Méthode des déterminants ou méthode de Cramer
Donc le couple (1;10) est solution de ce système (Attention dans un couple, il y a un ordre dans les parenthèses C’est d’abord x, puis y) La méthode des déterminants ou méthode de Cramer Gabriel Cramer était un mathématicien français(1704-1752) qui a mis au point en 1750 une méthode très efficace pour résoudre un système
Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer
Resuelve el sistema del Ejemplo A utilizando la regla de Cramer Solución: Ejemplo C Resolver en el siguiente sistema Solución: Si ha intentado resolver este usando la eliminación, se tardaría más de una página de la escritura y reescritura de resolver La Regla de Cramer acelera el proceso de resolución
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
FORMULES DE CRAMER Le but de ce complØment est double : 1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un systŁme de trois Øquations à trois inconnues [thØorŁme 4 7, page 9 de "Toutes les mathØmatiques" (TLM1)]
Calcul avec le logiciel R > cramerv(table)
On est déjà (sans s’en rendre compte) dans une statistique de pros On va utiliser une bibliothèque (pakage) de R : factominer Méthode basée sur une interprétation graphique Mais d’abord commençons par le V de Cramer Vous n’allez plus voir les Stats de la même façon
ÉTERMINANTS 2 Déterminants
(formules de Cramer) Si a1 b2 –a2b1=0 , le système (1) peut ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions En utilisant la notation des déterminants, les formules de Cramer s'écrivent : D= ∣a1 b1 a2 b2 Si D≠0 , alors x= ∣c1 b1 c2 b2∣ D, y= ∣a 1c a2 c2∣ D Exercice 2 6 Quand ce n'est pas possible, utilisez une
HAPITRE Systèmes déquations - Serveur de mathématiques
La méthode de Cramer pour les systèmes d'ordre 3 ne figure pas au programme de la 3e Dans l'exemple suivant, nous exposons toutefois un principe de résolution général Exemple et principe de résolution Considérons le système de 3 équations à 3 inconnues : () () 236 3410 2 32 2 3 xyz xyz xyz R S T 1 1
Systèmes d’équations linéaires - Cours et exercices de
1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de a, les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
les solutions de ( ) sont paramétrées par les inconnues non principales Les inconnues s’appellent les inconnues principales, ou pivots Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en 2 La méthode du pivot Théorème de Gauss-Jordan
Estimation paramétrique - Institut de Mathématiques de Toulouse
Remarque — Le risque quadratique est la somme de la variance et du carré du biais de l’estimateur L’inégalité de Cramer-Rao et la définition de l’information de Fisher ont été vues en année 3 et ne sont pas rappelées ici 2 Estimation par la méthode des moments Dans cette section, Xest le vecteur formé par un n-échantillon
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Estimation paramétrique
Estimation paramétrique
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plan du cours Soit( ;A;P)un espace probabilisé etXune v.a. de( ;A)dans(E;E). La donnée d"un modèle statistique c"est la donnée d"une famille de proba- bilités sur(E;E),fP; 2g. Le modèle étant donné, on suppose alors que la loi deXappartient au modèlefP; 2g. Par exemple dans le modèle de Bernoulli,X= (X1;:::;Xn)où lesXisont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre2]0;1[.E=f0;1gn,E=P(E), =]0;1[et P = ((1)0+1) n.1 Premières définitions
DÉFINITION1. - On dit que le modèlefP; 2gest identifiable si l"ap- plication ! fP; 2g 7!P est injective. DÉFINITION2. - Soitg: 7!Rk. On appelle estimateur deg()au vu de l"observationX, toute applicationT:7!Rkde la formeT=h(X)où
h:E7!Rkmesurable. Un estimateur ne doit pas dépendre de la quantitég()que l"on cherche à estimer. On introduit les propriètes suivantes d"un estimateur : DÉFINITION3. -Test un estimateur sans biais deg()si pour tout2, E [T] =g(). Dans le cas contraire, on dit que l"estimateurTest biaisé et on appelle biais la quantitéE(T)g(). GénéralementXest un vecteur(X1;:::;Xn)d"observations (nétant le nombre d"entre elles). Un exemple important est le cas oùX1;:::;Xnforme unn-échantillonc"est à dire lorsque queX1;:::;Xnsont i.i.d. On peut alorsregarder des propriétés asymptotiques de l"estimateur, c"est à dire en faisanttendre le nombre d"observationsnvers+1. Dans ce cas, il est naturel de
noterT=Tncomme dépendant den. On a alors la définition suivante : DÉFINITION4. -Tnest un estimateur consistant deg()si pour tout2, T nconverge en probabilité versg()sousPlorsquen! 1. On définit le risque quadratique de l"estimateur dans le cas oùg()2R. DÉFINITION5. - SoitTnest un estimateur deg(). Le risque quadratique de T nest défini parR(Tn;g()) =E[(Tng())2]:
Remarque. -Le risque quadratique est la somme de la variance et du carré du biais de l"estimateur. L"inégalité de Cramer-Rao et la définition de l"information de Fisher ont été vues en année 3 et ne sont pas rappelées ici.2 Estimation par la méthode des moments
Dans cette section,Xest le vecteur formé par unn-échantillonX1;:::;Xn.LesXisont à valeurs dans un ensembleX.
