Cours de MATHÉMATIQUES - Wallis and Futuna

Devoir Maison de Géométrie Di érentielle 1 Cohomologie des tores par Mayer-Vietoris Soit Tn= S1 S1 le tore de dimension n 1 Montrer qu'on peut décomposer Tnen M n= U[V tel que Uet V soient homotopes à Tn 1 et U\V soit homotope à deux copies disjointes de Tn 1 On veut montrer par récurrence sur nque 8p;dimHp(Tn) = n p 2 Le véri er

Devoir Maison de Géométrie Di érentielle - mathensfr

Devoir Maison de Géométrie Di érentielle 1 Cohomologie des tores par Mayer-Vietoris Soit Tn = S1 S1 le tore de dimension n 1 Montrer qu'on peut décomposer Tn en M n = U[V tel que Uet V soient homotopes à Tn 1 et U\V soit homotope à deux copies disjointes de Tn 1 On veut montrer par récurrence sur nque 8p;dimHp(Tn) = n p 2 Le véri

Devoir Maison de mathématiques – type brevet

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Devoir maison de Mathématiques 3

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Date : Devoir maison n°3 6ème Date : Devoir maison n°3 6

Date : Devoir maison n°3 6ème Compétences Exercices Points Représenter : construireune ﬁgure 2 Raisonner : utiliser unraisonnement pour résoudreun problème 1et 3 Calculer : effectuer descalculs avec desnombresdécimaux 3 Communiquer : expliquer àl’écrit sadémarche,son raisonnement 1et 3 Exercice 1 : Trouve le nombresuivant :

DM n°2 - Géométrie vectorielle

Devoir maison n°2 Géométrie vectorielle Note: / 10 Correction du DM n°2 Mais d'après le théorème de Thalès, appliqué au triangle BCD on a : = =

Devoir surveillé n°1 – Corrigé 3 - 2017

Nom : Devoir surveillé n°1 – Corrigé 3e - 2017 Prénom : Exercice 1 – Somme de relatifs décimaux 2 points Calculer en faisant apparaître au moins une étape A=5,2−7+18−9,4−1,6

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

- Fabien PUCCI -

Classe de Terminale S

Enseignement obligatoire

Année 2015

Table des matières

1 Suites - Raisonnement par

récurrence 7

I Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III Convergence d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

VI Comportement de suites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Feuille d"exercices no1 :Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Feuille d"exercices no2 :Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Feuille d"exercices no3 :Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Fiche no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Droites et Plans de l"espace49

I Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II Positions relatives de droites et de plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III Parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV Applications : sections d"un cube et d"un tétraèdre par unplan. . . . . . . . . . . . . . . 57

V Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Test no2 :Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Test no2 :Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Limites69

I Limite à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV Limite d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

V Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Devoir en temps libre no4 :Limite, Courbe et Asymptote. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3

Fiche no2 :Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Devoir surveillé no3 :Fonctions - Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Probabilités Conditionnelles - Lois discrètes97

I Probabilité (Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

II Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

III Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Fiche no3 :Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Fiche no4 :Variables aléatoires discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Continuité111

I Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

II Les grands théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Dérivation121

I Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

II Fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

III Calculs de dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

IV Dérivée et variations(Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Fiche no5 :Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7 L"exponentielle139

I La fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

II Étude de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

III Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Fiche no6 :Exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Devoir surveillé no4 :Exponentielle - Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . 154

Devoir surveillé no4 :Continuité - Probabilités Conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . 156

8 Géométrie vectorielle159

I Rappels et prolongements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II Repérage dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

III Droites et Plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Devoir en temps libre no5 :Extraits de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Fiche no7 :Géométrie dans l"Espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Feuille d"exercices no6 :Extraits de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Devoir surveillé no5 :Géométrie Vectorielle - Exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9 Fonctions Logarithmes187

I Logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

II Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

III Propriétés analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

IV Composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

V Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Fiche no8 :Logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Devoir surveillé no6 :Logarithme - Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10 Produit scalaire dans l"espace et Applications215

I Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

II Équations cartésiennes d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

III Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

IV Hors-programme mais.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Fiche no9 :Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Bac Blanc 1244

11 Calcul Intégral251

I Primitives d"une fonction sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

II Intégrale d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

III Conséquences du théorème (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

IV Formule de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

V Calcul d"aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

VI(Hors-programme)Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Fiche no10 :Calcul Intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

