THALES - académie de Caen

Démontrer le théorème du cosinus à l’aide des exercices 12 2 2) et 12 3 3) 17 2 Théorème de l’aire L’aire d’un triangle est égale au demi-produit de deux de ses côtés par le sinus de l’angle qu’ils comprennent : A = 1 2 ab sin(γ)= 1 2 ac sin(β)= 1 2 bc sin(α) Démontrer le théorème de l’aire grâce à l’exercice 13 9

cours de mathématiques en première

Ill-Aire d'un triangle L 'aire d'un triangle ABC est égale : — b c sin A a c sin = L 2 -Exemple Calculer Faire du triangle ABC tel que : AB 10 cm b c sin A =—x 10 x 5 x sin 600 21 65 IV-Activités d' examen 1- les angles d'un triangle ABC tel que : cm 60 0 2- On considère le diagramme des forces appliquées à un solide en équilibre :

Triangles particuliers Théorème de Pythagore

métrie du triangle ABC • la longueur d’une hauteur est égal à : h = √ 3 2 a Remarque : Pour démontrer la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral penser au théorème de Pythagore 2 3 Le triangle rectangle Définition 4 : Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si : (AB)⊥ (AC)

THALES - académie de Caen

DEMONSTRATION D'EUCLIDE PAR LA METHODE DES AIRES Remarque préliminaire 1: L'aire d'un triangle est égale à 2 b h A u ( où b représente la mesure de la base et h celle de la hauteur associée à cette base ) Propriété : L'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des sommets se “déplace“ parallèlement à son côté opposé

Géométrie du triangle

Proposition 1 : La somme des angles d’un triangle est égale à π Preuve : Mener de A la parallèle à la droite (BC), et réfléchir une seconde Proposition 2 : L’aire d’un triangle est le demi-produit de la base par la hauteur Preuve : Elle découle des trois figures suivantes :

Le théorème de Pythagore - Les maths avec Mme Young

Dessine un triangle rectangle dans chaque dessin: Si on peut trouver un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver les côtés inconnus L'aire d'un carré: _____ L'aire d'un triangle: _____ Alors, pour trouver l'aire d'un triangle, il faut d'abord trouver la _____ et la

Théorème de Pythagore CORRIGE

Le triangle AHB est rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : 2 2 2 2 2 2 2 2 3,6 3,9 15,21 12,96 2,25 2,25 1,5 AH BH AB BH BH BH BH cm L’aire d’un triangle est : 2 base hauteur Aire 2 2 (1,5 4,8) 3,6 2 11,34 ABC BC AH Aire cm Exercice 3 : Le triangle ABC a pour hauteur AH, AB AC CH29 , 35 , 28 Calculer AH et BH Calculer l

THEOREME DE THALES

Le diamètre d’un cercle coupe ce même cercle en deux parties de même aire Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure Si un triangle est inscrit dans un cercle tel que l’un de ses côtés soit le diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de la même mesure A B C

Triangles et parallélogrammes

2 Parallélogramme inclus dans un triangle Théorème 4 Tout parallélogramme est inclus dans un triangle d’aire double Tout triangle contient un parallélogramme d’aire moitié Comme pour le théorème 1, une figure suffit à suggérer la démonstration (la figure 5a prouve l’existen e d’une solution,

Evaluation sur le théorème de Pythagore

2) Construis un arré d’aire 61 m² sans onnaître la longueur de son ôté (2 points) 1) 5²+6²=61 2) On sait que dans un triangle ABC rectangle en A avec AB=5 cm et AC=6 cm, on pourra calculer avec le théorème de Pythagore que BC= cm En traçant le carré de côté de longueur BC, on obtient un arré d’aire ²=61 7

Rappel du théorème de Thalès :

Soit ABC un triangle.

Soit M un point de (AB) et soit N un point de (AC).

Si les droites ( MN) et (BC) sont parallèles,

alors ) BC

MN ( AC

AN AB

AM X DEMONSTRATION D'EUCLIDE PAR LA METHODE DES AIRES

Remarque préliminaire 1:

L'aire d'un triangle est égale à

2 h b A ( où b représente la mesure de la base et h celle de la hauteur associée à cette base )

Propriété :

L'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des VRPPHPV VH ´GpSOMŃH´ SMUMOOqOHPHQP j VRQ côté opposé. ( Même base et même hauteur )

THEME :

THALES DEMONSTRATIONS

b b b h

Remarque préliminaire 2 :

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle et soit M un point du

segment [BC].

