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ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES

Mercredi 28 janvier 2009

Collège La Charme

Durée : 2 heures

L'emploi des calculatrices est autorisé

En plus des point prévus pour chacune des trois parties de l'épreuve, la présentation, la rédaction et l'orthographe seront évaluées sur 4

points.

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES- 12POINTS

EXERCICE1

On considère l'expressionE= (3x+2)2-(3x+2)(x+7)

1)Développer et réduireE

2)FactoriserE

3)CalculerElorsquex=1

EXERCICE2

1)Déterminer, par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes, lePGCDde 144 et 252.

2)Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L'association désire répartir les inscrits

en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, le nombre de garçons doit être le même dans chaque

équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes. a)Quel est le nombre maximal d'équipes que cette association peut former? b)Quelle est alors la composition de chaque équipe?

EXERCICE3

On se donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 4.

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

Ajouter 4 à ce produit.

Écrire le résultat.

1)Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre-2, on obtient 0

2)Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombrechoisi est 5

3.a)Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme d'un carré d'un autre

nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie).

3.b)En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entierau départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES- 12POINTS

EXERCICE1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire. Les pointsA,EetCsont alignés, ainsi que les pointsB,EetD.

AE=7,2cm;EC=5,4cm

ED=7,5cm;BE=10cm

1)Démontrer que les droites(AB)et(CD)sont parallèles.

2)Sachant queCD=6,3cm, calculerAB.×

A E B C× D

EXERCICE2

La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

On ne demande pas de la reproduire.

Les pointsR,PetEsont alignés ainsi que les pointsA,PetM.

PARest un triangle rectangle enA.

On donneAR=2cmetRP=4cm×

A× R M E× P

1)CalculerAPet l'exprimer sous la formea⎷b, oùaetbsont des entiers.

2)Déterminer la mesure de l'angle?RPA

3)Expliquer pourquoi les angles?RPAet?MPEont la même mesure.

4)PMEest un triangle rectangle enM. On donneME=3cm.

CalculerPMà 1mmprès.

EXERCICE3

Dans tout l'exercice l'unité de longueur est le centimètre. La figure n'est pas en vraie grandeur et on ne demande pas de la reproduire.

M,NetPsont trois points d'une cercleCde centreO.

On donne :OM=3cmet?MON=70°.

1)Démontrer que le triangleOMNest isocèle, préciser le sommet

principal.

2)Calculer la mesure de l'angle?OMN

3)Calculer la mesure de l'angle?MPN×

O P

×M×

N C

TOURNEZ LA PAGE?

PROBLÈME- 12POINTS

ABCDest un losange dont les diagonales[AC]et[BD]se coupent enO

On donne :AB=5cmetAC=6cm

Sur la figure ci-dessous les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de la reproduire. On pourra la compléter si nécessaire.

B+ A D C+ O

Première partie

1)En justifiant calculerBO. En déduire queBD=8cm.

2)Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle?ABO.

3)Calculer l'aire du losangeABCD.

Deuxième partie

On place un pointMsur le segment[AB].

La droite passant parMet parallèle à la droite(BD)coupe le côté[AD]enN.

1)On suppose queAM=3. CalculerANetMN. Justifier.

2)On poseAM=x. Montrer queMN=1,6x.

Troisième partie

Pour cette partie, on a encoreAM=x.

La droite passant parMet parallèle à la droite(AC)coupe le côté[BC]enP.

1)ExprimerBMen fonction dex, puis montrer queMP=6-1,2x.

2)Calculer la valeur dexpour laquelle le triangleMNPest isocèle enM. En donner une valeur approchée à 0,1 près.

Quatrième partie

1)Montrer que la droite(AC)est perpendiculaire à la droite(MN)puis queAM=AN.

En déduire que la droite(AC)est la médiatrice du segment[MN]. De la même façon, on démontrerait que la droite(BD)est la médiatrice du segment[MP].

