Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe doc 1/5 Bernard Auge – Alexandre Vernhet Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe 1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule
Méthode du simplexe - Université Laval
Méthode du simplexe Introduction, définitions et notations préliminaires, théorèmes fondamentaux, algorithme (primal) du simplexe, détermination de toutes les solutions optimales et des solutions réalisables "proches" de l'optimum, interprétation géométrique de la méthode du simplexe, solution de base réalisable initiale, convergence et
Programmation linéaire - African Virtual University
programmation linéaire et de savoir interpréter la solution qui en résulte Expliquer ce qu’est la dualité et décrire son rôle dans la recherche de solutions de problèmes de programmation linéaire Expliquer les buts d’une analyse de sensibilité pour une solution donnée à un problème de programmation linéaire
1 Méthode du simplexe et son analyse
Méthode du simplexe – forme algébrique • Les contraintes constituent un système de 3 équations comportant 5 variables Exprimons 3 des variables en fonction des 2 autres: u = 30 – 5x – 3y p = 24 – 2x – 3y h = 18 – 1x – 3y z = 0 – 8x – 6y • En fixant x et y nous retrouvons les valeurs des autres variables
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
6 CHAPITRE 3 MÉTHODE DU SIMPLEXE Onobservequeladernièrelignes’écrit 1=3 x 1 2=3 x 4 z = 2 ()z = 2+1=3 x 1 2=3 x 4: Etantdonnéquelesvariablehors-basevérifiex 1 = x 4 = 0,onaquez = 2 quiestla
Optimisation linéaire - EPFL
simplexe Une itération de la méthode du simplexe : 1 Soit une base B=[A B(1), ,A B(m)] et x une solution de base admissible associée à B 2 Calculer les coûts réduits pour chaque indice j hors base: cj = c j - cTB B-1 Aj S’ils sont tous non négatifs, la solution courante est optimale STOP Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 34
Chapitre I : Programmation linéaire
La renommée de la programmation linéaire remonte en effet aux années cinquante quand G B Dantzig découvrit lalgorithme du simplexe, principal outil de résolution des programmes linéaires Limportance de la programmation linéaire est liée aux facteurs suivants :
Programmation linéaire
la programmation linéaire Nous étudierons 3 méthodes pour résoudre les différents types de problèmes de programmation linéaire; la première est basée sur une résolution graphique, elle est donc limitée à 2 ou 3 variables La deuxième méthode est plus algébrique et elle justifiera la troisième qui porte le nom de
1 Programmation linéaire - Bernard Desgraupes
1 Programmation linéaire Corrigé ex 1 : Méthode du simplexe Programme 1 8 >> >> >> < >> >> >>: Max(x 1 + 2x 2) x 1 + 3 2 21 x 1 + 3x 2 18 x 1 2 5 x 1 et x 2 0 On introduit des variables d’écart, ce qui conduit aux équations suivantes pour les contraintes du problème : 8 >< >: x 1 + 3 2 + 3 = 21 x 1 + 3x 2 + x 4 = 18 x 1 x 2 + x 5 = 5
Simplexe forme Tableau Exercice corrigés x 2 x - x
Simplexe forme Tableau Exercice corrigés Exercice N° 1 : Soit le problème de Programmation linéaire suivant : Max Z = 3x1 + 2x2 x1 + 2x2
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Chapitre 3
Méthode du simplexe
Comme toujours, on suppose queAune matrice de formatmnetb2Rm. On notera les colonnes deApar[a1;a2;:::;an]. Aussi, on fera l"hypothèse que le rang de la matriceAestégal à m.
