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RÉPUBLIQUEALGÉRIENNEDÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l"Enseignement Supérieur et de la Recherche ScientifiqueUniversité Abou Bekr Belkaid Tlemcen

Faculté de Technologie

Département de Génie Éléctronique et ÉléctriqueMathématiques Pour Etudiants de Première AnnéeRecueils d"Exercices et Examens corrigés

ATTAR Ahmed MIRI Sofiane Elhadi

Recueils d"Exercices et Examens corrigés

d"Analyse et d"Algèbre.ATTAR Ahmed MIRI Sofiane Elhadi

16 octobre 2016

Préface

Ce polycopié est un ouvrage, pricipalement distiné aux étudiants de première année Génie Industriel, mais aussi à tous les étudiants de première année des fi- lières technologiques et scientifiques. Il fait suite au polycopié [8] publié par la faculté de technologie, et contenant les notions présentées en cours de mathéma- tiques. Nous y présentons différents exercices de Mathématiques de degré de difficulté variable, avec des corrigés détaillés. Le lecteur y trouvera aussi des exercices supplémentaires sans corrigé, ainsi que certains sujets d"examens. Le manuscrit couvre différents sujets de l"analyse et de l"algèbre, qui consti- tuent les programmes des matières Analyse, Algèbre et Outils mathématiques. Nous avons scindé ce recueil d"exercices en trois parties, la première partie est consacrée à l"Algèbre, les exercices proposés traitent de la théorie des ensembles, des applications et leur classification, de l"arithmétique dansZ, des nombres com- plexes, du calcul matriciel, des espaces vectoriels ainsi que les applications li- néaires. La deuxième partie est quant à elle consacrée à l"analyse, on y trouvera des exercices sur les suites, et sur les fonctions réelles de la variable réelle. La troi-

sième partie, est dédiée aux exercices portant sur le calcul intégral et aux équations

différentielles. d"analyse et d"algèbre des années universitaires allant de 2011 à 2016. Comme toute première version de tout ouvrage, ce recueil peut contenir cer- taines erreurs et fautes de frappe, nous invitons le lecteur à nous les signaler afin d"améliorer la présentation et le contenu du présent manuscrit.

Table des matières

Préface i

I Algèbre 1

1

Logique et Théorie des Ensembles

3 1.1

Ex ercices

3 1.2

Solutions

6 1.3

Ex ercicessupplémentaires

10 2

A pplications

13 2.1

Ex ercices

13 2.2

Solutions

15 2.3

Ex ercicessupplémentaires

20 3

Arithmétique dans Z23

3.1

Ex ercices

23
3.2

Solutions

25
3.3

Ex ercicessupplémentaires

36
4

Nombr esComplexes

37
4.1

Ex ercices

37
4.2

Solutions

39
4.3

Ex ercicessupplémentaires

42
5

Calcul Matriciel

43
5.1

Ex ercices

43
5.2

Solutions

46
5.3

Ex ercicessupplémentaires

51
iv TABLE DES MATIÈRES 6

Espaces V ectoriels

53
6.1

Ex ercices

53
6.2

Solutions

55
6.3

Ex ercicessupplémentaires

61
7

A pplicationsLinéair es

63
7.1

Ex ercices

63
7.2

Solutions

65
7.3

Ex ercicessupplémentaires

68

II Analyse 69

8

Suites Numériques

71
8.1

Ex ercices

71
8.2

Solutions :

73
8.3

Ex ercicessupplémentaires

78
9

F onctionRéelle d"une V ariableRéelle

81
9.1

Ex ercices

81
9.2

Solutions

83
9.3

Ex ercicessupplémentaires

87
10

Déri vation

89
10.1

Ex ercices

89
10.2

Solutions :

