Approximation du nombre

Calcul de Pi - IRPF90

Calcul de Pi Avant de commencer le TP, faites : source environnement sh Cela permet aux commandes mpicc et mpirun d’^etre ex ecut ees dans votre terminal Pour compiler les programmes utilisez le compilateur mpicc : mpicc pi c -o pi Pour lancer le programme pi sur 4 processeurs utilisez la commande mpirun : mpirun -np 4 /pi I METHODE D

Calcul de π par laméthoded’ARCHIMÈDE

C’est en remarquant qu’il y a des relations simples entre Sn, Tn, S2n et T2n que la méthode permet de s’affranchir du calcul des sinus et tangentes en se limitant à des multiplications, additions, divisions et extractions de racines carrées, ce qui nousestplusaccessible Onobserve : T2n = 2SnTn Sn +Tn S2n = p SnT2n Ainsi, puisque S4 = 2 p

Approximation du nombre - unicefr

Calcul de π par la formule de >pi [1] 3 141593 4/8 Formule de Leibniz n Erreur 100 0 003121 1000 0 000318 10000 0 000032 100000 0 000003 Approximation

TP1 : Calcul de Pi via un Monte Carlo

TP1 : Calcul de Pi via un Monte Carlo Dans ce TP, nous consid erons une m ethode de Monte Carlo a n de calculer ˇ: Tracer un cercle de rayon rdans un carr e de longueur 2 r L’air du cercle est ˇ r2 et l’air du carr e est 4 r2 Le ratio des ces deux aires est : ˇ 2r 4 r2 = ˇ 4

CO- O pVi

des changements dynamiques de l’indice de perfusion (PI) qui se produisent pendant le cycle respiratoire >Maxi exxCnn >a soe >a soe >a s,D Plus le PVI est élevé, plus le patient est susceptible de répondre à l'administration de fluides >M axi >M aeC CalCul>Du>PVi>:>MoDe>De>fonCTionneMenT Spécificité 100- ( ) 0 20 40 60 80 100 0 20 40

Formulaire de trigonométrie circulaire

Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers en fonction de t=tan(x/2) cosp +cosq = 2cos p +q 2 cos p−q 2 cosx = 1 −t2 1 +t2 1+cosx = 2cos2 x 2

Guide pesciptif su la potée des platelages extéieus

Exemple de calcul 19 Figue 3 – Dessin et conception de l'exemple de calcul 19 Les solives ne sont généralement pas offertes en longueurs de plus de 16 pi

DECOUVERTE DE PIVITRAGE 7 - pi-logicielcom

permet de faire un aperçu avant impression de la note de calcul et la mémoriser si besoin au format* pdf CALCUL SELON LES NOUVELLES NORMES NF DTU39 P4 de Juillet 2012 Cet écran vous permet de savoir précisément, suivant la position du vitrage et le lieu, l’épaisseur du vitrage à mettre en œuvre

Chapitre VII Molécules conjuguées Méthode de Hückel

La méthode de Hückel dite simple s’applique aux systèmes des molécules conjuguées, donc au calcul d’orbitales moléculaires construites sur la base i des n orbitales atomiques p z qui y participent Par rapport à la méthode de Hückel généralisée présentée au Chapitre IV, elle

Approximation du nombreπ

Algo & Prog avec RA. Malapert, B. Martin, M. Pelleau, et J.-P. Roy

5 novembre 2021

Université Côte d"Azur, CNRS, I3S, France

firstname.lastname@univ-cotedazur.fr

Le nombreπ

I πest défini comme le rapport constant entre la circonférence d"un cercle et son diamètre dans le plan euclidien. I De nos jours, les mathématiciens définissentπpar l"analyse réelle à l"aide des fonctions trigonométriques elles-mêmes introduites sans référence à la géométrie. I Le nombreπestirrationnel , ce qui signifie qu"on ne peut pas l"écrire comme une fraction. I Le nombreπesttranscendant ce qui signifie qu"il n"existe pas de polynôme à coefficients rationnels dontπsoit une racine. 1/8

Calcul deπpar la formule de Leibniz

On utilisera la formule de Leibniz issue du développement en série de

Taylor en 0 dearctan(x)évalué au point 1 :

k=0(-1)k2k+1=1-13 +15 -17 +19 +...=π4 Elle a été découverte en Occident au XVIIe, mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400. c.f. Wikipedia Nous allons développer un algorithme d"approximation deπ. ITÉRATIONComment améliorer l"approximation courante? TERMINAISONMon approximation courante est-elle assez bonne?

Est-ce que le calcul prend trop de temps?

INITIALISATIONComment initialiser la première approximation? 2/8

Algorithme d"approximation deπITÉRATION

Pour a méliorer l"app roximation,étant e np ossessionde la somme accdes ipremiers termes, on voudra obtenir la somme desi+1 premiers. Il suffira donc d"incrémenteri,puis d"aj outer(-1)i2i+1àacc.i< -i + 1 term 1) i ( 2 i 1 ) acc a cc t erm

TERMINAISON

Mon approximation courante a est-elle

assez b onne ?Elle est assez b onne lorsque je n"arrive plus à l"améliorer. Notonshla précision.

