Topologie
Exercice 12 [ 02771 ] [correction] SoitEl’ensembledessuites(a n) n>0 deC tellesquelasérie P a nconverge Si a= (a n) n>0 appartientàE,onpose kak= +X∞ n=0 a n a)Montrerquek kestunenormesurE b)Soit F= (a∈E/ X+∞ n=0 a n= 1) L’ensembleFest-ilouvert?fermé?borné? Exercice 13 [ 03021 ] [correction] SoientEunespacevectorielnormé
I Ouverts, ferm´es
Exercice 1 Montrer en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] a,b [, a
Corrigé de la feuille d’exercices no5
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu
Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z
Partie de Un€N*
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½
Correction du contrˆole continu N 1
La note totale de l’exercice sera 0 au minimum Q1 : Il existe un espace m´etrique contenant 15 ouverts et 17 ferm´es NON Un ensemble O est ouvert ssi son compl´ementaire est ferm´e Ainsi il y a toujours autant d’ouverts que de ferm´es Q2 : Toute suite convergence dans un espace m´etrique est born´ee OUI x n → x signifie que d(x
1 Espaces m´etriques 1 Distance, boules, ouverts, ferm´es
ouvert contenu dans A (au sens de la relation d’inclusion): O ⊂ A et O ouvert ⇒ O ⊂ ˚A En particulier A est ouvert si et seulement si A = int(A) Fronti`ere Si A ⊂ E, on appelle ”fronti`ere de A”, et on note Fr(A) ou ∂A l’ensemble des points x ∈ E tels que tout ouvert O de E contenant x v´erifie: O ∩A 6= ∅ et O ∩Ac
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE - Université Paris-Saclay
En effet, A est ouvert dans R donc a fortiori dans E Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B = E \A =]0,+∞[ est ouvert dans E, donc A est ferm´e dans E Exercice 17 Soit E un sous-ensemble de R On suppose qu’il existe trois r´eels a < c < b tels que
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques Espaces
2 On sait déjà que tout compact est fermé et borné (dans un espace métrique quelconque) Soit maintenant KˆR un ensemble fermé et borné La bornitude de Kmontre qu’il existe R>0 tel que K ˆ[ R;R] La question précédente montre que [ R;R] est un compact Par hypothèse Kest fermé dans R et donc c’est aussi un fermé de
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 7 On note X = l¥ l’espace des suites réelles bornées, et Y = c 0 l’espace des suites réelles tendant vers 0, tous deux munis de la métrique (à vérifier) d(x;y) = sup n jx(n) y(n)j Montrer que Y est fermé dans X Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dans Y mais pas dans X
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[PDF] souligne les adjectifs qualificatifs dans le texte
Exercice 4 (fiche 2)
Etablir si les ensembles sont ouverts, fermés. Déterminer également les point intérieurs de ces
ensembles ainsi que leur frontière. Dans chacun des exemples, faire un dessin représentant la région
concernée.Partie de Թ : Գ, UnΦNΎ [0, 1- ଵ
Nature topologique de Rp (p=1,2,3)
p = 1 (R, ||)Գ C Թ
UnΦNΎ [0, 1- ଵ
Գ C Թ
Ouvert ͍ En d'autres termes, si dž Φ Գ existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage, un
ouvert) contenant x et qui soit contenu dans Գ.Non, et ce d'une maniğre forte. En effet, pour tout dž Φ Գ, il suffit de considérer la boule
]x-r ; x+r[ intersecte Թ̳Գ. Par conséquent, Գ n'est pas ouǀert. Plus prĠcisĠment, ߧԳ = intérieur de Գ т T .
Fermé ? Թ̳Գ est-il ouvert ?
On fixe x ב
(1) x < 0 On peut prendre comme boule. B(x, |x|) = ]2x, 0[. 0 < r < |x|. (2) n < x < n+1On pose r = min(x-n, n+1 - x)
B(x,r) = ]x - r ; x + r[
Ö x - r >n
x + r < n + 1Ö B(x,r) n Գ = Ø
Գ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois Գ et son complémentaire. Comme Գ est fermé, Գഥ = Գ. On a aussi vérifié que Գ т T.
E = UnΦNΎ [0, 1- ଵ
[0,2/3] Donc, [0,1[ C E. En fait [0,1[ = E : si n <0, il est évident que x ב1 x ̀ ܧ
y Φ E ssi y Φ 0, ͳെଵ ] Î y шͳെଵ < 1Donc si x=1, x ܧ ב
Ouvert ?
Si dž Φ 0 ;1[, B(x, min(x, |-džͮ) C E donc dž Φ E.Le point O ב
ܧ car pour tout r Φ Թାכ
R n B(0,r) ـ
Donc
[0,1[ fermé ? nonOn peut vérifier que [0,1[ = [0,1]. Il suffit de vérifier que toute boule ouverte centrée en I (]1-r,1нrr Φ
Թାכ) intersecte E. Pour aucun point y בFr(E) = ܧ
y 0 y Partie de Թ² : (dž,y) Φ Թ² |(x²+y² -4)(x²+y²-1)<0} (x²+y² -4) (x²+y²-1) <0Dans le cas (1)
On a x²+y² >4 et x²+y²<1 donc impossibleIntéressons nous donc au cas (2)
Donc on a x²+y² <4 et x²+y²>1.
r² = x² + y², on considère une boule de la forme B(P, min(r-1,2-r) C E))On a montré que, E C
f: E AEF une application entre 2 espaces métriques : (1) f est continuE = f-1(] -λ, 0[)
<0 ] -λ, 0[ est un ouvert de R. ч0P с (dž,y) Φ Թ² |y = x²}
Toute boule autour de Q contient un point de la forme (x + ɇ, x²) ɇ Φ ԹାכUn tel point ne satisfait pas x² = (x + ɇ)² = x² +2ɇx+ ɇϸ. C'est faudž. Donc toute boule autour de Y coupe
Թ²\P. Donc
f : Թ² AE R (x,y) AE y -x²Alors P = f-1({0}). Or {0} est un fermé de Թ. Donc d'aprğs le thĠorğme P est fermĠ.