[PDF] HAPITRE Systèmes déquations - Serveur de mathématiques

Méthode des déterminants ou méthode de Cramer

Donc le couple (1;10) est solution de ce système (Attention dans un couple, il y a un ordre dans les parenthèses C’est d’abord x, puis y) La méthode des déterminants ou méthode de Cramer Gabriel Cramer était un mathématicien français(1704-1752) qui a mis au point en 1750 une méthode très efficace pour résoudre un système

Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer

Resuelve el sistema del Ejemplo A utilizando la regla de Cramer Solución: Ejemplo C Resolver en el siguiente sistema Solución: Si ha intentado resolver este usando la eliminación, se tardaría más de una página de la escritura y reescritura de resolver La Regla de Cramer acelera el proceso de resolución

FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr

FORMULES DE CRAMER Le but de ce complØment est double : 1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un systŁme de trois Øquations à trois inconnues [thØorŁme 4 7, page 9 de "Toutes les mathØmatiques" (TLM1)]

Calcul avec le logiciel R > cramerv(table)

On est déjà (sans s’en rendre compte) dans une statistique de pros On va utiliser une bibliothèque (pakage) de R : factominer Méthode basée sur une interprétation graphique Mais d’abord commençons par le V de Cramer Vous n’allez plus voir les Stats de la même façon

ÉTERMINANTS 2 Déterminants

(formules de Cramer) Si a1 b2 –a2b1=0 , le système (1) peut ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions En utilisant la notation des déterminants, les formules de Cramer s'écrivent : D= ∣a1 b1 a2 b2 Si D≠0 , alors x= ∣c1 b1 c2 b2∣ D, y= ∣a 1c a2 c2∣ D Exercice 2 6 Quand ce n'est pas possible, utilisez une

HAPITRE Systèmes déquations - Serveur de mathématiques

La méthode de Cramer pour les systèmes d'ordre 3 ne figure pas au programme de la 3e Dans l'exemple suivant, nous exposons toutefois un principe de résolution général Exemple et principe de résolution Considérons le système de 3 équations à 3 inconnues : () () 236 3410 2 32 2 3 xyz xyz xyz R S T 1 1

Systèmes d’équations linéaires - Cours et exercices de

1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de a, les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2

Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications

les solutions de ( ) sont paramétrées par les inconnues non principales Les inconnues s’appellent les inconnues principales, ou pivots Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en 2 La méthode du pivot Théorème de Gauss-Jordan

Estimation paramétrique - Institut de Mathématiques de Toulouse

Remarque — Le risque quadratique est la somme de la variance et du carré du biais de l’estimateur L’inégalité de Cramer-Rao et la définition de l’information de Fisher ont été vues en année 3 et ne sont pas rappelées ici 2 Estimation par la méthode des moments Dans cette section, Xest le vecteur formé par un n-échantillon

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CHAPITRE 1

Systèmes d'équations

1. Définition et exemple

Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux ()p

équations de la forme :

p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2)

où est le couple d'inconnues ett ntes appelées coefficients du xy,bg a, b, c, a', b' ec' sont des consta

système et vérifiant les conditions bg et . Résoudre le système revient à ab,,bÖ00ggab',',bgbÖ00

trouver le ou les couples (),xy?×oo qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2).

Ces couples sont les solutions du système.

Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inconnues : p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T Intéressons-nous d'abord aux solutions de l'équation (1). Le couple best une solution de cette

équation, car . Mais c'est loin d'être l'unique solution ! En effet il est facile de vérifier

que 12,g 21328

ôHôZ

(,),(24,),(,),...JJ561 5 2 sont d'autres couples de solution de cette équation. En fait l'équation

(1) admet une infinité de solutions. La forme générale de ces solutions peut s'obtenir en calculant y

en fonction de x :

238382

82
3 xyyxy x

HZøZJøZ

J Le s solutions de (1) sont donc les couples de la forme x x 82
3 J FI K J H G où x est un réel quelconque.