12 Lois Continues273

I Rappels de première. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

II Variable aléatoire à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

III Exemples de lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

IV Problèmes de bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Fiche no11 :Lois Continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Devoir surveillé no7 :Intégration (Liban 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Devoir en temps libre no7 :Intégration (Sujets de bac). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

13 Les Nombres Complexes I293

I L"ensemble des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II De la forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

III Équations du second degré dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6Chapitre 0:

Devoir surveillé no8 :Géométrie - Probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

14 Loi normale313

I La Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

II Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

III Lois normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

IV Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

V Un peu d"histoire et de culture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Fiche no12 :Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Devoir surveillé no9 :Loi normale - Complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

15 Nombres Complexes II337

I Forme exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

II Applications en géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Fiche no13 :Les nombres Complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

16 Fluctuation d"échantillonnage - Estimation353

I Échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

II Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Fiche no14 :Fluctuation d"échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Fiche no15 :Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

17 Bac 2015 obligatoire371

I Pondichéry 17 avril 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

II Liban 27 mai 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

III Centres étrangers 10 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

IV Polynésie 12 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

V Asie 16 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

VI Antilles-Guyane 22 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

VII Métropole 22 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

VIII Amérique du Nord 2 juin 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Devoir surveillé no10 :Bac - Sujet A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Devoir surveillé no10 :Bac - Sujet B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Correction du devoir no10 :Bac - Sujet A(Correction). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Correction du devoir no10 :Bac - Sujet B(Correction). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Bac Blanc 2407

F.PUCCI

Chapitre

Suites - Raisonnement par

récurrence "annéedernière, nous avons découvert le monde des suites et essentiellement celui des suites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques.

Cette année concentre ses efforts sur le comportement des suites en général et aborde la notion

de convergence, c"est-à-dire leur comportement à l"infini.

Pour ce faire, nous démontrerons quelques théorème fondamentaux et découvrirons un nouveau

mode de raisonnement très efficace :le raisonnement par récurrence.

Sommaire

I Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2 Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.1 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 Encadrement de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III Convergence d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.1 Suites convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.2 Suites divergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV.1 Suites explicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV.2 Cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 V Théorèmes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VI Comportement de suites particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 VI.1 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 VI.2 Théorème de convergence monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VI.3 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Feuille d"exercices no1 :Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Feuille d"exercices no2 :Comportement global. . . . . . . . . . . . . . . 31 Feuille d"exercices no3 :Limite de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Fiche no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Devoir surveillé no1 :Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7

8Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

IDémonstration par récurrence

I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt

Soit la suite (un)n?Ndéfinie par :?u

0= 0 u n+1= 2un+ 1. On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculerexplicitementunen fonction den. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux.

Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour dégager une

relation. Un calcul rapide donne : u

1= 2u0+ 1 = 1 (21-1)

2= 2u1+ 1 = 3 (22-1)

3= 2u2+ 1 = 7 (23-1)

4= 2u3+ 1 = 15 (24-1)

5= 2u4+ 1 = 31 (25-1)

La suite (un)n?Nsemble obéir à une loi toute simple : les puissances successives de 2 moins 1. Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : ?n?N, un= 2n-1. ATTENTIONUne conjecture n"est pas une preuve (ni une affirmation nécessairement vraie,

certaines conjectures se révèlent parfois fausses...). Cen"est que l"énoncé d"une propriété résul-

tant d"un certain nombre d"observations. 1 Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus? Notons (Pn) la propriété, définie par :?n?N, un= 2n-1. Supposons un instant, que pour un certain entiern, on ait effectivement la propriétéun= 2n-1.

Alors, on aurait :

u n+1= 2un+ 1 = 2(2n-1) + 1 = 2n+1-1. Ce qui correspond à la propriété (Pn+1) à l"ordren+ 1.

Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rangnalors elle le sera également au rang

suivantn+ 1. On dit que la propriété (Pn) esthéréditaire.

Or, on a déjà vérifié que la propriété ((P)n) était vraie au rang 0, 1, 2, 3, 4, 5, c"est-à-dire que

((P)0), ((P)1), ((P)2), ..., ((P)5) sont vraie. On dit que la propriété ((P)n) estinitialisée.

Mais comme elle est héréditaire, elle sera vraie encore au rangn= 6, puis au rangn= 7, etc...Si bien que notre propriété est finalement vraie à toutrangn.

