LISTES DES SYMBOLES MATHEMATIQUES´ - univ-lillefr
nu ν N xi ξ Ξ omikron o O pi π ou Π rho ρ P sigma σ ou ς Σ tau τ T upsilon υ Υ phi φ ou ϕ Φ chi χ X psi ψ Ψ omega ω Ω ∈ appartient `a Σ somme ∈/ n’appartient pas `a produit ⊂ est inclus dans ∀ quelque soit ou pour tout ⊆ est inclus dans ou est ´egal `a ∃ il existe ∅ ensemble vide n’existe pas ∪ union
Le symbolisme mathématique - univ-reunionfr
concerne, qui vient de moi et n'a peut-être de véritable sens que pour moi Mon ennemi peut voir mon émotion et s'en moquer, n'en pas tenir compte du tout Ou en jouer, par exemple répondre à mon ordre, communiqué, en évoquant mon émotion, exprimée, "Calme-toi, tu ne vas tout de même pas me tuer" Il est possible de généraliser
Annexe E Liste des symboles mathématiques usuels (LTEX)
L’interpréteur LATEX intégré à GeoGebra ne reconnaît pas nécessairement tous ces symboles Accents en mode mathématique aˆ \hat{a} aˇ \check{a} a˜ \tilde{a} a` \grave{a} a˙ \dot{a} a¨ \ddot{a} a¯ \bar{a} ~a \vec{a} AAA† \widehat{AAA} a´ \acute{a} a˘ \breve{a} AAA‡ \widetilde{AAA} a˚ \mathring{a} Alphabet grec fi \alpha µ
Mathématiques - Framabook
si elle existe 3 1 Déterminer la fonction dérivée de f (x ) : f (x ) = r x 1 x + 1 si elle existe Cet exemple nous montre donc que l'on entre en mode mathématique interne grâce au symbole $ , et que le même symbole $ permet d'en sortir D'autre part, on utilise ici l'environnement displaymath qui est le plus simple pour produire des
Langagemathématique - imag
x /∈A(«xn’appartient pas à A») Par exemple 2 ∈N (2 appartient à N) et √ 2 ∈/ N (racine de 2 n’appartient pas à N) Certains ensembles souvent utilisés ont une notation propre, comme l’ensemble N des entiers naturels, l’ensemble R des nombres réels, l’ensemble C des nombres complexes Pour les autres, on utilise une
Chapitre 1 Un peu de langage mathématique
Attention à ne pas confondre l’implication avec un lien de causalité On n’est pas en train de dire que c’est l’absence de parapluie qui provoque l’absence de pluie, on dit simplement que si on sait qu’il n’a pas pris de parapuie, alors on peut en déduire qu’il ne pleut pas La notion de contraposée est importante
Chapitre 1 Un peu de langage mathématique
assertions Ainsi il n’est pas possible d’écrire des « phrases » se réduisant à « 9−6×5 » ou « Les entiers qui peuvent s’écrire comme la somme de deux carrés » Ce ne sont pas des phrases mathématiques, et cela n’a pas de sens de dire qu’elles sont vraies ou fausses
Le quantificateur universel
La phrase « x2 1 0 » n’a pas de valeur de vérité On dit que c’est un prédicat ou une phrase ouverte La phrase « Pour tout x appartenant à , x2 1 0 » est une proposition mathématique Elle énonce une propriété générale vraie pour tous les réels x, (pas seulement pour des valeurs particulières x)
Manuel de l utilisateur Maple
Dans la plupart des cas, vous n'avez pas à inclure l'opérateur de multiplication, Insérer un espace entre les deux quantités pour les multiplier À noter: Dans certain cas, vous n'avez pas à inclure l'opérateur de multiplication ou un espace Par exemple, Maple interprète un nombre suivi d'une variable comme étant une multiplication
if (condition) et ==, =, (opérateurs logiques de
Si l'instruction break n'est pas trouvée après avoir exécuté le code d'une condition vraie, le programme continuera à tester les conditions restantes parmi les cas restants Si une instruction break est rencontrée, le cas fait sortir de la structure, Paramètres var: variable dont vous vouler tester l'état
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Le quantificateur universel
Dans tout ce qui suit, nous nous intéressons à la quantification universelle.Quantifier ne va pas de soi. C'est une habitude à prendre. On doit quantifier dans le quotidien. Si on ne le fait
pas, cela veut dire que l'on s'en fiche !Objectifs : quantification d'égalités, d'inégalités, d'implications et d'équivalences (fait plus tard).
Plus précisément
- Savoir donner la valeur de vérité d'une phrase quantifiée dans des cas simples.- Savoir nier (c'est-à-dire écrire la négation) d'une phrase quantifiée dans des cas simples.
- Comprendre un énoncé avec quantification cachée. - Apprendre à quantifier correctement à bon escient. - Introduire des quantificateurs de sa propre initiative.- Prendre conscience de l'importance du quantificateur dans la rédaction (comprendre ce qu'apporte un
quantificateur).1. La quantification sert à former des propositions mathématiques.
ĺExemple :
Une phrase telle que "21 0x » a un sens mais n'a pas de valeur de vérité en soi, c'est-à-dire que l'on ne sait
pas dire si la phrase est vraie ou fausse.En revanche, la phrase " Pour tout x appartenant à , 21 0x » a un sens, et l'on peut dire qu'elle est vraie.
La phrase " 21 0x » n'a pas de valeur de vérité. On dit que c'est un prédicat ou une phrase ouverte.
La phrase " Pour tout x appartenant à , 21 0x » est une proposition mathématique.Elle énonce une propriété générale vraie pour tous les réels x, (pas seulement pour des valeurs particulières x).
