1 Un espace topologique est un ensemble X muni d'une collection de sous-ensembles T (les éléments de T sont appelés les ouverts de X) véri ant (a) X et ∅ sont des éléments de T ; (b) T est stable pour les intersections nies; (c) T est stable pour les unions quelconques 2
On appelle courbe ferm ee simple d’un espace topologique X l’image d’une appli-cation : S1 X continue injective (ou S1 est le cercle unit e du plan euclidien) On rappelle le th eor eme de Jordan sur la 2-sph ere S2: Le compl ementaire S2 n (S1) d’une courbe ferm ee simple dans S2 est la r eunion
Indication: La direction “⇐” est juste dans un espace topologique quelconque (pas forcément métrisable) Exercice4 Pourunespacetopologique(X,T),montrerque
Exercice 15 Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d’une partie Acomme ´etant ∂A= A\ A 1 Montrer que ∂A= ∂(Ac) et que A= ∂A⇐⇒ Aferm´e d’int´erieur vide 2 Montrer que ∂(A) et ∂( A) sont toutes deux incluses dans ∂A, et donner un exemple ou` ces inclusions sont strictes 3
III F (1 pt) Démontrer à l’aide de ce qui précède le théorème du cours qui permet d’affirmer que si la boule (0,1] est compacte, alors le R−espace vectoriel est de
2 3 Donner un exemple d’espace topologique (X,T ) pour lequel la fonction caractéristique χ A: X −→ R n’est continue en aucun point, ceci quel que soit le choix de A 6∈ {∅,X} Par exemple, la topologie grossière 2 4 On munit N de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis On considère
On appelle espace vectoriel norm´e tout espace vectoriel sur K muni d’une norme Tout espace vectoriel norm´e E est muni d’une distance canonique (d(u,v) = ku− vk qui en fait un espace m´etrique et donc un espace topologique Une semi-norme d´efinit ´egalement une topologie qui n’est pas n´ecessairement s´epar´ee
D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0 (2) jjx+ yjj jjxjj+ jjyjjpour tous x;y2E (3) jj xjj= j jjjxjjpour tous x2Eet 2K Un espace vectoriel norm e (E;jj:jj) est un espace vectoriel Emuni d’une norme jj:jj
complété les annales (dont : rectif et compléments dans le corrigé du partiel de novembre 2013, et énoncé + corrigé du dernier partiel) 1/12/2015 : mises en forme mineures + DM à rendre le 9/12 16/12/2015 : corrigés du DM, du DS et des examens de janvier 2015 et janvier 2014; améliorations dans la partie II : gnolages,
Exercice 2 17 Soient (E,k k) un espace vectoriel norm´e et Fun sous-espace vectoriel, distinct de E Montrer que Fest d’int´erieur vide Exercice 2 18 Soient El’espace des fonctions sur [a,b] a valeurs r´eelles, qui sont born´ees et A⊂ [a,b], non vide On consid`ere Xle sous-ensemble de Edes fonctions nulles sur A Montrer que X= FrX
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Exercices de licence
Les exercices sont de :
Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)
Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)
Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)
Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)
Les sujets d"examens sont de :
Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)
Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)
Table des mati`eres2Table des mati`eres
I Topologie4
1 Notions de topologie I4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe32
9 Applications uniform´ement continues34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57
Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes57
15 Groupes et actions59
16 Isom´etries euclidiennes60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions63
20 G´eom´etrie projective I64
21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres67
24 Fonctions holomorphes69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71
26 Formule de Cauchy73
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Examen de Topologie - corrigé