Montrer que le rapport des aires des

triangles ABM et ACM est égal au rapport des longueurs BM et CM

F·HVP j GLUH PRQPUHU TXH :

CM BM ACM ABMA A avec ABMA

O·MLUH GX PULMQJOH $%0 HP

ACMA

O·MLUH GX PULMQJOH $F0

L'aire du triangle ABM est égale à :

2 h BM

L'aire du triangle ACM est égale à :

2 h CM Par conséquent , le rapport des aires de ces deux triangles est égal à : ACM ABMA ACM

BM h CM 2

2 h BM h CM

2 2 h BM 2 h CM 2 h BM uu uu uuu u u

Et donc :

CM BM ACM ABMA A Donc , le rapport des aires des deux triangles est égal au rapport des longueurs de leurs bases . Remarque : En utilisant une démonstration analogue, nous avons de même : BC BM ABC ABMA A

Démonstration du théorème de Thalès

par Euclide :

Les deux droites (MN) et BC) sont parallèles .

Considérons les triangles BMN et CMN.

Ces deux triangles ont la même base [MN] et la même hauteur , donc ils ont même aire .

( le sommet B et le sommet C sont sur une parallèle à la base - cf. propriété ci-dessus )

Considérons maintenant les triangles BAN et CAM Nous avons , en écrivant, par exemple, A BAN l'aire du triangle BAN :

A BAN = A AMN + A BMN

et A CAN = A AMN + A CMN Mais nous avons démontré ci-dessus que les deux triangles BMN et CMN ont la même aire. Donc , comme A BMN = A CMN, nous pouvons écrire :

A BAN = A CAN

Les deux triangles BAN et CAM ont la même aire. Considérons les deux triangles AMC et ABC. Ces deux PULMQJOHV RQP OM PrPH OMXPHXU Ń·HVP OM GLVPMnce du point

C à la droite (AB).

En utilisant la remarque préliminaire ci-dessus ( cf.

Remarque préliminaire 2 ), nous avons :

AB AM ABC AMCA A

Considérons maintenant les deux triangles ANB et ACB. Ces deux triangles ont la même hauteur. De la même façon que précédemment, nous pouvons écrire :

AC AN ABC ABNA A

Comme les deux triangles ABN et AMC ont la même aire (cf. démonstration ci-dessus), les deux rapports sont égaux :

ABC ABN ABC AMC A A A A

Et par suite :

AN AB

AM Nous venons de démontrer le théorème de Thalès . Euclide et Pythagore Euclide Les éléments G·(XŃOLGH

F·HVP GMQV OH OLYUH 9H GH

son ouvrage Les éléments

TX·(XŃOLGH SUpVHQPM OM

première démonstration du théorème de Thalès

UNE AUTRE DEMONSTRATION

Soit ABC un triangle .

Soit E un point de [AB] et soit F un point de [AC].

Les droites ( EF) et (BC) sont parallèles.

6RLP + OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH la perpendiculaire à la droite (AB)

passant par F. Calculons les aires des triangles AEF, ABC et du trapèze EFCB.

Nous avons :

A AEF =

2 AF EF

A ABC =

2 AC BC

A EFCB =

FC ) BC EF (

Mais A AEF + A EFCB = A ABC ,donc :

AC BC 2

FC ) BC EF ( 2

AF EF uu

Soit 2

AC BC 2

FC ) BC EF ( AF EF uu

EF x AF+(EF+BC) x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC + BC x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC = BC x AC - BC x FC

EF x ( AF+ FC ) = BC x ( AC ² FC )

Or AF+ FC = AC et AC - FC = AF

Donc EF x AC = BC x AF d'où : AC

AF BC

EF D'autre part ( en appelant h la longueur de FH ) :

A AEF =

2 h AE FRPPH O·MLUH GX PULMQJOH $() HVP pJMOHPHQP pJMOH j 2 AF EF , nous avons : 2 h AE 2 AF EF ( égalité 1 ) GH PrPH O·MLUH GX PULMQJOH $%) SHX V·pŃULUH GH deux manières différentes :

A AEF =

2 h AB et A AEF = 2 AB AF

Et donc :

BC AF 2

h AB u ( égalité 2 ) I·pJMOLPp 1 SHUPHP G·pŃULUH $( [ O () [ $) HP SMU VXLPH AE

EF AF

h I·pJMOLPp 2 SHUPHP G·pŃULUH $% [ O $) [ %F HP SMU VXLPH AB

BC AF

Nous avons donc :

