Devoir à la maison numéro 2, à rendre le 4 décembre 2020

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Algorithmes arithmétiques II — Devoir à la maison 2

Algorithmes arithmétiques II — Devoir à la maison 2 à rendre pour le samedi 13 février 2021, dernier délai Consigne Ci-dessous, vous trouverez deux sujets de DM Vous ne devez en traiter qu’un seul Vous pouvez rendre un travail de groupe de 2 étudiantes maximum Documents à fournir Vous devez rendre par email

Devoir maison a rendre en TD le 20 mai

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DEVOIR MAISON N 1 - fontaine-mathsfr

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1 Devoir maison : algorithmique, troisième partie A rendre

DM algorithme n 5, 2nde 1 Devoir maison : algorithmique, troisième partie A rendre par binôme 2 Boucles bornées Voici ce qu’il faut savoir à ce sujet :

Devoir maison - Analyse II - mathuniv-paris13fr

˘2 + 2 e i arctan ˘; C2C: 3 Justi er que toutes ces solutions sont temp er ees 4 En d eduire la dimension de Dans toute la suite, Td esigne un el ement de 5 Montrer que T= T f ou fest une fonction continue sur R et de carr e int egrable sur R 6 Soit S= xT Montrer, en utilisant (E^), que l’on a dans S0(R), S^ = 1 2i˘ ˘2

devoir de maison

c) 2 est un zéro du polynôme P d) 2 est la seule racine de P 3) On considère les polynômes P et Q définis, pour tout réel x, par : P(x) = -2x 2-5x + 2 et Q(x) = 2x 2 - 3x +2 : a) Le degré du polynôme P Q+ est égal à 2 b) Le degré du polynôme P Q+ est égal à 1 c) Le degré du polynôme P Q× est égal à 4

Mathématiques 2020-2021

Devoir à la maison numéro 2, à rendre le 4 décembre 2020 Systèmes triangulaires, Cholesky, moindres carrés Ce travail peut être fait à deux. Il s"agit d"un travail exclusivement expérimen- tal. Aucune justification théorique n"est demandée. Il est demandé d"indiquer les numéros d"exercices et de questions en commen- taires. Indiquez aussi les noms du binôme (ou monôme) sous le titre principal. Il est conseillé de commenter brièvement les fonctions et les résultats obtenus. La présentation sera prise en compte dans l"appréciation du travail. Dans l"énoncé, les indices de matrices et de vecteurs commencent à0. Indications pour les commentaires surJupyter.SurJupyter, on trouve dans le bandeau d"outils un onglet pour le "mode". Quand ce mode estcode, on peut faire des calculs. Si on choisit le modemarkdown, alors on peut mettre un commentaire. Pour écrire un grand titre :# Titre. Un plus petit titre :## Titre. Plus il y a de#, plus le titre est petit. Il est aussi possible de faire un travail sur un éditeur de texte. Dans ce cas aussi, une rédaction soignée est demandée.

Exercice 1- [Systèmes triangulaires]

1)SoitK=Q,RouC. SoientAune matrice triangulaire supétieure de GLn(K)

etB2Mn;1(K). Pour résoudre l"équationAX=B, on peut par exemple utiliser la fonction suivante. def TriangleSup(K,A,B): n=B.length()

X=vector(K,n)

for i in range(n-1,-1,-1): X[i]=A[i,i]^(-1)*(B[i]-sum([A[i,j]*X[j] for j in range(n-1,i-1,-1)])) return X Programmer une telle fonctionTriangleSupqui prend en paramètresK,AetB et qui rend la solution de l"équationAX=B.

On pourra tester cette fonction surK=Q,A=0

@2 1 1 0 2 2

0 0 31

A etB=0 @3 2 11 A

2)Écrire la fonctionTriangleInf(K,A,B) qui s"applique à une matriceAtri-

angulaire inférieure. Dans ce cas,ivarie de0àn1et on utilise lesXjpour j2[[0;i1]]déjà calculés. X i=1A i;i B ii1X j=0A i;jXj! On pourra appliquerTriangleInfàK=Q, la transposéetAdeAetB.

Exercice 2- [Décomposition de Cholesky]

Dans cet exercice et le suivant, on demande des calculs dansR.

1)Écrire une fonctionCholeskyqui prend une matriceSsymétrique définie

positive en entrée et rend l"unique matriceRdeT++sup;n(R)telle queS=tRR. On pourra utiliser l"algorithme donné par l"exercice 12 de la feuille d"exercices numéro 5, c"est à dire, en calculant pourmallant de0àn1etjdem+ 1à n1: r m;m=v uuts m;mm1X k=0r

2k;metrm;j=1r

m;m s m;jm1X k=0r k;mrk;j! On pourra essayer la fonctionCholeskysur la matriceS=41 1 4

2)Appliquer cette fonction àS= (sij)2M9(R)où pour tout(i;j)2[[0;8]]2,

s ij= min(i;j) + 1

3)Construire une matriceA2M4(R)au hasard et appliquer la fonctionCholesky

à la matriceS=tAA.