Selon le chapitre précédent, nous savons que la solution optimale du problème d"optimisation
linéairemaxz=ctx; Ax=b; x0:(3.1) se trouve en un sommet de l"ensemble convexe des solutions admissiblesK=fx0jAx= bg. De plus, nous savons que les sommets sont étroitement reliés aux solutions de base admis- sibles. Concrètement, cela signifie que si on choisit une liste de m variables dites de base B=fxj1;xj2;:::;xjmgassociées à des colonnesfaj1;aj2;:::;ajmgqui forment une base de l"espace-colonne, on peut calculer l"unique solution de bases du système Ax B=b en imposant que les variables hors-basexi= 0pour tous lesi6=j1;j2;:::;jm. SixB0, lasolution est admissible et sera appellée solution de base admissible ou réalisable. D"après le
chapitre précédent, la solution de basexBcorrespond à un sommet deK. Par conséquent, il suffit de calculer tous les sommets deKpour trouver la solution optimale.Mais le nombre de sommets est de l"ordre
n!m!(nm)!ce qui est beaucoup trop pour desnetm relativement grands. Le principe de la méthode du simplexe est d"éviter de calculer tous les sommets. A partir d"un sommet donné, la méthode calculera une suite de sommets adjacents l"un par rapport au précédent et qui améliore la fonction objective.3.1 Solutions de base adjacentes
Définition
3.1.1 Deux sommetsxetysont dits adjacents si les variables de base ne
diffèrent que d"un seul élément. 12CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
Reprenons le problème modèle du premier chapitre écrit sous la forme canonique maxz= 5x1+ 4x2 x1+x3= 6
x1=4 +x2+x4= 6
3x1+ 2x2+x5= 22
x1;x2;x3;x4;x50
Le sommetx= (4;5;2;0;0)correspond aux variables de basefx1;x2;x3g. De même, le sommety= (6;2;0;2:5;0)est associé aux variables de basefx1;x2;x4g. Les deux sommets sont adjacents ce qui est conforme au graphique de l"ensembleKprojeté dansR2.Le système s"écrit
2 6641 0 1 0 0
1=4 1 0 1 0
3 2 0 0 13
7 7526 6664x
1 x 2 x 3 x 4 x 53
7
7775=2
6 6466 223
7 75
Pour calculer la solution de base(4;5;2;0;0), il suffit d"extraire les 3 colonnes de la matriceA
et de résoudre le système carré par la méthode d"élimination de Gauss. Toutefois, lorsque que
l"on voudra calculer la nouvelle solution de base(6;2;0;2:5;0), il faudra recommencer l"éli- mination de Gauss avec les nouvelles colonnes de base. Il est plus avantageux de poursuivre élimination de Gauss à partir du premier calcul.Voici un exemple de calcul.
a)En premier, on forme la matrice augmen tée
2 6641 0 1 0 0 6
1=4 1 0 1 0 6
3 2 0 0 1 223
7 75b) On applique l"élimination de Gauss-Jordan p ourles v ariablesde base fx1;x2;x3g. 2 6
641 0 04=5 2=5 4
0 1 0 6=51=10 5
0 0 1 4=52=5 23
7 75Donc x
1= 4 + 4=5x42=5x5
x2= 56=5x4+ 1=10x5
x3= 24=5x4+ 2=5x5
En posant les variables hors-basesx4=x5= 0, on obtient bien la solution de base x= (4;5;2;0;0).3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II3
c) Main tenant,on désire calculer la solution de base adjacen tel iéesaux v ariablesd ebase fx1;x2;x4g. Pour cela, on poursuit l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivot a 3;42 6641 0 1 0 0 6
0 13=2 0 1=2 2
0 0 5=4 11=2 5=23
7 75:Donc x
1= 6x3
x2= 2 + 3=2x31=2x5
x4= 5=25=4x3+ 1=2x5
En posant les variables hors-basesx3=x5= 0, on obtient bien la solution de base y= (6;2;0;2:5;0). d) P oursuivonsà u nautre sommet adjacen tz= (6;0;0;4:5;4)dont les variables de base sontfx1;x4;x5g. Ce sommet est adjacent àymais pas àx. Poursuivons l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota2;5 2 6641 0 1 0 0 6
0 23 0 1 4
0 11=4 1 0 9=23
7 75:On obtient les relations
x1= 6x3
x5= 42x2+ 3x3
x4= 9=2x2+ 1=4x3
En posant les variables hors-basesx2=x3= 0, on obtient bien la solution de base z= (6;0;0;4:5;4). L"opération décrite ci-dessus est aussi connue sous le nom de pivotement. Cette stratégie sera à la base de la méthode du simplexe.3.2 Méthode du simplexe : Phase II
Dans cette section, nous allons présenter la Phase II de la méthode du simplexe. La PhaseI qui sert plus à initialiser la Phase II, sera aborder plus tard. Cette phase s"applique à des
problèmes du type maxz=ptx; Cxb; x0:ouminz=ptx; Cxb; x0:(3.2)4CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
oùCest une matrice de formatmn. On fera l"hypothèse queb0. Cette supposition est cruciale pour la Phase II. Ceci garantie que02K=fx0jCxbg. De plus, nous savons que le point0est un sommet. Ce point servira de point de départ de l"algorithme du simplexe. En gros, l"algorithme va pivoter autour de ce point pour trouver un meilleur sommet. On poursuit l"algorithme jusqu"à l"obtention de la solution optimale.La méthode débute avec la forme canonique du problème (3.2) que l"on écrira sous la forme
maxz=ctx; Ax=b; x0:(3.3) Attention, nous avons inclus les variables d"écart dans la liste des variables, i.e.x2Rm+n.La matriceAetcsont données par
A= [C I]c=p
0L"idée de base de la méthode du simplexe consiste à appliquer l"élimination de Gauss-Jordan
à partir du système augmenté obtenu en ajoutant au systèmeAx=bla relation linéaire z=ctxAx=b; c txz= 0 Ce système peut s"écrire sous la forme matricielle A0 c t1 x z =b 0Nous allons illustrer la méthode sur l"exemple
maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x22; x1+ 3x23;
x1;x20:
Au préalable, on écrit le problème sous la forme canonique maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x2+x3= 2; x1+ 3x2+x4= 3;
x1;x2;x3;x40:
Voici les étapes de la méthode du simplexe.
