Généralités sur les probabilités

Christian CYRILLE

29 août 2016

1 Un brin d"histoire

Le mot HASARD (12ème siècle) vient du mot arabe az-zahr qui veut dire jeu de dés.Un "hasart"

représentait le nombre 6 obtenu à partir du jet d"un dé.

ALEA vient du latin alea : coup de dés. "Alea jacta est : le sort en est jeté " dixit Jules César

d"après Suétone quand il a franchi le Rubicon pour s"emparer du pouvoir à Rome. CHANCE vient du latin caderer qui veut dire choir , chuter (chute des dés). RANDOM veut dire hasard

en anglais. En créole, DE se dit "zo" (os en français) car les 1ers dés étaient faits en os

La théorie des probabilités s"est initialement développée au début du 15è siècle , sur la base de

l"expérience et de raisonnements intuitifs, appliqués la plupart du temps , à l"analyse de chances

dans les jeux de dés ou les pile ou face. Les fondations mathématiques proprement dites sont nettement plus modernes. La formalisation de la théorie des probabilités sous une forme axio-

matique va être mise au point par un des mathématiciens les plus importants du XXème siècle

Andreï KOLMOGOROV(1903-1987) dans un article en allemand de 1933, Grundbegriffe der

Warscheinligkeitsrechnung, (Les fondements du calcul des probabilités). Il développe notable-mentcettemêmethéorie,s"intéressantenparticulierauxprocessusdeMarkov(nommésd"après

Andreï Markov, 1856-1922).

Kolmogorov définit une probabilité dans un ensemble au moyen d"axiomes simples mais fai-

sant usage des concepts récents de l"époque : théorie de la mesure et tribus (définies par Borel),

calcul intégral au sens de Lebesgue (intervenant par exemple dans le calcul des espérance ma-

thématique et variance d"une variable aléatoire. Avec Kolmogorov, le calcul des probabilités,

jusqu"ici basé sur des concepts intuitifs, devient une branche rigoureuse des mathématiques. 1

2 Langage probabiliste

DéfinitionsExemples

Lorsqu"on lance un dé, une pièce, ...On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 on effectue ce que l"on appelleOn s"intéresse au numéro porté par la face supérieure. une expérience aléatoire.

L"ensemble des résultats possibles

ou l"ensemble des éventualitésW=f;;;;;gou l"ensemble des issues

ou l"univers est notéW.Un événémentAest une partieOn considère les événements suivant

ou un sous ensemble de l"universW.définis en compréhension :

AWA : "obtenir un nombre pair"

Un événément élémentaire est un événementB : "obtenir un nombre multiple de 3" qui ne contient qu"une seule éventualité.C : "obtenir le nombre 2" C"est un singleton d"un élément deW.D :"obtenir un nombre multiple de 6" L"universWest appelé l"événement certain.Définissons ces ensembles en extension :

L"ensemble videAEA=f;;gest appelé l"événement impossible.B=f;gC=fgD=fgL"événement contraire deAA: ".............................................."est la partie complémentaireA:f;;gOn le noteA

L"événementA\BA\B=fgest réalisé quand

AetBle sont simultanémentL"événementA[BA[B=f;gest réalisé quand AouBl"estDeux évenements sont dits incompatiblesDonner 2 événements incompatibles ou disjointspris parmiA,BetClorsqueA\B=AE2

3 Système complet d"événements

3.1 Définition

SoitIun ensemble d"indices inclus dansN, (Ipourra êtreN,Nou une partie deN,) On appelle système complet d"événements deW, toute famille(Ei)i2I,finie ou dénombrable de sous-ensembles deW, vérifiant les 3 propriétés suivantes :

1.8i2Il"on a :Ei6=AE

2. les Eisont disjoints 2 à 2 c"est-à-dire que8i2I,8j2Ieti6=jalorsEi\Ej=AE 3.

La réunion de tous les EiestWc"est-à-dire[

i2IE i=W. On dit encore que(Ei)i2Iest une partition deW3.2 Propriétés 1.

La famille constituée de tous les événements élémentair esde West un système complet

d"événements deW 2. Si (Ei)i2Iest un système complet d"événements deW, alors

8BWl"on a :B=B\W=B\([

i2IE i) =[ i2I(B\Ei)3.3 Tribu ous-algèbre d"événements

3.3.1 définition

SoitWun ensemble fini.On appelle tribu de parties deW, tout sous-ensembleBdeP(W)qui vérifie les 3 propriétés suivantes :

1.P1:B 6=AE

2.P2:8A2 B, ,8B2 B, on a :A[B2 B(stabilité deBpour l"union )

3.P3:8A2 Bl"on a :A2 B(stabilité deBpour la complémentation)

3.3.2 Exemples

Exemple 1 :

B=P(W)est une tribu de parties deWDémonstration :

P1est vrai puisqueP(W)6=AEcarW2 P(W)

P2est vrai car8A2 P(W),8B2 P(W)l"on a :A[B2 P(W)

P3est vrai car8A2 P(W), l"on aA2 P(W)

Exemple 2 :

B=fW;AEgest une tribu de parties deWDémonstration :

P1est vrai carB 6=AE

P2est vrai carW[W=W2B;W[AE=W2B;AE[W=W2B;AE[AE=AE2B

P3est vrai carAE=W2B;W=AE2B

Exemple 3 :

SiAWalorsB=fW;A;A;AEgest une tribu de parties deW.