2)En déduire le rôle du pointOpour le triangleMNP

Pour les plus impatients d'entre vous, la correction de cette épreuve est disponible sur le blog de mathématiques dont vous trouverez

l'adresse sur le site du collège http ://collegelacharme.wordpress.com

BREVETBLANC- MATHÉMATIQUES- CORRECTION

Mercredi 28 janvier 2009

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE1

1.E= (3x+2)2-(3x+2)(x+7) = (9x2+12x+4)-(3x2+21x+2x+14)

E=9x2+12x+4-3x2-21x-2x-14=6x2-11x-10

2.E= (3x+2)2-(3x+2)(x+7) = (3x+2)[(3x+2)-(x+7)]

E= (3x+2)(3x+2-x-7) = (3x+2)(2x-5)3.Pourx=1

E=6×?12?

2 -11×1

2-10=6×1

4-11 2-10 E=3 2-11

2-10=-8

2-10=-4-10=-14

EXERCICE2

1.Calculons lePGCD(252;144)par l'algorithme d'Euclide.

252=144×1+108

144=108×1+36

108=36×3+0

AinsiPGCD(252;144) =362.aLe nombre d'équipes est un diviseur de 252 et 144. On veut le nombre maximal d'équipes, donc le

plus grand diviseur commun à 252 et 144. Il s'agit par définition duPGCD(252;144).

Le nombre maximal d'équipes que l'association peut former est donc362.bComme252=36×7etque144=36×4,ilyaura 7 garçons et 4 filles par équipe, soit 11 membres

EXERCICE3

1.Avec-2 on obtient successivement :

-2+4=2 puis 2×(-2) =-4 et enfin-4+4=02.Avec 5 : 5+4=9 puis 9×5=45 et enfin 45+4=493.aAvec-6 :-6+4=-2 puis(-2)×(-6) =12 et 12+4=16=42Avec 10 : 10+4=14 puis 14×10=140 et 140+4=144=1223.bNotonsxle nombre entier choisi au départ.

Il devientx+4 puisx(x+4)et enfinx(x+4)+4

Développons cette dernière expression on a :x(x+4)+4=x2+4x+4

On reconnaît une identité remarquable d'oùx(x+4)+4= (x+2)2On obtient donc toujours le carré d'un nombre entier!

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE1

1.ComparonsEA

ECetEB

EDEA

EC=7,2

5,4=4

3≈1,33 à 0,01 près

EB ED=10 7,5=4

3≈1,33 à 0,01 près

Ainsi nous avons

EA EC=EB ED. Comme les pointsA,EetCsont alignés et dans le même

ordre que les points alignésB,EetD, d'aprèsla réciproque de la propriété de Thalès,

les droites(AB)et(CD)sont parallèles.

2.Les droites(AC)et(BD)sont sécantes enE.

Les droites(AB)et(CD)sont parallèles.

D'aprèsla propriété de Thalèsnous avons : EA EC=EB ED=AB CD 7,2

5,4=10

7,5=AB

6,3

D'où 6,3×10=7,5×ABc'est à direAB=63

7,5=8,4cm

EXERCICE2

1.Le triangleRPAest rectangle enA.

D'aprèsle théorème de Pythagoreon a :

2+AR2=PR2

2+22=42

2+4=16

AP 2=12

AP=⎷

12=⎷

4×3=2⎷

2.Dans le triangleRPArectangle enA.

sin(?RPA) =RA RP=2 4=1 2=0,5

A la calculatrice on trouve donc

?RPA=30°

3.?RPAet?MPEsontdeux angles correspondants, ils sont donc égaux

.4.Dans le trianglePMErectangle enM.

On a tan(?MPE) =ME

PM=3 PM

D'où tan(30) =3

PMetPM×tan(30) =3 ainsiPM=3

tan(30)≈5,2cmà 1mmprès

EXERCICE3

1.OMNestuntriangletelqueOM=ON=3cm.OMNestdonc un triangle isocèle de sommet principalO2.OMNest isocèle enOdonc les angles?OMNet?MNOsont égaux.

