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DEVOIR COMMUN DE MATHÉMATIQUES - Les MathémaToqués

Le devoir est noté sur 20 points La maîtrise de la langue, la qualité de la rédaction et le soin apporté à la copie entrent pour une part importante dans l’évaluation Les annexes numérotées de 1 à 6 sont à détacher et à rendre avec votre copie L’usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en

DEVOIR MAISON No1

Bon courage!

Exercice 1Extrait de ECRICOME 2008

A/ Puissancen-ième d"une matrice

On considère les matricesMetPdéfinies par :

M=((((1

60 0
0 1 60
5

6561))))

, P=((-1 0 0 0-1 0

1 1 1))

1. CalculerP2.

2. Vérifier que la matriceD=PMPest une matrice diagonale.

3. Justifier queM=PDPet établir par récurrence que, pour tout entier natureln,Mn=PDnP.

4. En déduire que l"expression matricielle deMnest donnée, pour tout entier natureln, par :

M n=((((? 1 6? n0 0 0 ?1 6? n0 1-?1 6? n1-?16? n1))))

B/ Étude du mouvement aléatoire d"une puce

On étudie le mouvement aléatoire d"une puce, qui se déplace sur les sommets d"un triangleABC. À l"instant

t= 0, la puce se trouve sur le sommetAet se déplace ensuite selon les règles suivantes :

•Si à l"instantn, la puce est au sommetAdu triangle, elle est à l"instantn+ 1au sommetBavec la

probabilité 1

3, au sommetCavec la probabilité23;

•Si à l"instantn, la puce est au sommetBdu triangle, elle est à l"instantn+1soit au sommetC, soit

au sommetAde façon équiprobable; •Si à l"instantn, la puce est au sommetCalors elle y reste.

Pour tout entier natureln, on désigne par :

•Anl"évènement " la puce est au sommetAà l"instantn» et paransa probabilité; •Bnl"évènement " la puce est au sommetBà l"instantn» et parbnsa probabilité; •Cnl"évènement " la puce est au sommetCà l"instantn» et parcnsa probabilité.

1. Donner les valeurs dea0,b0,c0,a1,b1etc1.

2. Exprimer à l"aide de la formule des probabilités totales,les probabilitésan+1,bn+1,cn+1en fonction

des probabilitésan,bnetcn.

3. En déduire une matriceAtelle que l"on ait pour tout entier natureln:

(a n+1 b n+1 c n+1)) =A=((a n b n c n))

Vérifier queA2=M.

1 ECT2DEVOIR MAISON No1À rendre le 15 Octobre 2020

4. Établir que pour tout entier natureln:

(a 2n b 2n c 2n)) =Mn((100))

5. En déduire que pour tout entier natureln:

(a 2n+1 b 2n+1 c

2n+1))

=AMn((100))

6. Déterminer les expressions dea2n,b2n,c2n,a2n+1,b2n+1etc2n+1en fonction den.

7. Montrer que les suites(a2n),(b2n),(c2n),(a2n+1),(b2n+1)et(c2n+1)sont convergentes.

8. Les valeurs deb2neta2n+1étaient-elles prévisibles?

Exercice 2

Soitfla fonction définie surRparf(x) =4ex

1 +ex. On noteCfsa courbe représentative.

1. Calculerf?(x). En déduire le sens de variation def.

2. Montrer quef(x) =4

1 +e-x, puis calculer les limites defen+∞et en-∞. En déduire l"existence

d"éventuelles asymptotes.

3. Résumer les résultats précédents dans un tableau de variation.

4. On appelle(T)la tangente àCfau point d"abscisse 0. Déterminer une équation de(T).

5. Soitdla fonction définie surRpard(x) =f(x)-(x+ 2).

(a) Vérifier qued?(x) =-(ex-1)2 (ex+ 1)2et en déduire les variations ded. (b) Calculerd(0)puis étudier le signe ded(x). (c) En déduire la position relative deCfet de(T).

6. Tracer les asymptotes trouvées à la question 2, la tangente en 0, et la courbeCf.

Exercice 3

Un gardien de but doit faire face, lors d"une démonstration,à un certain nombre de tirs directs. Les expériences

précédents conduisent à penser que : - s"il a arrêté len-ième tir, la probabilité pour qu"il arrête len+ 1-ième est0,8; - s"il a laissé passer len-ième tir, la probabilité pour qu"il arrête le suivant est0,6; - la probabilité pour qu"il arrête le premier tir est0,7. On noteAnl"évènement " le gardien arrête len-ième tir ». On a doncP(A1) = 0,7.

1. (a) Donner, pourn≥1, les valeurs dePAn(An+1)etP

An(An+1).

(b) En déduire que, pour tout entiern≥1, on a :

P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6

2. On pose à présent, pourn≥1,pn=P(An)etun=pn-0,75.

2 ECT2DEVOIR MAISON No1À rendre le 15 Octobre 2020 (a) Démontrer queunest une suite géométrique de raison0,2. (b) En déduire l"expression depnen fonction den. (c) Montrer que(pn)admet une limite que l"on calculera. 3quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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