91
10.3

Ex ercicessupplémentaires

95

III Outils Mathématique 97

11

Calcul Intégral

99
11.1

Ex ercices

99
11.2

Solutions

102
11.3

Ex ercicessupplémentaires

111
12

Equations Différ entielles

113
12.1

Ex ercices

113
12.2

Solutions

115

TABLE DES MATIÈRES v

12.3

Ex ercicessupplémentaires

121

IV Examens 123

13

Examens Algèbr e

125
13.1

Examen Final 2011-2012

126
13.2

Examen Final 2012-2013

130
13.3

Rattrapage 2012-2013

134
13.4

Examen Final 2013-2014

138
13.5

Rattrapage 2013-2014

143
13.6

Examen Final 2014-2015

145
13.7

Examen Final 2015-2016

150
13.8

Rattrapage 2015-2016

156
14

Examens d"Analyse

161
14.1

Examen Final 2012-2013

162
14.2

Rattrapage 2012-2013

167
14.3

Examen Final 2013-2014

172
14.4

Rattrapage 2013-2014

177
14.5

Examen Final 2014-2015

180
14.6

Examen Final 2015-2016

184
14.7

Rattrapage 2015-2016

189
15

Examens d"Outils Mathématiques

193
15.1

Examen Final 2011-2012

194
15.2

Examen Final 2012-2013

198
15.3

Rattrapage 2012-2013

202
15.4

Examen Final 2013-2014

206
15.5

Rattrapage 2013-2014

210
15.6

Examen Final 2014-2015

213
15.7

Examen Final 2015-2016

217
15.8

Rattrapage 2015-2016

222

Première partie

Algèbre

Chapitre 1

Logique et Théorie des

Ensembles

Sommaire1.1Exer cices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2

Solutions

6 1.3

Exer cicessupplémentair es

10 1.1Exer cices

Avant d"en venir aux ensembles nous commençons par une série d"exercices sur la logique mathématique. Exercice1.1.Soientpetqdeux propositions données, en utilisant la table de vérité, montrer que(p)q),(p^q) (p)q),(q)p) Exercice1.2.Soientp; qetrtrois propositions données, montrer les propriétés suivantes 1.p,p 2. ( p^p),p 3. ( p_p),p 4. ( p^q),(q^p) commutativité du^

4Logique et Théorie des Ensembles

5. ( p_q),(q_p) commutativité du_

6.[(p^q)^r],[p^(q^r)]associativité du^

7.[(p_q)_r],[p_(q_r)]associativité du_

8.(p^q),(p_q)loi de Morgan

9.(p_q),(p^q)loi de Morgan

10.(p)q),(q)p)(contraposée)

Exercice1.3.Soientp;qetrtrois propositions données. En utilisant la table de vérité, vérifier que les propositions suivantes sont vraies

1.(p_q),[(p)q))q]

2.(p)q))[(p^r))(q^r)]

Exercice1.4.Former la négation des propositions suivantes : [(p)q)_r]^(p_q) [(p^q)_r])(p^r) Exercice1.5.Montrer à l"aide d"un exemple que la relation (8x)(9y)P)(9y)(8x)P n"est généralement pas vraie. Exercice1.6.Raisonnement par récurrence : Montrer par récurrence ce qui suit n X k=1k=n(n+ 1)2 n X k=1(2k1) =n2 n X k=1k

3=n(n+ 1)2

2 Exercice1.7.Raisonnement par contraposition : Montrer que 1. x6= 2ety6= 2)xy2x2y+ 46= 0 2.

Soit n2Z,

n

2pair)npair

Exercice1.8.Raisonnement par l"absurde : Montrer que p2est irrationnel: ln(2)ln(3) est irrationnel

1.1.Exer cices5

Exercice1.9.SoientAetBdeux ensembles donnés, montrer que siA\B=

A[BalorsA=B:

Exercice1.10.SoientA;BetCtrois ensembles donnés, montrer queA\C=

A[Bsi et seulement siBAC.