La somme des angles dans le triangleOMNdonne 70+2×?OMN=180 d'où?OMN=55°3.?MPNest un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle au centre?MON, donc?MPN=

?MON

2=35°

PROBLÈME

PREMIÈRE PARTIE

1.ABCDest un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Dans le triangleABOrectangle enO, d'aprèsla propriété de Pythagoreon a : AO

2+BO2=AB2

2+BO2=52

2=25-9=16

BO=4Oest le milieu de la diagonale[BD]doncBD=2×BO=82.Dans le triangleABOrectangle enO,cos(?ABO) =BO

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ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES

Mercredi 28 janvier 2009

Collège La Charme

Durée : 2 heures

L'emploi des calculatrices est autorisé

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES- 12POINTS

EXERCICE1

1)Développer et réduireE

2)FactoriserE

3)CalculerElorsquex=1

EXERCICE2

1)Déterminer, par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes, lePGCDde 144 et 252.

2)Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L'association désire répartir les inscrits

EXERCICE3

On se donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 4.

Ajouter 4 à ce produit.

Écrire le résultat.

1)Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre-2, on obtient 0

2)Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombrechoisi est 5

3.a)Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme d'un carré d'un autre

3.b)En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entierau départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES- 12POINTS

EXERCICE1

AE=7,2cm;EC=5,4cm

ED=7,5cm;BE=10cm

1)Démontrer que les droites(AB)et(CD)sont parallèles.

2)Sachant queCD=6,3cm, calculerAB.×

EXERCICE2

La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

On ne demande pas de la reproduire.

PARest un triangle rectangle enA.

On donneAR=2cmetRP=4cm×

1)CalculerAPet l'exprimer sous la formea⎷b, oùaetbsont des entiers.

2)Déterminer la mesure de l'angle?RPA

3)Expliquer pourquoi les angles?RPAet?MPEont la même mesure.

4)PMEest un triangle rectangle enM. On donneME=3cm.

CalculerPMà 1mmprès.

EXERCICE3

M,NetPsont trois points d'une cercleCde centreO.

On donne :OM=3cmet?MON=70°.

1)Démontrer que le triangleOMNest isocèle, préciser le sommet

2)Calculer la mesure de l'angle?OMN

3)Calculer la mesure de l'angle?MPN×

×M×

TOURNEZ LA PAGE?

PROBLÈME- 12POINTS

On donne :AB=5cmetAC=6cm

Première partie

1)En justifiant calculerBO. En déduire queBD=8cm.

2)Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle?ABO.

3)Calculer l'aire du losangeABCD.

Deuxième partie

On place un pointMsur le segment[AB].

1)On suppose queAM=3. CalculerANetMN. Justifier.

2)On poseAM=x. Montrer queMN=1,6x.

Troisième partie

Pour cette partie, on a encoreAM=x.

1)ExprimerBMen fonction dex, puis montrer queMP=6-1,2x.

2)Calculer la valeur dexpour laquelle le triangleMNPest isocèle enM. En donner une valeur approchée à 0,1 près.

Quatrième partie

1)Montrer que la droite(AC)est perpendiculaire à la droite(MN)puis queAM=AN.

2)En déduire le rôle du pointOpour le triangleMNP

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Mercredi 28 janvier 2009

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE1

1.E= (3x+2)2-(3x+2)(x+7) = (9x2+12x+4)-(3x2+21x+2x+14)

E=9x2+12x+4-3x2-21x-2x-14=6x2-11x-10

2.E= (3x+2)2-(3x+2)(x+7) = (3x+2)[(3x+2)-(x+7)]

E= (3x+2)(3x+2-x-7) = (3x+2)(2x-5)3.Pourx=1

E=6×?12?

2-10=6×1

2-10=-8

2-10=-4-10=-14

EXERCICE2

1.Calculons lePGCD(252;144)par l'algorithme d'Euclide.

Choisir un nombre.

Lui ajouter 4.

Ajouter 4 à ce produit.

Écrire le résultat.