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Programme - Compétences
B213 MODELISER
Associer le modèle du solide déformable localement en surface au comportement de solides en contact ; Utiliser le modèle de Hertz (fourni) pour déterminer les déplacements et les pressions dans les contacts linéiques ou ponctuels ;Solides déformables en
surfaceThéorie de Hertz
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A. Solides déformables en surface - Théorie de Hertz ......................................................... 3
A.I. Introduction ....................................................................................................................... 3
A.II. Contact entre solides indéformables .................................................................................. 3
A.II.1 Cinématique du contact ........................................................................................................................ 3
A.II.2 Statique du contact ............................................................................................................................... 3
A.III. Contact entre solides ........................................................................................................ 4
A.IV. Contact entre solides déformables .................................................................................... 4
A.IV.1 Présentation du problème ................................................................................................................... 4
A.IV.2 Hypothèses .......................................................................................................................................... 5
A.IV.3 Modèle de Hertz .................................................................................................................................. 6
A.IV.3.a Données ........................................................................................................................................ 6
A.IV.3.b Paramètres ................................................................................................................................... 6
A.IV.3.c Interaction entre les solides ......................................................................................................... 7
A.IV.3.c.i Contacts ponctuels ................................................................................................................. 7
Formules de calcul .......................................................................................................................... 7
Détails du contact quelconque ....................................................................................................... 7
A.IV.3.c.ii Contacts linéiques................................................................................................................ 10
A.IV.4 Utilisations courantes de la théorie de Hertz .................................................................................... 11
A.IV.4.a Calcul de raideurs locales ........................................................................................................... 11
A.IV.4.b Dimensionnement au matage .................................................................................................... 11
A.V. Annexe............................................................................................................................ 12
A.V.1 Courbure des courbes et surfaces ...................................................................................................... 12
A.V.1.a Préliminaires ................................................................................................................................ 12
A.V.1.b Courbure d'une courbe plane ..................................................................................................... 13
A.V.1.c Courbure d'une surface 3D .......................................................................................................... 14
A.V.1.c.i Définition ............................................................................................................................... 14
Surface de rĠǀolution d'adže ࡹǡ ................................................................................................. 14
Surface sans réǀolution d'adže ࡹǡ .............................................................................................. 14
A.V.1.c.ii Plans - Cylindres - Sphères ................................................................................................... 15
A.V.1.c.iii Théorème utile .................................................................................................................... 16
A.V.2 Quelques caractéristiques de matériaux ............................................................................................ 17
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A. Solides déformables en surface -
Théorie de Hertz
A.I. Introduction
en compte la déformation locale des surfaces au niveau du contact. deux solides déformables dans la zone de contact entre deux solides : - Géométrie de la zone de contact - Rapprochement global des deux solides - Répartition de la pression - Contraintes dans la matièreA.II. Contact entre solides indéformables
A.II.1 Cinématique du contact
Lorsque deux solides indéformables sont en contact, on définit : o Vecteur roulement dans le plan de contact ߨA.II.2 Statique du contact
Lorsque deux solides indéformables sont en contact avec frottement, les lois de Coulomb permettent
de dĠterminer la relation entre l'effort normal et l'effort tangentiel. On définit :Action sur ܥ
Action dans ܥ
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A.III. Contact entre solides
Lorsque les deux solides sont mis en contact, une pression de contact ܲ uniformément, ce qui nous a conduits à utiliser la relation suivante : Cette pression est aussi la pression moyenne de tout contact.particuliğre. L'objet de ce chapitre est d'Ġtudier des dĠformations pour des contacts ponctuels et
surfaciques.A.IV. Contact entre solides déformables
A.IV.1 Présentation du problème
zone de contact s'Ġtablie par Ġcrasement des deudž solides l'un sur l'autre qui se rapprochent
globalement (assez loin de la zone dĠformĠe) d'une ǀaleur ߜ solides autour de ܯ ܲ non uniforme sur la surface de contact ܵ. Une contrainte ߬ de contact.Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.2 Hypothèses
- Les déformations en dehors de la zone de contact sont négligeables - Les déformations sont élastiques (pas de déformations plastiques) - Les matériaux sont élastiques, homogènes et isotropes - Les contacts se font sans frottements sur la surface ܵ devant les dimensions des solides en contact - Les solides sont de grandes dimensions devant les zone de contact - Il n'y a pas de mouǀements relatifs entre les deudž solides- Les deux zones mises en contact sont supposés être des ellipsoïdes définis par deux rayons de
courbure (principaux) positifs (surface convexe) ou négatifs (surface concave) (cf Annexes)Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.3 Modèle de Hertz
A.IV.3.a Données
Rayons de courbure principaux
Matériaux
L'effort normal au niǀeau du contact est connu : ܰA.IV.3.b Paramètres
On définit deux paramètres ݇ :
݇ est en ܽܲ
On définit les courbures :
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A.IV.3.c Interaction entre les solides
A.IV.3.c.i Contacts ponctuels
Formules de calcul
Types de contacts
Solides
Solides
Sphère
Sphère
Sphère
PlanSurface
de contact FormeDimensions
Rapprochement ߜ
Pression max ܲ
Profondeur pour ߬
(Pour ߭Fonction de l'edžcentration de
l'ellipse ࢎൌǡࢇ ࢎൌǡࢇDétails du contact quelconque
Dans le cas de contacts entre solides quelconques, il faut déterminer les coefficients ݉, ݊ et ݎ,
dĠpendant de l'angle ߮ lui-mġme dĠpendant d'un angle ߠL'angle ߠ
chaque solide avec le plan de contact ߨDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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Prenons l'edžemple ci-dessous.