3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II5
0.I nitialisation
On choisit la solution de base admissible(0;0;2;3)comme point de départ de l"algo- rithme. Les variables de base sontfx3;x4get les variables hors-base sontfx1;x2g. Ce choix est toujours possible sib0.On forme le tableau initialT.
2 6642 1 1 0 0 2
1 3 0 1 0 3
1 2 0 01 03
7 751.
Choix de la colonne de piv ot
On doit aller vers un sommet adjacent pour lequel la valeur de la fonction objectivez en ce sommet est supérieure. Pour cela, on choisira la variablexiqui fera augmenter le plus rapidementz. C"est-à-dire que l"on choisit l"indiceiqui maximise@z@x i=ci>0. Dans notre cas, la fonctionzvarie plus rapidement en fonction de la variablex2. Donc, on choisit la deuxième colonne comme colonne de pivot. La variablex2entre dans la base mais une variable doit sortir. Remarque 3.2.1Si tous lesci0, la fonction objectivezne peut augmenter davantage. Donc nous avons trouver la solution optimale et l"algorithme se termine à cette étape. 2.Choix de la lign ede piv ot
Quels sont les sommets adjacents de disponible et ayant la variablex2? Il y a 2 possibilités :fx2;x3getfx2;x4g. Essayons le choixfx2;x4g. Donc,x3quitte la base. La solution de base s"obtient à l"aide de l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota12. On obtient : 2 6642 1 1 0 0 2
5 03 1 03
3 02 0143
7 75et la nouvelle solution de base sera(0;2;0;3)qui n"est pas admissible! Essayons de nouveau avecfx2;x3g. Donc,x4quitte la base. La solution de base s"obtient à l"aide de l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota22. On obtient : 2 6
645=3 0 11=3 0 1
1=3 1 0 1=3 0 1
1=3 0 02=3123
7 75et la nouvelle solution de base serax= (0;1;1;0)qui est admissible.
6CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
On observe que la dernière ligne s"écrit
1=3x12=3x4z=2()z= 2 + 1=3x12=3x4:
Etant donné que les variable hors-base vérifiex1=x4= 0, on a quez= 2qui est la valeur de la fonction objective au sommetx= (0;1;1;0). 3.On retourne à l"étap e1.
La dernière ligne du tableau~cxz=2fournie toujours la valeur dez= ~cx+ 2.Même si les coefficients decont été modifiés, le principe de base de l"étape 1 s"applique.
C"est-à-dire que l"on choisit l"indiceiqui maximise@z@x i= ~ci>0. Dans notre cas, la fonctionzvarie plus rapidement en fonction de la variablex1. Donc, on choisit la première colonne comme colonne de pivot. La variablex1entre dans la base et une variable doit sortir. 4.On retourne à l"étap e2.
Les sommets adjacents (ayant la variablex1de commun) sontfx1;x2getfx1;x3g.Essayons avecfx1;x3g. On obtient :
2 66405 12 04
1 3 0 1 0 3
01 01133
7 75et la nouvelle solution de base sera(3;2;4;0)qui n"est pas admissible! Essayons l"autre possibilité avecfx1;x2g. On obtient :2 6
641 0 3=51=5 0 3=5
0 11=5 2=5 0 4=5
0 01=53=51115
3 7 75et la nouvelle solution de base sera(3=5;4=5;0;0)qui est admissible! 5.
On retourne à l"étap e1.
Dans ce cas, la solution sera optimale car les coefficients (pourx1àx4)de la dernière ligne sont tous négatifs ou nuls. On ne peut améliorer la solution en visitant d"autres sommets adjacents. La valeur dezest celle donnée au coin inférieure droit :z= 11=5 car il faut en changer le signe selon la relation~cxz=11=5. Remarque 3.2.2En premier lieu, on observe que l"avant dernière colonne est toujours inchangé. Cela est logique car cette colonne n"est jamais choisie comme colonne de pivot.Son rôle est de fournir la valeur dez. Par conséquent, il est inutile d"écrire cette colonne.
Deuxièmement, il est évident que nous ne pouvons nous permettre d"explorer toutes lespossibilités pour le choix de la ligne de pivot à l"étape 2. Nous avons besoin d"un critère de
sélection.Voici les étapes de la méthode du simplexe. Afin de ne pas nuire à la lisibilité du texte, nous
avons convenu de ne pas changer de notation pour la matriceAet des vecteursbetcen cours d"itération du simplexe. On notera parBle choix de la base à chaque étape du simplexe.