1. En gros et comme toujours : " Affirmer n"est pas démontrer ».

I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCEF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence 9

I.2 Démonstration par récurrence

Soit une propriété ((P)n) définie surN.

?Si la propriété est initialisée à partir du rang 0 (oun0),

?et si la propriété est héréditaire à partir du rang 0 (oun0), c"est à dire que pour

toutk >0 (ouk > n0), (P)k=?(P)k+1, Alors : la propriété est vraie à partir du rang 0 (oun0).

Définition 1(Axiome de récurrence)

Pour démontrer que pour tout entiern?n0,Pn(proposition qui dépend den) est vraie, il faut et il suffit : ?(Initialisation)Vérifier quePn0est vraie2. ?(Hypothèse de récurrence)Supposer quePkest vraie pour un certain entier k?n0. ?(Propriété d"hérédité)Démontrer quePk+1est vraie3. ?(Conclusion)Pour toutn?n0,Pnest vraie.

Méthode 1(Démonstration par récurrence)

Ce principe de récurrence va nous permettre de démontrer uneinégalité importante, historique-

ment et pour la suite.

Soit un réelastrictement positif. On a alors :

?n?N,(1 +a)n?1 +na.

ROC(Inégalité de Bernoulli)

Preuve:Notons ((P)n), la proposition?n?N,(1 +a)n?1 +na.et démontrons que celle-ci est vraie par récurrence. ?Initialisation :Pourn= 0, (1 +a)0= 1 et 1 + 0×a= 1, donc (1 +a)0?1 + 0×a. ((P)0) est donc vraie et la propriété est initialisée. ?Hérédité :Supposons ((P)k) vraie pour un certain entierk >0, c"est-à-dire (1+a)k?1+kaet montrons que, sous cette hypothèse, ((P)k+1) est vraie aussi, c"est-à-dire (1+a)k+1?1+(k+1)a: (1 +a)k?1 +kaHypothèse ((P)k) (1 +a)(1 +a)k>(1 +a)(1 +ka) On multiplie par 1 +astrictement positif (1 +a)k+1?1 +ka+a+ka2 = 1 + (k+ 1)a+ka2 ?1 + (k+ 1)a((P)k+1)

3. En pratique, on aura souventn0= 0

3. Sous et seulement sous l"hypothèsePkvraie!!!

F.PUCCII. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

10Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

La proposition est héréditaire.

?La proposition ((P)n) est donc initialisée et héréditaire. D"après le principe de récurrence, on en

déduit qu"elle est vraie pour tout entiern: ?n?N,(1 +a)n?1 +na. 1 ExerciceLa suite (un)n?Nest définie par :?u0= 1 u n+1=⎷2 +un.

1/Démontrer que pour tout natureln, 0?un?2.

2/Prouver que la suite est strictement croissante.

ATTENTIONLes deux conditions de l"axiome (1) doivent être soigneusement vérifié. Deux exemples pour le prouver :

Exemple 1 (Hérédité seulement vérifiée):Soit la propriété suivante : ((P)n) :?n?N, 3 divise

2 n.

Si l"on suppose que 3 divise 2

nc"est-à-dire ((P)n) vraie alors il existe un entier naturelktel que : 2 n= 3k.

En multipliant par 2 : 2

n+1= 2×3k= 3(2k) et 3 divise donc 2n+1et ((P)n+1) est alors vérifiée.

Conclusion : la proposition est héréditaire mais comme ellen"est jamais initialisée, la proposition ne

peut être vraie. Heureusement car cette proposition est fausse! Elle l"est déjà pourn= 1 : 3 ne divise

pas 2!!!

Exemple 2 (Initialisation vérifiée jusqu"à un certain rang):Soit la propriété ((P)n) suivante :

?n?N,n2-n+ 41 est un nombre premier.

L"initialisation est vérifiée car pourn= 0 on obtient 41 qui un nombre premier. Cependant l"hérédité

n"est pas assurée bien que ((P)n) soit vraie jusqu"àn= 40 4. Pourtant, pourn= 41, on a : 412-41 + 41 = 412qui n"est pas un nombre premier. La propriété est donc fausse.

Conclusion : La véracité d"une proposition pour certaines valeurs au départ ne prouve pas la généralité!