On associe les plans ܲଵ et ܲ
- Le plan ܲ - Le plan ܲ - Le plan ܲ - Le plan ܲRemarque ͗ Si l'une des surfaces est de rĠǀolution autour de la normale au contact, l'angle ߠ
courbures principales sont identiques pour la même surface (révolution autour de la normale), par
exemple ܥଵൌܥଵᇱൌܥ. On a alors : ...߮L'angle ߠ
surface. L'angle ߮ est l'angle entre la direction du plan ܲ tel que ߮ soit dans la direction de ߠ entre les directions des plans ܲଵ et ܲ même direction que ߠDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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Il reste finalement à connaître les valeurs des 3 variables ݉, ݊ et ݎ qui dépendent de ߮
On trouve sur internet ce graphique :
N'ayant pas trouǀĠ de description plus prĠcise de ces courbes, j'en propose un modğle approchĠ issu
Fichier source : https://www.dropbox.com/s/hqkxd062ao7je4d/Hertz_Coeffs.xlsx?dl=0 Voici le résultat de cette approximation, très proche de la courbe ci-dessus :Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.3.c.ii Contacts linéiques
Types de contacts
Cylindre
Cylindre
Cylindre
PlanSurface
de contact FormeRapprochement ߜ
Pression max ܲ
Profondeur pour ߬
(Pour ߭Dans le cas de contacts linéiques réels, les longueurs de contact sont non infinies et la théorie de Hertz
donne des valeurs non réalistes. Arvid Palmgren donne des valeurs proches de la réalité pour un couple
de matériaux métalliques où ܮDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.IV.4 Utilisations courantes de la théorie de HertzA.IV.4.a Calcul de raideurs locales
La détermination du rapprochement ߜ
relation entre déplacement ݀ et effort ܰA.IV.4.b Dimensionnement au matage
L'application de la thĠorie de Hertz permet de choisir la gĠomĠtrie et les matĠriaudž des piğces en
contact en prenant en compte la pression de matage admissible ܲLe critère à vérifier est le suivant :
Nous utiliserons pressions de matage conventionnelles suivantes :Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.V. Annexe
A.V.1 Courbure des courbes et surfaces
Pour utiliser correctement la théorie de Hertz, il faut trouver les rayons de courbure principaux de
surfaces 3D. Il est donc nécessaire de présenter les caractéristiques des surfaces 3D afin d'en ġtre
capable.A.V.1.a Préliminaires
surface tel que les normales sortantes aux deux surfaces soient opposées, orthogonales à un plan de
contact appelé ߨDernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.V.1.b """ ǯ ..."" "Soit une courbe plane quelconque délimitant un solide. On parcourt la courbe tel que la matière soit
toujours à droite. En tout point ܯܴ appelé rayon de courbure local en ܯ de ܥ. Soit ݐԦ le vecteur tangent à la courbe en ܯ
courbure appelé ܱOn a :
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A.V.1.c """ ǯ "... ͵A.V.1.c.i Définition
Dans le cas d'une surface ܵ, il existe une infinité de rayons de courbures en un point ܯOn définit le plan tangent au contact ߨ
point ܯ On trouve alors les rayons de courbure de ܵ en ܯ dans des tranches de la surface ܵ coupe de plans orthogonaux à ߨ On définit les rayons de courbures principaux de ܵ en ܯ et maximum de ܵ en ܯ Les centres de courbure sont tous confondus et tous les rayons de courbures sont identiques.ܵ en ܯ
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A.V.1.c.ii Plans Ȃ Cylindres - Sphères
Lors de l'application de la thĠorie de Hertz, nous aurons souvent affaire à ces contacts faisant intervenir
des plans, sphères et cylindres. Dans ces 3 cas, les rayons de courbures principaux sont faciles à
déterminer : Plan Cylindre plein de rayon ݎ Sphère pleine de rayon ݎLa surface est de révolution
Tous les rayons de courbure
sont identiques égaux à :Cylindre plein - Contact
extérieurLa surface est de révolution
Tous les rayons de courbure
sont identiques égaux à : Cylindre creux de rayon ݎ Sphère creuse de rayon ݎCylindre creux - Contact
intérieurLa surface est de révolution
Tous les rayons de courbure
sont identiques égaux à :Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.V.1.c.iii Théorème utile
Pour des contacts entre surfaces quelconques, il est nécessaire de savoir trouver les deux courbures
l'une d'elles, on trouǀera l'autre dans le plan orthogonal à ߨest de rĠǀolution autour d'un adže, les traǀaudž d'Euler nous permettent de trouǀer les deudž centres de
courbure facilement.Prenons l'edžemple d'un tore :
Le tore étudié présente une courbure principale en ܯ dont on connaît le rayon :Les travaudž d'Euler ont permis de montrer que le second centre de courbure est sur l'adže de rotation.
C'est donc le point ܣ
Remarque : ce théorème nous sera très utile en TD pour le calcul des courbures de bagues de
roulements au contact avec les billes !!!Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY
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A.V.2 Quelques caractéristiques de matériauxquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18