Conception : EDHEC

On considère la fonction f définie sur [0 ;3] par : f (t)=kt 3 1 Déterminer le réel k pour que f soit une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ;3] 2 On considère une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité définie par la densité f (a) Calculer P(1≤X≤2)

VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE

1) Soit α > 0 Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur par : 1 ( ) α+ = x k f x si x ≥1 et f x = ( ) 0 si x

Calcul différentiel 1 Soit f de classe de ℝ² dans ℝ ; déterminer

19 Soit f de classe C1 de E = ℝ² dans ℝ ; pour h E, et t réel, on note h t f th On suppose que ,0 est un minimum local pour f Montrer que pour tout h, 0 est un minimum local pour f h Si pour tout h, 0 est un minimum local pour f h, 0,0 est-il un minimum local pour f? 20 Soit f fonction de E = ℝ² dans ℝ ; pour , on note

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5) a) Montrer que, pour tout x de E, L f xk ( )( ) appartient à Ker λ(f Id− k), où L f xk ( )( ) désigne l’image du vecteur x de E par l’endomorphisme L fk ( ) b) En déduire la décomposition cherchée 6) Vérifier que cette dernière décomposition redonne celle obtenue pour l’endomorphisme f de la

ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

donc une application linéaire — et pour tout x =f +f ′ ∈ E avec f ∈ F et f ′ ∈ F⊥: s(x) 2 = f − f ′ 2 Pythagore= kf k2 +kf ′k2 Pythagore = f +f ′ 2 =kxk2, donc : s(x) =kxk Théorème (Caractérisation des isométries par l’image d’une base orthonormale) Soient E 6= 0E un espace euclidien, f ∈ L(E)et B une base

Théorie des Probabilités - Stanford AI Lab

(1 F(t))dt+ Z a 1 F(t)dt 4 On suppose de plus que Xest une variable à densité Montrer alors que le minimum de E(jX aj) est atteint pour toutes les valeurs atelles que F(a) = 1=2 Comment s’interprètentcesvaleurs? Exercice 1 3 Loi multinomiale Soient une population composée de kcatégories en pro-portionp 1;::::;p krespectivement,0 p i 1

MATHEMATIQUES - EDHEC Business School

k n Z Y = = ∑ On admet que Z n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l'espace probabilisé ( Ω, A, P) La suite ( )Z n n ≥2 est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour λ On admet que la variable aléatoire 1 n k k Y = ∑ admet pour densité la fonction f n définie par : 1 0 si 0 ( ) e si 0 ( 1) n n n t t

Liste d’exercices pour la semaine 7 Exercice 1 Soit

Montrer que C est une base b) Déterminer la matrice de fdans C c) Calculer la matrice de fndans B pour tout n∈ N Exercice 7 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1,e2,e3) une base de E On considère les matrices A= 4 −2 −2 1 0 −1 3 −2 −1 et D= 0 0 0 0 1 0 0 0 2 Soit fl’endomorphisme de Edont la matrice dans la

Correction TD n 3 - unicefr

Alors une densité fde Xest dé nie par f(x) = F0(x) pour tout x2Rnfx 1;:::;x nget f(x i) autv une alveur arbitraire positive De plus en tout point xoù fest continue, Fest dérivable en xet véri e F0(x) = f(x) Si f 1 est une densité de Xet f 2 une fonction positive telle que pour tout x2R nfx 1;:::;x ng, f 1(x) = f 2(x), alors f 2 est une

Analyse – Math31

ce qui prouve que fest 1-lipschitzienne sur R f) Pour contredire que fest uniformément continue, il faut montrer qu’il existe un ">0 tel que, quelque soit >0, on peut trouver x;y2Jtels que, malgré jx yj< , on ait jf(x) f(y)j>" Fixons "= 1 et ﬁxons un réel quelconque >0 Pour n’importe quel

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Terminale S - Lois de probabilités à densité - Exercices

VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE

Calcul différentiel 1 Soit f de classe de ℝ² dans ℝ ; déterminer

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Liste d’exercices pour la semaine 7 Exercice 1 Soit

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Analyse – Math31