IIComportement global

Avant de s"intéresser à ce qu"il va se passer " loin », il est toujours une bonne idée de chercher

à connaître le comportement global de la suite globalement et notamment voir s"il est possible de restreindre et simplifier l"étude ultérieure.

Intuitivement et en première approche, le comportement de la suite en +∞va tenir des variations

de la suite. On commence donc par rappeler quelques définitions de première.

II. COMPORTEMENT GLOBALF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence 11

II.1 Suites monotones

On dit qu"une suite (un)n?Nest :

?croissantesi?n?N, un?un+1. ?décroissantesi?n?N, un?un+1. ?constantesi?n?N, un=un+1. Une suite croissante ou décroissante est ditemonotone.

Définition 2

Attention, les suites peuvent être ni croissantes, ni décroissantes. Prenez par exemple,un= (-1)n,un=(-1)n n,?u 0= 1 u n+1= sin(un),un= tan(n), ... Comparez deux termes d"une suite reste toujours aussi difficile directement. On se ramène donc encore à comparer leur différence à 0 ou leur quotient à 1 :

Soit (un)n?Nune suite réelle.

?Siun+1-un?0 alors (un)n?Nest croissante. ?Si?n?N,un>0 etun+1un?1 alors (un)n?Nest croissante.

Méthode 2

2ExerciceÉtudier le sens de variation des suites suivantes :

1/un=n2-n+ 2.

2/vn=?2

3? n .3/ ?w0= 2 w n+1=wn-n

4/?α0= 1

n+1= (n2+ 1)αn5/ ?γ0= 2 n+1=-γ2n+γn

6/?n?N?,δn=2nn.

Soientfune fonction définie sur [0;+∞] et (un)n?Nla suite définie parun=f(n). ?Sifest croissante alors la suite (un)n?Nest croissante. ?Sifest décroissante alors la suite (un)n?Nest décroissante. Proposition 1(Suites définies explicitement par une fonction)

En gros, la suite a le même comportement que la fonction mais la réciproque est fausse, c"est-à-

dire que la fonction n"a pas nécessairement le même comportement que la suite.

F.PUCCIII. COMPORTEMENT GLOBAL

12Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence

Prenons par exemple, la fonctionf:x?-→

x+ sin(2πx) et la suite (un)n?Ndéfinie par u n=f(n). ??n?N,un=n+sin(2πn) =n5. La suite (un)n?Nest donc croissante. ?La fonction, représentée enrouge, n"est même pas monotone. u1= 1?u1u1 u2= 2?u2u2 u3= 3?u3u3 u4= 4?u4u4 u5= 5?u5u5

12345nu

n Cf

3ExerciceA l"aide des fonctions associées, déterminer le sens de variations des suites suivantes :

1/un=n2-10n+ 26.

2/vn=3n-1

n+ 2.3/wn=n2+ 1 2n.

4/xn= 2n3-30n2+ 54n.

Soientfune fonction définie sur une partie deRet (un)n?Nla suite définie par ?u 0 u n+1=f(un). Sifest croissante alors la suite (un)n?Nest monotone et son sens de variation dépend de l"ordre de ses premiers termes.

ROC(Suites définies par récurrence)

Globalement, l"idée vient de la définition d"une fonction croissante : "fest croissante ssi elle

conserve l"ordre ». Si, par exemple,u0> u1alorsf(u0)> f(u1), c"est-à-direu1> u2puisu2=f(u1)> u3=f(u2), ...un=f(un-1)> un+1=f(un), ...et ainsi de suite pour tous les termes de la suite. La suite est donc décroissante dans ce cas. Preuve:Cette démonstration se fait par récurrence.

Considérons une fonction quelconquefcroissante sur son intervalle de définition et (un)n?Nune suite

telle que ces deux premiers termes soient tels queu0?u1. On veut donc montrer que la suite (un)n?N est croissante. Posons donc la propriété ((P)n) :?n?N, un?un+1. Initialisation :D"après les données, on au0?u1et ((P)0) est réalisée.

Hérédité :Supposons que ((P)k) soit vraie pour un certain entierk >0 et montrons que ((P)k+1) est

vérifiée dans ce cas. u k?uk+1Hypothèse de récurrence ((P)k) f(uk)?f(uk+1)fest croissante donc conserve l"ordre? u k+1?uk+2Définition de la suite (un)n?N((P)k+1)

5. sin(0π) = sin(2π) = sin(3π) = sin(4π) =...= 0!