Par exemple : si xZJ2 alors yZ

JôJ

ZZ 822
3 12 3 4 , d'où la solution bg. J24,

De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve facilement que ce sont les

couples de la forme x x 71
4H F H G I K J , où x est un réel quelconque. Par exemple : 12235 15 4 ,,,,,,...bgbgJbg Remarquons que le couple b est à la fois solution de (1) et de (2). C'est donc une solution du

système . Le système admet-il d'autres solutions ? Les méthodes de résolutions exposées

ci-dessous vont prouver que best l'unique solution de . 12, ()p 12,g g ()p ()p

2. Méthodes de résolution

Reprenons le système de l'exemple précédent. ()p a) Résolution par substitution (Z remplacement) On calcule y en fonction de x à l'aide de l'équation (1) :

238382

82
3

3xyyxy

x

HZøZJøZ

J

On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) : On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) :

74
82
3 13

214823

213283

2929
14 x x xx xx x x J J F H G I K J

ZJô

øJJZJ

øJHZJ

øZ øZ bg

Finalement on substitue (4) dans (3) :

yZ Jô ZZ 821
3 6 3 2 Le système admet donc une solution unique : . SZ12,bgmr b) Résolution par combinaison linéaire Combinons d'abord les équations (1) et (2) pour éliminer y :

41ô() : 81232xyHZ (1')

32ô() : 21123xyJZJ (2')

(1') + (2') : 29291xxZøZ Combinons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x :

71ô() : 142156xyHZ (1'')

Jô22() : JHZ1482xy (2'')

(1'') + (2'') : 29582yyZøZ

On retrouve que . SZ12,bgmr

c) Méthode graphique

Si l'on rapporte le plan à un repère Oij,,

ch 81
, les équations (1) et (2) sont en fait les équations cartésiennes de deux droites, que nous notons d et d. Résoudre le système revient à

déterminer le point d'intersection de ces deux droites. Représentons graphiquement les deux droites.

12 pbg dxy 1

23:HZ dxy

2

74:JZJ

I12,bg

ddI 12 d 1 d 2 x -3 1 5 y -5 2 9 x -2 1 4 y 4 2 0 1..22

3. Résolution générale par la méthode de Cramer

C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la

solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues. Voici sa méthode dans le cas . nZ2

1.3 p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2

Ô=Eliminons d'abord y :

b'()ô1 : (1') abxbbycb''HZ

Jôb()2 : (2') JJZJabxbbycb''

(1') + (2') : ababxcbcb''''JZJbg On peut en déduire l'expression de x, à condition que . Alors : abab''JÖ0 x cbcb abab Z J J (1.1)

Ô=Eliminons de la même façon x :

a'()ô1 : (1'') aaxabyac'''HZ

Jôa()2 : (2'') JJZJaaxabyac'''

(1'') + (2'') : ' / ôJ ababyacac'''JZJbg1bg ababyacac''''JZJbg

Nous avons multiplié la dernière équation par -1 afin de faire précéder l'inconnue y du même

coefficient que x (cf. ligne (1') + (2')). Donc si ab, on a : ab''JÖ0 y acac abab Z J J (1.2) Le système admet donc une solution uniqà condition que l'expression soit non nulle. est appelé déterminant du système b, pour la simple raison que : pbgue, aZJabab'' apg aZJZabab ab ab (1.3)

Remarquons maintenant que les numérateurs de x et de y peuvent aussi être écrits sous forme d'un

déterminant. En effet : a x cbcb cb cb ZJZ'' (1.4)

Et de même :

a y acac ac ac ZJZ'' (1.5)

Les déterminants aa sont appelés déterminants de Cramer. En résumé, si le déterminant

du système a est non nul, alors (p) admet la solution unique : a, x et y xy cb cb ab ab ac ac ab ab x y ,bgZ F H G G G G I K J J J J Z F H G I K J a a a a (1.6) Règles mnémotechniques : Règles mnémotechniques :

Ô=a=est formé des colonnes

H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). Ô=a=est formé des colonnes H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). a a' FI K J a a' FI K J b b' FI K J b b' FI K J

Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a

x a x a a' F H G I K J a a' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K J

Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a

y a y b b' F H G I K J b b' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K J

Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1. Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1.

p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T a a a Z J ZJJZJ Z JJ ZJHZJ Z J ZJJZJ U V W ûZ J J ZZ J J Z 23
74
82129
83
14 32329
28
71
25658
29
29
1 58
29
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