On dit que c"estla tribu engendrée parA

3.3.3 Propriétés d"une tribu

Théorème 1 :

Quel que soit la tribuB, on aW2 BDémonstration :

CommeBest une tribu alorsB 6=AEd"aprèsP1doncBa au moins un élémentAmais alorsA2 Bd"aprèsP3. On en déduit d"aprèsP2que :A[A2 Bc"est-à-direW2 B.CQFD

Théorème 2 :

Quel que soit la tribuB, on aAE2 BDémonstration : CommeBest une tribu alors d"après le théorème 1 on aW2 Bdonc d"aprèsP3on a =W2 B doncAE2 BCQFD

Théorème 3 :

Quel que soit la tribuB, on a8A2 B, ,8B2 B,A\B2 BDémonstration : CommeBest une tribu alors siA2 BetB2 BalorsA2 BetB2 Bd"après P3. DoncA[B2 Bd"après P2, donc son complémentaireA[B2 Bd"aprèsP3, donc à nouveau en complémentant on a :A\B2 Bd"aprèsP3. CQFD

3.4 Définition d"une loi de probabilité

Dorénavant dans ce cours,

la tribuButilisée seraP(W). Ws"appellera l"univers ou l"ensemble des issues ou l"ensemble des résultats possibles ou l"ensemble des éventualités.

Une partieAdeWs"appellera un événement.

La réunion de deux èvènements est un èvènement. As"appelle l"événement contraire de l"événementA.

Ws"appelle aussi l"événement certain.

AEs"appelle l"événement impossible.

Le couple(W,P(W))s"appelle un espace probabilisable.On appelle loi de probabilitéPsur un espace probabilisable(W,P(W))toute application

P:P(W):!R

A7!P(A)

vérifiant les 3 propriétés suivantes : 1.

Pr op1 : 8A2 P(W)P(A)0

Pr op2 : P(W) =1

Pr op3 : (axiome des pr obabilitéstotales)

8A2 P(W)8B2 P(W)tel queA\B=AEalorsP(A[B) =P(A) +P(B)

On dit alors que le triplet(W,P(W),P)est un espace probabilisé.

4 Exemples de lois de probabilité

4.1 Exemple 1SoitWfini ( on noteraCard(W) =n) Soit

P:P(W)!R

A7!P(A) =å

w i2AP(fwig) En faitP(A) =la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dans A.

AlorsPest une loi de probabilité sur(W,P(W)).

Démonstration :

1. Pour tout A,P(A)étant une somme de probabilités d"événements élémentaires donc une somme de nombres compris entre 0 et 1 donc est un réel positif

2.P(W)= la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dansW=1

3. Pour tous événements AetBdisjoints,P(A[B) =P(A) +P(B). en effet,P(A[B)= la somme des probabilités des événements élémentaires contenus dansA[B= la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dansA+ la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dansB=P(A) +P(B)

4.2 Exemple 2

Dans le cas où tous les événements élémentaires sont équiprobables c"est-à-dire que8i2[j1;nj

]P(fwig) =1n la loi de probabilité précédente se simplifie car

P(A) =å

w i2AP(fwig) =1n +1n ++1n =Card(A)Card(W)=Nombre de cas favorables à ANombre de cas possibles

On dit

alors quePest la loi de probabilité uniforme discrète surW 5

4.3 Exemple 3

Soit un espace probabilisé(W,P(W),P).

SoitAun événement deprobabilité non nulle.

Alors l"application suivante notée

A:P(W)!R

B!PA(B) =P(A\B)P(A)

est une loi de probabilité sur(W,P(W)) Notation :PA(B)s"écrit aussiP(B/A)et se lit "Probabilité deBsachant queAest réalisé".

Démonstration :

Pour tout B2 P(W),PA(B)est un réel positif.

2.PA(W) =P(A\W)P(A)=P(A)P(A)=1

3. Pour tous événements BetB0disjoints,PA(B[B0) =PA(B) +PA(B0) eneffet,PA(B[B0) =P(A\(B[B0))P(A)=P((A\B)[(A\B0))P(A)=P(A\B) +P(A\B0)P(A) car(A\B)\(A\B0) =A\(B\B0) =A\AE=AE d"oùPA(B[B0) =P(A\B)P(A)+P(A\B0)P(A)=PA(B) +PA(B0)

5 Propriétés d"une loi de probabilité

5.1 Propriété8A2 P(W)P(A)0

5.2 PropriétéP(W) =1

5.3 Propriété8A2 P(W)8B2 P(W)siA\B=AEalorsP(A[B) =P(A) +P(B)

5.4 Propriété8A2 P(W)P(A) =1P(A)

Démonstration :

1=P(W) =P(A[A) =P(A) +P(A)carA\A=AE.

