3
Corrigédel’examenfinal(durée2h) (le16/12/2016)
III F (1 pt) Démontrer à l’aide de ce qui précède le théorème du cours qui permet d’affirmer que si la boule (0,1] est compacte, alors le R−espace vectoriel est de
Exercice 1
2 3 Donner un exemple d’espace topologique (X,T ) pour lequel la fonction caractéristique χ A: X −→ R n’est continue en aucun point, ceci quel que soit le choix de A 6∈ {∅,X} Par exemple, la topologie grossière 2 4 On munit N de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis On considère
1 c1 entre espaces vectoriels munis de topologies Ce domaine
On appelle espace vectoriel norm´e tout espace vectoriel sur K muni d’une norme Tout espace vectoriel norm´e E est muni d’une distance canonique (d(u,v) = ku− vk qui en fait un espace m´etrique et donc un espace topologique Une semi-norme d´efinit ´egalement une topologie qui n’est pas n´ecessairement s´epar´ee
Topologie, Analyse Fonctionnelle
D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0 (2) jjx+ yjj jjxjj+ jjyjjpour tous x;y2E (3) jj xjj= j jjjxjjpour tous x2Eet 2K Un espace vectoriel norm e (E;jj:jj) est un espace vectoriel Emuni d’une norme jj:jj
Université Paul Sabatier L3 MAF 2015-2016 Topologie et
complété les annales (dont : rectif et compléments dans le corrigé du partiel de novembre 2013, et énoncé + corrigé du dernier partiel) 1/12/2015 : mises en forme mineures + DM à rendre le 9/12 16/12/2015 : corrigés du DM, du DS et des examens de janvier 2015 et janvier 2014; améliorations dans la partie II : gnolages,
Licence de Math´ematiques
Exercice 2 17 Soient (E,k k) un espace vectoriel norm´e et Fun sous-espace vectoriel, distinct de E Montrer que Fest d’int´erieur vide Exercice 2 18 Soient El’espace des fonctions sur [a,b] a valeurs r´eelles, qui sont born´ees et A⊂ [a,b], non vide On consid`ere Xle sous-ensemble de Edes fonctions nulles sur A Montrer que X= FrX
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