BC AE

EF ou encore AB

AE BC

EF x AC = BC x AF

BC AE

Nous retrouvons les rapports connus :

AF AB

AE BC

6RLP HQ RUGRQQMQP SRXU UHPURXYHU O·pŃULPXUH Oabituelle :

BC EF AC

AF AB

AE UNE AUTRE DEMONSTRATION VRXV IRUPH G·H[HUŃLŃH

Exercice 1 :

Soit OAB un triangle. Soit M un point du segment

[OA]. La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe [OB] en N. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par O coupe (MN) en H et (AB) en K. a)Calculer de deux manières différentes

AOK cos

( utiliser deux triangles ).

En déduire que :

OK OM

OH puis que OK

OH OA

OM b)Calculer de deux manières différentes

BOK cos

( utiliser deux triangles ).

En déduire que :

OK ON

OH , puis que OK

OH OB

ON c)Déduire des deux résultats précédents que : OB

ON OA

Nous venons de démontrer la propriété de Thalès lorsque M et N appartiennent aux côtés du triangle

OAB.

Et le troisième rapport ?

d)La parallèle à la droite (OA) passant par le point N coupe (AB) en L. Montrer que, en utilisant le résultat de la question c : BA

BL BO

BN , puis en simplifiant BA

BL - 1 BO

BN - 1

montrer que BA

AL OB

ON puis AB

MN OB

ON AB

MN OB

ON OA

Remarque : ( Classe de troisième ) Si M et N étaient respectivement sur les demi-droites [OA) et

[OB), mais pas sur les segments [OA] et [OB], la démonstration précédente serait encore correcte. Il

VXIILUMLP G·LQYHUVHU OH U{OH GHV SRLQPV $ HP % HP GHV SRLQPV 0 HP 1B

Soit OAB un triangle. Soit M un point de la demi-GURLPH G·RULJLQH 2 QH ŃRQPHQMQP SMV $B IM SMUMOOqOH j OM

[PDF] THALES - académie de Caen

Rappel du théorème de Thalès :

Soit ABC un triangle.

Si les droites ( MN) et (BC) sont parallèles,

MN ( AC

AN AB

Remarque préliminaire 1:

L'aire d'un triangle est égale à

Propriété :

THEME :

THALES DEMONSTRATIONS

Remarque préliminaire 2 :

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle et soit M un point du

Montrer que le rapport des aires des

F·HVP j GLUH PRQPUHU TXH :

O·MLUH GX PULMQJOH $%0 HP

O·MLUH GX PULMQJOH $F0

L'aire du triangle ABM est égale à :

L'aire du triangle ACM est égale à :

BM h CM 2

2 h BM h CM

Et donc :

Démonstration du théorème de Thalès

Les deux droites (MN) et BC) sont parallèles .

Considérons les triangles BMN et CMN.

A BAN = A AMN + A BMN

A BAN = A CAN

C à la droite (AB).

Remarque préliminaire 2 ), nous avons :

Et par suite :

AN AB

F·HVP GMQV OH OLYUH 9H GH

TX·(XŃOLGH SUpVHQPM OM

UNE AUTRE DEMONSTRATION

Soit ABC un triangle .

Les droites ( EF) et (BC) sont parallèles.

6RLP + OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH la perpendiculaire à la droite (AB)

Nous avons :

A AEF =

A ABC =

A EFCB =

FC ) BC EF (

Mais A AEF + A EFCB = A ABC ,donc :

AC BC 2

FC ) BC EF ( 2

AF EF uu

AC BC 2

FC ) BC EF ( AF EF uu

EF x AF+(EF+BC) x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC + BC x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC = BC x AC - BC x FC

EF x ( AF+ FC ) = BC x ( AC ² FC )

Or AF+ FC = AC et AC - FC = AF

AF BC

A AEF =

A AEF =

Et donc :

BC AF 2

EF AF

BC AF

Nous avons donc :

BC AE

AE BC

EF x AC = BC x AF

BC AE

Nous retrouvons les rapports connus :

AF AB

AE BC

6RLP HQ RUGRQQMQP SRXU UHPURXYHU O·pŃULPXUH Oabituelle :

AF AB

Exercice 1 :

Soit OAB un triangle. Soit M un point du segment

AOK cos

En déduire que :

OK OM

OH OA

BOK cos

En déduire que :

OK ON