Exercice1.11.SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer l"égalité (A[B)n(A\B) = (AnB)[(BnA):

6Logique et Théorie des Ensembles

1.2

Solutions

Exercice 1.1.Soientpetqdeux propositions données, telles que(p)q),(p^q) (p)q),(q)p)

Pour démontrer ces propriétés, il suffit de dresser la table de vérité;pqpqp^qp)qp)qq)p

11000101

10011010

01100101

00110101

Exercice 1.2.Soientp; qetrtrois propositions données 1.p,p 2. ( p^p),p 3. ( p_p),p 4. ( p^q),(q^p) commutativité du^ 5. ( p_q),(q_p) commutativité du_

6.[(p^q)^r],[p^(q^r)]associativité du^

7.[(p_q)_r],[p_(q_r)]associativité du_

8.(p^q),(p_q)loi de Morgan

9.(p_q),(p^q)loi de Morgan

10.(p)q),(q)p)(contraposée)

Indication :Cet exercice se traite aussi comme le précédent, il suffit de dresser la table de vérité Exercice 1.3.Formulation de la négation des propositions suivantes :

1.(p_q),[(p)q))q].

Par l"utilisation des lois de Morgan, on obtient,(p_q),[(p)q))q],[(p_q)_r]^(p_q) ,[(p^q)^r]_(p^q)

1.2.Solutions 7

2. (p)q))[(p^r))(q^r)],(p)q)_[(p^r))(q^r)] ,(p_q)_[(p^r))(q^r)],(p^q)_[(p^r))(q^r)] Exercice 1.4.La négation des propositions suivantes :

1.[(p)q)_r]^(p_q),[(p_q)_r]^(p_q)

,[(p^q)^r]_(p^q)

2.[(p^q)_r])(p^r),[(p^q)_r]_(p^r)

,[(p^q)_r]^(p_r) Exercice 1.5.Pour montrer qu"on ne peut pas en général commuter les quantifi- cateurs universel et existentiel il suffit de donner un contre exemple, en effet

8(un être humain x)(9un prenom y)telque y est le prenom de x

)(9un prenom y)8(un etre humain x) (telque y est le prenom de x) L"implication est évidemment fausse, l"hypothèse étant vraie et la conclusion étant fausse l"implication est fausse.

Exercice 1.6.Raisonnement par récurrence :

n X k=1k=n(n+ 1)2 n X k=1(2k1) =n2 n X k=1k

3=n(n+ 1)2

2

On va choisir de démontrer

nP k=1(2k1) =n2 on décompose la démonstration en trois étapes

1.Vérification :pourn= 1;on a bien que2(1)1 = 1 = 12.

2.Hypothèse de récurrence :nP

k=1(2k1) =n2.

8Logique et Théorie des Ensembles

3.

Il faut montr erque

n+1P k=1(2k1) = (n+ 1)2. n+1X k=1(2k1) = 2(1)1 + 2(2)1 + 2(3)1 +:::+ 2(n)1 + 2(n+ 1)1 =n2+ 2(n+ 1)1;par l"hypothèse de récurrence. = (n+ 1)2: Ce qui nous permet de conclure que pour tout entier naturel supérieur à 1 on a :nP k=1(2k1) =n2 Exercice 1.7.1.Soit x;y2R, par contraposée, nous allons montrer que (xy2x2y+ 4) = 0)x= 2ouy= 2): Nous attirons l"attention du lecteur sur le fait que la négation du "et" est un "ou" par les lois de Morgan. On suppose que(xy2x2y+ 4) = 0;or xy2x2y+ 4 = 0)x(y2)2(y2) = 0)(x2)(y2) = 0 )(x= 2ou y= 2) 2.

Soit n2Z,

n

2pair)npair

Par contraposée, soitn2Z, nous allons montrer que nimpair)n2impair On suppose quenest impair, alorsn= 2k+ 1et par suite n

2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k) + 1 = 2k0+ 1

aveck0= 2k2+2kpourk2Zdoncn2= 2k0+1et par conséquentn2est impair.

En conclusion pour toutn2Z,

n

2pair)npair

proposition est vraie, la demonstration par l"absurde consiste à montrer que la négation de la proposition à démontrer est fausse.

1.2.Solutions 9

1. p2est irrationnel :

Supposons quep2est rationnel alors,p2 =

pq ;avecp2Z;q2Z, onquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13