Par conséquent,P(A) =1P(A)

5.5 Propriété

P(AE) =0

5.6 Propriété8A2 P(W)8B2 P(W)siABalorsP(A)P(B)

B=A[(BA)OrA\(BA) =AEdoncP(B) =P(A[(BA)) =P(A) +P((BA). Or

P(BA)0 doncP(B)P(A)

5.7 Propriété8A2 P(W)0P(A)1

5.8 Propriété8A2 P(W)8B2 P(W)P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)

5.9 Formule d"Henri POINCARE, mathématicien français ,Nancy 1854-Paris

19121.P(A1[A2[A3) =P(A1) +P(A2) +P(A3)P(A1\A2)P(A1\A3)P(A2\

3) +P(A1\A2\A3)

2. n= 4 P(A1[A2[A3[A4) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)P(A1\A2)P(A1\ A

3)P(A1\A4)P(A2\A3)P(A2\A4)P(A3\A4) +P(A1\A2\A3) +

P(A1\A2\A4) +P(A1\A3\A4) +P(A2\A3\A4)P(A1\A2\A3\A4)

5.10 Systèmes complets d"événements

On appelle système complet d"événements deW, toute partition finie ou dénombrable deW

c"est-à-dire toute famille finie ou dénombrable d"événements(Ei)vérifiant les 3 conditions sui-

vantes :

8i2I Ei6=AE

8i2I8j2I i6=j Ei\Ej=AE

i2IE i=W AlorspourtoutévénementB,onaP(B) =P(B\W) =P(B\([Ei)) =P([(B\Ei)) =å i2IP(B\Ei) car les(B\Ei)sont disjoints 2 à 2 car lesEile sont.

5.11 Suite croissante et suite décroissante d"événements

1. Si les Aiforment une suite croissante d"événements (A0A1A2 An1 A n )

AlorsP([Ai) =limi7!+¥P(Ai)

2.Si les Aiforment une suite décroissante d"événements (A0A1A2 An1

A n )

AlorsP(\Ai) =limi7!+¥P(Ai)

6 Exercices

Quelques conseils pour réussir à résoudre un exercice de probabilités1.Illustr erla situation aléatoir epar un schéma, un tableau, un arbr e,un diagramme de

Venn, un axe par exemple lors d"épreuves répétées. 2.

Définir l"univers W, son cardinalcard(W), l"équiprobabilité ou non des événements élé-

mentaires 3. Dans le cas de variable aléatoir ediscrète X, définirXl"univers -image même si on n"arrive pas à définirW 4. Pour calculer la pr obabilitéd"un événement A, décrire cet événement comme union, intersection ou complémentaire :

Dans le cas d"une réunion d"événements :

si A=B[CoùB\C6=AEalors

Pr(A) =Pr(B[C) =Pr(B) +Pr(C)Pr(B\C)

si A=B[CoùB\C=AE(BetCdisjoints ou incompatibles ) alors

Pr(A) =Pr(B[C) =Pr(B) +Pr(C)

Dans le cas d"une intersection d"événements, penser à conditionner N"oubliez pas que dans le cas où Pr(B)6=0 etPr(C)6=0 alors

Pr(B\C) =Pr(B/C)Pr(C) =Pr(C/B)Pr(B)

si BetCsont indépendants alors Pr(B/C) =Pr(B)etPr(C) =Pr(C/B)doncPr(B\C) =Pr(B)Pr(C) Soient névénements(n2),A1,A2,,Antels queP(SAi)6=0 alorsP(TAi) =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1\A2)P(An/A1\A2\A3\ \ A n1) de cas à traiter et lorsque l"événement contraire comporte peu de cas) alorsPr(A) =

1Pr(B)

Dans le cas de pr obabilitésconditionnelles, bien r epérerles systèmes complets d"évé-

nements. Utiliser un système complet d"événements pour obtenir une relation de ré- currence entre les probabilités d"événements dépendant d"un indice en se servant de la formule des probabilités totales. 6.

Quelques formules et astuces

nå k=1k=n(n+1)2 ;nå k=1k2=n(n+1)(2n+1)6 ;nå k=1k3=n2(n+1)24 nå k=0 n k =2n;nå k=0kn k =n2n1

Les formules de Vandermonde :

si N=N1+N2alorsN n =nå k=0 N1 k N2 nk 9 2n n =nå k=0(n k 2

Les 3 formules de Pascal :

-n k =n1 k1 +n1 k n k =nk n1 k1

Soit n2NSoitp2[j0;nj]alors l"on a :

nåquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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