II. COMPORTEMENT GLOBALF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

récurrence 13

La propriété ((P)k+1) est donc vérifiée. On a prouvé l"hérédité de la propriété.

La propriété ((P)n), initialisée et héréditaire, est donc vraie pour toutn?N. La suite est croissante.

La démonstration est analogue pour une suite telle queu0?u1qu"on montrerait décroissante. 6

ATTENTION

?Ce théorème ne dit absolument rien si la fonctionfest décroissante. ?Ce n"est qu"une implication. On pourrait très bien avoir unesuite définie par récurrence par la relationun+1=f(un) qui soit croissante sans quefne le soit.

Considérez par exemple, la fonction définie

parf(x) =x+ cos(2πx) et ?u 0= 1, u n+1=f(un) =un+ cos(2πun).

Un rapide raisonnement par récurrence

montrerait queun=n+ 1,?n?Ndonc (un)n?Nest croissante et pourtant,fne l"est pas le moins du monde. ?u0u0 ?u1u1 ?u2u2 ?u3u3 ?u4u4 ?u5u5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 nu n Cf 4 ExerciceSoit (un)n?Nla suite définie paru0= 1 et, pour tout entiern,un+1=14un+ 3.

[PDF] Cours de MATHÉMATIQUES - Wallis and Futuna

Devoir Maison de Géométrie Di érentielle

Devoir Maison de Géométrie Di érentielle - mathensfr

Devoir Maison de mathématiques – type brevet

Devoir maison de Mathématiques 3

Date : Devoir maison n°3 6ème Date : Devoir maison n°3 6

DM n°2 - Géométrie vectorielle

Devoir surveillé n°1 – Corrigé 3 - 2017

Wallis et Futuna

Cours de

MATHÉMATIQUES

Classe de Terminale S

Enseignement obligatoire

Année 2015

Table des matières

1 Suites - Raisonnement par

2 Droites et Plans de l"espace49

3 Limites69

4 Probabilités Conditionnelles - Lois discrètes97

5 Continuité111

6 Dérivation121

7 L"exponentielle139

8 Géométrie vectorielle159

9 Fonctions Logarithmes187

10 Produit scalaire dans l"espace et Applications215

Bac Blanc 1244

11 Calcul Intégral251

12 Lois Continues273

13 Les Nombres Complexes I293

6Chapitre 0:

14 Loi normale313

15 Nombres Complexes II337

16 Fluctuation d"échantillonnage - Estimation353

17 Bac 2015 obligatoire371

Bac Blanc 2407

F.PUCCI

Chapitre

Suites - Raisonnement par

Sommaire

8Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

IDémonstration par récurrence

I.1 Un exemple pour susciter l"intérêt

Soit la suite (un)n?Ndéfinie par :?u

1= 2u0+ 1 = 1 (21-1)

2= 2u1+ 1 = 3 (22-1)

3= 2u2+ 1 = 7 (23-1)

4= 2u3+ 1 = 15 (24-1)

5= 2u4+ 1 = 31 (25-1)

Alors, on aurait :

1. En gros et comme toujours : " Affirmer n"est pas démontrer ».

I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCEF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

I.2 Démonstration par récurrence

Soit une propriété ((P)n) définie surN.

Définition 1(Axiome de récurrence)

Méthode 1(Démonstration par récurrence)

Soit un réelastrictement positif. On a alors :

ROC(Inégalité de Bernoulli)

3. En pratique, on aura souventn0= 0

3. Sous et seulement sous l"hypothèsePkvraie!!!

F.PUCCII. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

10Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

La proposition est héréditaire.

1/Démontrer que pour tout natureln, 0?un?2.

2/Prouver que la suite est strictement croissante.

Si l"on suppose que 3 divise 2

En multipliant par 2 : 2

IIComportement global

II. COMPORTEMENT GLOBALF.PUCCI

Chapitre 1:Suites - Raisonnement par

II.1 Suites monotones

On dit qu"une suite (un)n?Nest :

Définition 2

Soit (un)n?Nune suite réelle.

Méthode 2

2ExerciceÉtudier le sens de variation des suites suivantes :

1/un=n2-n+ 2.

2/vn=?2

4/?α0= 1

6/?n?N?,δn=2nn.