Est-ce que le calcul

p rendtrop de temps ?Notons nle nombre maximum de termes à calculer.4*abs(term)< h | |i > =n

INITIALISATION

i 0 acc 1 3/8 Programme d"approximation deπLeibnizPi< -function(n= 1 0**4,h = 2 **(-20)){ i< -0 term 1 acc 1 while( (i< n )& &4 *abs(term)> h ){ i< -i + 1 term 1) i ( 2 i 1 ) acc a cc t erm return(4*acc)}

L eibnizPi(n

1 00,h

0 ) [1] 3

151493

L eibnizPi(n

1 00000,h

0 ) [1] 3

141603

p i [1] 3

141593

4/8

Analyse de la convergence versπErreurRelativePi< -function(v)return(1- v /pi)ErreurRelativeLeibnizPi< -function(n) {approxPi< -L eibnizPi(n= n ,h = 0 )

return(ErreurRelativePi(approxPi))}

Formule de Leibniz

nErreur101 -0.003152

1001 -0.000318

10001 -0.000032

100001 -0.000003Approximation rationnelle

Fraction Erreur

22
7 -0.000402499435

355113

-0.000000084914

10399333102

0.000000000184

10434833215

-0.000000000106Observation

La formule de Leibniz converge lentement.5/8

Analyse des performances du programme

Calculons le temps nécessaire pour atteindre une précision donnée sans limiter le nombre d"itérations.>s ystem.time(LeibnizPi(n= I nf,h = 1 0**(-4))) utilisateur système écoulé 0 0060
0000 006 I Le temps d"exécution et le nombre d"itérations augmentent linéairement avec la précision. I La recherche d"une estimation très précise de

πdemande un temps de calcul important.

En extrapolant ces résultats, il faudrait

5×108secondes(≥15 ans) pour obtenir une

estimation deπà la précision machine (approximativement 15 décimales).I

Certaines formules convergent beaucoup plus

rapidement.Précision Temps (s) 10 -40.006 10 -50.147 10 -60.599 10 -75.347 10 -852.8606/8

Optimisation du programme

Exploitons la récurrence pour accélérer les calculs. Les multiplications, divisions, et puissances sont plus coûteuse en temps de calcul que les additions et soustractions.LeibnizPi2< -function(n= 1 0**4,h = 2 **(-20)){ i< -0 term 1 acc 1 h h

4 ##é viterl am ultiplicationd ut estsigne< -1 ##m émoriserl es igned ut ermedenom< -1 ##m émoriserl ed énominateurd ut ermewhile( (i< n )& &a bs(term)> h ){ i< -i + 1

signe 1 s igne#é viteru nep uissancedenom< -d enom+ 2 #é viteru nem ultiplicationterm< -s igne/ d enom acc a cc t erm return(4*acc)} 7/8

Comparaison de programmes

Précision Temps (s)

LeibnizPi5.347

LeibnizPi24.157

En langage C 0.007I

Les optimisations du programme offrent un gain supérieur à 20%. I R est donc un langage interprété de haut niveau ce qui se paie au niveau des performances. I Le langage C, entre autres, est beaucoup plus rapide. I Le langage C est un langage impératif, généraliste et de bas niveau où chaque instruction du langage est compilée. 8/8

Questions?

Retrouvez ce cours sur le site web

www.i3s.unice.fr/~malapert/R 8/8

La formule d"Euler-Wallis converge vers

π2

Ce produit peut s"écrire sous la forme :

P(n) =21

×23

×43

×45

×65

×67

×87

×89

···2n2n-1×2n2n+1=n?

k=14k24k2-1Récurrence P -function(n) {i f(n< =1){ return(ifelse(n= =1 ,4 /3,0 ))}else{t< -4 *(n**2) return((t/(t-1))* P (n-1))}}

Vectorisation (plus tard)

P -function(n) {i f(n< =0)return(0)terms< -4 *(1:n)**2 P -function(n) {i f(n< =0)return(0)acc< -1 i 0 while(i< n ){ i< -i + 1 t 4 (i 2) acc a cc t t 1) return(acc)}

Elle converge lentement ...

P(100)

[1] 3

133787

P(10000)

[1] 3

141514

P(100000)

[1] 3

141585

P(100000)

[1] 3

141585

P(1000000)

[1] 3

141592

p i [1] 3

141593

quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

[PDF] Approximation du nombre - unicefr

Approximation du nombreπ

5 novembre 2021

Université Côte d"Azur, CNRS, I3S, France

Le nombreπ

Calcul deπpar la formule de Leibniz

Taylor en 0 dearctan(x)évalué au point 1 :

Est-ce que le calcul prend trop de temps?

Algorithme d"approximation deπITÉRATION

TERMINAISON

Mon approximation courante a est-elle

Est-ce que le calcul

INITIALISATION

L eibnizPi(n

1 00,h

151493

L eibnizPi(n

1 00000,h

141603

141593

Formule de Leibniz

1001 -0.000318

10001 -0.000032

100001 -0.000003Approximation rationnelle

Fraction Erreur

355113

10399333102

0.000000000184

10434833215

La formule de Leibniz converge lentement.5/8

Analyse des performances du programme

πdemande un temps de calcul important.

En extrapolant ces résultats, il faudrait

5×108secondes(≥15 ans) pour obtenir une

Certaines formules convergent beaucoup plus

Optimisation du programme

4 ##é viterl am ultiplicationd ut estsigne< -1 ##m émoriserl es igned ut ermedenom< -1 ##m émoriserl ed énominateurd ut ermewhile( (i< n )& &a bs(term)> h ){ i< -i + 1

Comparaison de programmes

Précision Temps (s)

LeibnizPi5.347

LeibnizPi24.157

En langage C 0.007I

Questions?

Retrouvez ce cours sur le site web

La formule d"Euler-Wallis converge vers

Ce produit peut s"écrire sous la forme :

P(n) =21

×23

×43

×45

×65

×67

×87

×89

···2n2n-1×2n2n+1=n?

Vectorisation (plus tard)

Elle converge lentement ...

P(100)

133787

P(10000)

141514

P(100000)

141585

P(100000)

141585

P(1000000)

141592

141593