Soitf= (f1;:::;fk)une application deXdansRktelle que l"application !Rk :7!E[f(X1)] soitinjective. On définit l"estimateur^ncomme la solution dans(quand elle existe) de l"équation () =1n n X i=1f(Xi):(1) Souvent, lorsqueX R, la fonction on prendfi(x) =xietcorrespond donc auième moment de la variablesX1sousP. Ce choix justifie le nom donné à la méthode. Voici quelques exemples d"estimateurs bâtis sur par cette méthode.1Estimation paramétrique
2.1 Loi exponentielle
Icik= 1,Q=E()pour2R+. Comme pour tout,E[X1] = 1=
on prend() = 1=etf=Id:R+!R+. L"estimateur obtenu par la méthode des moments est n=1X noùX n=1n n X i=1X i: Par continuité de l"applicationx!1=x,^nest un estimateur consistant de.Remarquons queX
n>0p.s. ce qui justifie l"égalité ci-dessus.2.2 Loi uniforme
Icik= 1,Qest la loi uniforme sur[0;]avec >0. On a que pour tout,E[X1] ==2, on peut donc prendre par exemple() ==2et f=Id:R!R. L"estimateur obtenu par la méthode des moments est alors^n= 2X n. Cet estimateur est sans bias et consistant.2.3 Loi gaussienne
Icik= 2, on prend= (m;)2RR+,Q=N(m;). Pour tout
= (m;),E[X1] =metE[X21] =m2+. On peut donc prendre, par exemple,f1(x) =xetf2(x) =x2ce qui donne(m;) = (m;m2+). L"estimateur obtenus par la méthode des moments vérifie ^mn=X net ^m2n+ ^n=1n n X i=1X 2i: c"est a dire n= X n;1n n X i=1 XiX n 2! L"estimateur est consistant mais l"estimateur de la variance est biaisé.2.4 Propriétés asymptotiques
Notons() =E(1n
P n i=1f(Xi)). Supposons queX1;:::;Xnsont i.i.d.de loiP0. Les résultats de consistance précédents étaient obtenus grâce au faitque d"une part,
1n n X i=1f(Xi)p:s:!(0); et donc, comme1existe et est continue au voisinage de(0), on en déduit que ^nexiste et vérifie np:s:!1(0) =0:Mais que peut-on dire de la distance de
^nà0? Sous l"hypothèse que E0[kfk2]<+1on a grâce au théorème central limite que
pn 1n n X i=1f(Xi)(0)!Loi! Nk(0;(0));
où(0)la matrice covariance def(X1)sousP0. Elle est définie pouri;j2 f1;:::;kg i;j(0) =Cov0[fi(X1)fj(X1)]:La Delta méthode (cf Proposition
16 ) va nous permettre de déduire un résultat similaire pour^n: THÉORÈME6. - Supposons quesoit de classeC1dedansRket que02, et queD0 :Rk!Rksoit inversible. Supposons de plus que
E0[kf(X1)k2]<+1et notons(0)la matrice covariance def(X1)sous
P0. Alors sousP0:
^nexiste avec une probabilité tendant vers 1 on a la con vergenceen loi pn ^n0Loi! N
0;(D0)1(0)
(D0)10 Démonstration. -CommeD0est inversible,Dreste inversible dans un voisinage de0et donc, d"après le théorème de l"inversion locale,réalise un difféomorphisme d"un voisinageUde0dansVun voisinage de(0). Par la2Estimation paramétrique
loi des grands nombres, ^Yn=n1Pn i=1f(Xi)converge en probabilité (car p.s.) vers(0)et donc^Ynappartient àVavec une probabilité tendant vers 1 quandntend vers+1. Sur cet événement, l"équation (1) admet une uniquesolution^ndans(par injectivité de) et cette solution vérifie^n2Uet^n= 1(^Yn)où1est définie deVdansU. On a par ailleurs,
pn ^n0 =pn ^n1^Yn=2V+pn ^n1^Yn2V0 pn ^n1^Yn=2V+pn[~1^Yn ~1((0))](2) où ~1(y) = 1(y)1y2V. Orpn ^n1^Yn=2Vconverge vers 0 en probabilité car pour tout" >0, P 0[apn ^n1^Yn=2V> "]P0[^Yn62V]!n!+10: D"après le lemme de Slutsky, il suffit donc de montrer que le second terme du membre de droite de ( 2 ) converge en loi vers la limite annoncée. Or par théoreme centrale limite vectoriel pn ^Yn(0)