Exercice 3- [Problème des moindres carrés]

SoientA= (ai;j)2Mm;n(R)etB= (bi)2Mm;1(R). On suppose quem>net quergA=n. L"équationAX=Bn"a pas nécessairement des solutions. On peut alors essayer de trouver unesolution approchée: on va chercherX2Mn;1(R)tel quejjAXBjj2est minimale. Cela revient à dire que la somme m1X i=0 n1X j=0a i;jxjbi! 2 est minimale. Cette question est appeléeproblème des moindres carrés.

On admet le théorème suivant.

Théorème 1.La normejjAXBjj2est minimale si et seulement si (1) tAAX=tAB SoitS=tAA2Mn(R). AlorsSest symétrique positive. De plus, comme rgA=n, on peut vérifier queSest définie positive. Ainsi, on peut lui appliquer la fonctionCholeskypour trouverR2 T++sup;n(R)vérifiantS=tRR. Le problème des moindres carrés se ramène alors à la résolution de deux systèmes triangulaires tRY=tABetRX=Y

1)Soient les points deR2suivants.P0= (1;1:9),P1= (2;1:01),P2= (3;4:21),

3= (4;6:8),P4= (5;5:9). On cherche une droiteD(d"équationy=a1x+a0)

qui approche au mieux ces points "au sens des moindres carrés". C"est-à-dire que l"on cherche(a0;a1)2R2tel que la somme4X i=0((a0+a1Pi[0])Pi[1])2est minimale. Traduisons cela matriciellement. SoientA=0 B

BBB@1 1

1 2 1 3 1 4 1 51 C

CCCAetB=0

BBB@1:9

1:01 4:21 6:8 5:91 C CCCA.

On chercheX=a0

a 1

2M2;1(R)tel quejjAXBjj2est minimale.

Trouver cet élémentX, en utilisant uniquement les fonctionsCholesky,TriangleInf etTriangleSup(et bien sûr des fonctions usuelles de sage comme la transposée et la multiplication des matrices).

2)Dessiner sur un même graphe l"ensemble des pointsPiet la droiteD. Pour

cela, sif=a1x+a0et siPest la liste desPi, il suffit d"écrire

Droite=plot(f,(x,0,5))

Points=point(P,color="red")

Droite+Points

Bien sûr, les couleurs peuvent être choisies au goût de chacune et chacun.

3)Soient les pointsP0= (1;1:96),P1= (2;0:12),P2= (3;0:55),P3= (4;2:84),

4= (5;8:16). En suivant la même méthode que précédemment, trouver la para-

bole (d"équationy=a2x2+a1x+a0) qui approche au mieux ces points au sens des moindres carrés.

4)Dessiner ces points et cette parabole sur un graphe.

5)Construire un autre exemple.

quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Devoir à la maison numéro 2, à rendre le 4 décembre 2020

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devoir de maison

Mathématiques 2020-2021

Exercice 1- [Systèmes triangulaires]

1)SoitK=Q,RouC. SoientAune matrice triangulaire supétieure de GLn(K)

X=vector(K,n)

On pourra tester cette fonction surK=Q,A=0

0 0 31

2)Écrire la fonctionTriangleInf(K,A,B) qui s"applique à une matriceAtri-

Exercice 2- [Décomposition de Cholesky]

1)Écrire une fonctionCholeskyqui prend une matriceSsymétrique définie

2k;metrm;j=1r

2)Appliquer cette fonction àS= (sij)2M9(R)où pour tout(i;j)2[[0;8]]2,

3)Construire une matriceA2M4(R)au hasard et appliquer la fonctionCholesky

à la matriceS=tAA.

Exercice 3- [Problème des moindres carrés]

On admet le théorème suivant.

1)Soient les points deR2suivants.P0= (1;1:9),P1= (2;1:01),P2= (3;4:21),

3= (4;6:8),P4= (5;5:9). On cherche une droiteD(d"équationy=a1x+a0)

BBB@1 1

CCCAetB=0

BBB@1:9

On chercheX=a0

2M2;1(R)tel quejjAXBjj2est minimale.

2)Dessiner sur un même graphe l"ensemble des pointsPiet la droiteD. Pour

Droite=plot(f,(x,0,5))

Points=point(P,color="red")

Droite+Points

3)Soient les pointsP0= (1;1:96),P1= (2;0:12),P2= (3;0:55),P3= (4;2:84),

4= (5;8:16). En suivant la même méthode que précédemment, trouver la para-

4)Dessiner ces points et cette parabole sur un graphe.

5)Construire un autre exemple.