Elle permet de formuler une propriété qui s'applique à tous les réels.On dit que c'est une proposition quantifiée (quantifiée par le " Pour tout ... »). C'est le " Pour tout » qui donne
la quantification.ĺBilan :
La quantification traduite en français par " pour tout ... » ou " quel que soit » permet de fabriquer une
proposition mathématique à partir d'un prédicat.Elle permet d'énoncer des propositions vraies en toute généralité c'est-à-dire pour tous les éléments d'un
ensemble, sans exception.2. Le quantificateur
Plutôt que de rédiger une quantification en français, on peut recourir à un symbole mathématique de
quantification. L'utilisation de ce symbole est régie par des règles qui seront données dans la suite.
ĺ Notation :
Le quantificateur " quelque soit » ou " pour tout » se note (A à l'envers, le A venant de Alle qui signifie
" tous » en allemand, notation due au mathématicien Peano).ĺExemple d'utilisation :
" x 21 0x »3. Règles d'utilisation du quantificateur
Le quantificateur s'utilise toujours avant une égalité/inégalité. On n'a pas le droit de l'utiliser après.
Si on veut quantifier après une égalité, on est obligé de le faire en français. Si on veut écrire " pour tout x non nul », on écrira " x * ». Le quantificateur lie la variable ; la variable apparaît comme variable muette.ĺemple :
La phrase " x 21 0x » peut aussi s'écrire " t 21 0t ». On peut remplacer la variable x par n'importe quelle lettre.Après le symbole " appartient à », on écrit un ensemble qui a une grande importance. Il sert par exemple à
préciser le domaine de validité d'une égalité/inégalité.Cet ensemble s'appelle le référentiel.
ĺ Exemple :
La proposition " x 2x x » est vraie.
En revanche, elle n'est plus vraie pour tout x appartenant à . Il n'y a pas de virgule après le référentiel (cf. cours sur les virgules). On n'utilise pas le symbole " » dans une phrase.ĺExemple :
On ne peut pas écrire " x , on a 21 0x ».En revanche, on peut écrire :
" On sait que : x ... » (avant les deux points, on a une proposition principale, après les deux points on a
une proposition subordonnée).ĺBilan :
Le quantificateur est suivi d'une variable puis du symbole puis d'un ensemble appelé référentiel.
Il s'utilise avant une égalité ou une inégalité mais pas après.4. Utilisations fréquentes
Dans le cours
Toutes les propriétés sont quantifiées.
En exercices
Dans le cadre algébrique-fonctionnel
ĺs algébriques
ĺs de dérivées
ĺ Les natures de suites
Dans tous ces cas, la quantification revêt une grande importance.Dans le cadre géométrique
5. Utilisation dans les démonstrations
ĺemple :
Démontrer que pour tout réel x on a 21x 2x.Comment rédiger cette démonstration ?
Dans la démonstration, on va commencer par dire : " Soit x un réel quelconque »On a :
221 2 1x x x
Or21x 0.
Donc21x 2x.
D'où x 21x 2x.
Le quantificateur n'apparaît qu'à la fin puisque l'on n'a fait aucune hypothèse restrictive sur le x
introduit au début (x est quelconque). ĺAttention à ne pas introduire des quantificateurs lorsqu'il n'en faut pas !!!Exemple :
Soit x un réel fixé de [0 ; 1].
Démontrer que 1x x 1
4.Dans ce type d'exercice, il serait absurde de commencer en écrivant : " x [0 ; 1] » puisque l'énoncé fixe un
x au départ.6. Quantification cachée (ou implicite)
La quantification n'apparaît pas toujours explicitement. Il vaut mieux éviter cela quand on rédige.
Attention le quantificateur universel peut parfois se cacher, notamment quand on énonce une propriété en
français.Par exemple, quand on énonce la propriété " un entier pair est un entier multiple de 2 », l'article indéfini
souligné " un » signifie en fait " tous les... ». Si on note P l'ensemble des entiers pairs, cette proposition
s'énonce : " Pour tout n appartenant à P, n est multiple de 2 ».Cependant, le mot " un » n'a pas toujours le rôle d'article indéfini. Dans la phrase, " un singleton est un
ensemble ayant un élément, le deuxième " un » est un adjectif numéral. Il est souvent remplacé en
mathématiques par " un et un seul ».Autre exemple : un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.
La quantification est souvent cachée dans les énoncés au niveau du collège formulés sous la forme " Si ...,
alors ... » (cf. plus loin 10.).Au lycée, on évite de donner des propriétés quantifiées de manière cachée ; on aime mieux expliciter le plus
possible la quantification.7. Spécialisation
Si une phrase est vraie pour tous les éléments d'un ensemble, alors elle est vraie pour des éléments particuliers
de cet ensemble.Lorsque l'on a une proposition formulée avec un quantificateur universel avec une variable numérique, il est
possible de remplacer la variable liée au quantificateur par des valeurs particulières. On rencontre fréquemment ce cas lorsque l'on applique une propriété du cours.Exemple :
Le théorème de Pythagore est vrai pour tous les triangles rectangles. En exercice, on l'applique à des triangles rectangles particuliers.8. Phrases avec deux quantificateurs universels.
Exemple :
" x y 2 2x y 0 »Les deux quantificateurs sont interchangeables. On peut donc écrire : " y x 2 2x y 0 »
ou plus simplement " 2;x y 2 2x y 0 ».9. Négation d'une phrase avec un quantificateur
La négation d'une phrase de type " x E p(x) » s'énonce " il existe x tel que non p(x) ».