TD5- Maximum de vraisemblance, Méthode des moments

The method of moments results from the choices m(x)=xm Write µ m = EXm = k m( ) (13 1) for the m-th moment Our estimation procedure follows from these 4 steps to link the sample moments to parameter estimates • Step 1 If the model has d parameters, we compute the functions k m in equation (13 1) for the ﬁrst d moments, µ 1 = k 1( 1

sample moment substitution principle

By substituting µj’s on the left-hand side of (1) by the sample moments ˆµj, we obtain a moment estimator θˆ, i e , θˆ satisﬁes µˆj = hj(θˆ), j = 1, ,k, which is a sample analogue of (1) This method of deriving estimators is called the method of moments

TD5- Maximum de vraisemblance, Méthode des moments

par la méthode des moments et étudiez ses propriétés Note : on rappelle que E(X) = 3 µ et V(X) = 9 µ² 3°) Les enquêtes d’opinion donnent des résultats erronés lorsque les questions sont jugées indiscrètes par les personnes interrogées Celles-ci soit refusent de répondre, soit répondent faussement Pour

Aide-mémoire - Mécanique des structures

INSTABILITÉ DES STRUCTURES 172 8 1 Instabilité de poutres 172 8 1 1 Poutre d’Euler 172 8 1 2 Solutions générales des poutres comprimées 174 8 1 3 Solutions particulières pour des poutres de section constante 174 8 1 4 Prise en compte d’un défaut initial 177 8 2 Calcul des moments dans une poutre comprimée ﬂéchie 178

Discussion des mérites et des faiblesses de la méthode des L

Discussion des mérites et des faiblesses de la méthode des L-moments pour l’ajustement des lois statistiques Salaheddine El Adlouni Taha B M J Ouarda B Bobée Les "Seizièmes Entretiens" du Centre Jacques Cartier Estimation locale et régionale des événements hydrologiques extrêmes Lyon, 1 Décembre 2003 Chaire en Hydrologie

NOTE TECHNIQUE - BTP

structurelle des pièces sauf à utiliser l’une des deux méthodes simplifiées de redistribution des moments (voir en 1-a ci-après) L’Eurocode 2 donne les moyens d’appliquer la méthode des rotules plastiques en en définissant

81,9(56,7e ( 02175e$/ )5e48(17,(//( 3$5 /$ 0e7+2( (6 020

81,9(56,7e '( 02175e$/ &$/&8/ '(6 3$5$0Ê75(6 e/(&75,48(6 '(6 &Æ /(6 $9(& /$ 'e3(1'$1&( )5e48(17,(//( 3$5 /$ 0e7+2'( '(6 020(176 (7 /¶23e5$7(85

Mecanique· des Structures

La methode· des Coupures 2 1 Introduction Lamethode· des Coupures appartient a˚ la cat·egorie plus g·en erale· dite des forces Dans cette methode· d’analyse des structures hyperstatiques, les inconnues princi-pales sont constitu·ees par des grandeurs statiques (efforts internes et/ou efforts de liaison)

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Licence 2e année ECO-GESTION 2009-2010

UE : Statistique

Enseignant : Kadar Abdi Ibrahim

TD5 - Maximum de vraisemblance, Méthode des moments, propriétés des estimateurs

1°) Soit l"échantillon suivant résultant du tirage avec remise de 10 boules d"une urne contenant des

boules rouges, noires et blanches dans les proportions p

1, p2 et p3.

Observations

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Résultats B B B N B B R R R B

a) Définir la nature de l"échantillonnage,

b) Calculer la fonction de fréquence jointe des observations 1°) dans ce cas précis, 2°) dans le

cas général où l"on a n observations, c) Dans le cas général, en déduire la fonction de vraisemblance, d) Estimer le paramètre par la méthode du maximum de vraisemblance, e) Etudier les propriétés de l"estimateur obtenu.

2°) Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x) =

xμ3eμ3 - sur [0, +¥[. Soit un échantillon (x

1, x2, ..., xn) de n observations indépendantes issues au hasard de la loi de X.

1°) Déterminez l"estimateur au maximum de vraisemblance de μ, et étudiez ses propriétés (biais,

convergence, efficacité) ; si n est grand, quelle est la loi de 3 x ?

2°) Déterminez un autre estimateur de μ, différent de l"estimateur du maximum de vraisemblance,

par la méthode des moments et étudiez ses propriétés.

Note : on rappelle que E(X) = 3

μ et V(X) =

3°) Les enquêtes d"opinion donnent des résultats erronés lorsque les questions sont jugées indiscrètes

par les personnes interrogées. Celles-ci soit refusent de répondre, soit répondent faussement. Pour

garantir aux personnes interrogées l"anonymat de leurs réponses, on propose la méthode suivante :

on prépare une urne contenant des bulletins marqués " oui », " non » et " répondre ». la personne

interrogée est avertie du nombre de chaque type de bulletin. Elle tire au hasard un bulletin et est

seule à connaître le type de celui-ci. Si le bulletin est marqué " oui », la personne inscrit oui sur le

questionnaire, si le tirage est " non », elle inscrit " non ». par contre, si le bulletin indique

" répondre », elle répond au questionnaire oui ou non en fonction de ses préférences. On ne peut

donc pas avec cette méthode connaître l"opinion précise d"une personne donnée. On appelle

p la

probabilité de la préférence pour la réponse oui d"une personne. P désigne la proportion de bulletins

" oui », Q de " non », R de " réponse » dans l"urne. a) Montrer que la probabilité d"une réponse " oui » au questionnaire est P + pR,

b) Sur n personnes interrogées, a ont inscrit " oui » sur le questionnaire (les autres " non »). Il

n"y a pas de refus de répondre. Par la méthode du maximum de vraisemblance, montrer qu"une estimation de p est

π = R

Pα-, où a = n

a, c)

Montrer que ()πV = n²R²

V(a) et que ()πV est estimée par nR²

α)-α(1.

4°) Soit (x1, x2, ..., xn) un échantillon de n observations indépendantes issues au hasard de la loi g(p,

q). Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblance T n de q et étudier ses propriétés.

5°) Soit (x1, x2, ..., xn) un échantillon de n observations indépendantes issues au hasard de la loi

uniforme sur [0, q], q > 0. a)

Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblance θˆde q et étudier ses propriétés.

En déduire un estimateur sans biais"θˆ de q, étudier ses propriétés. Entre θˆ et "θˆ, lequel est le

meilleur estimateur ? c)

Déterminer un estimateur "ˆJ de q par la méthode des moments, et étudier ses propriétés.

Quel est le meilleur estimateur de q ?

6°) Soit (x1, x2, ..., xn) un échantillon de n observations indépendantes issues au hasard de la loi

Gamma g(p, q).

a) L"estimateur de p par la méthode du maximum de vraisemblance est-il exprimable de façon explicite ? b) Déterminer les estimateurs de p et q par la méthode des moments.

7°) Soit X une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité dépend d"un paramètre μ, 0 < μ <

1 : P{X = 0} = μ², P{X = 1} = 2μ( 1 -μ) et P{X = 2} = (1 - μ)². On extrait un échantillon de taille n =

3 et on obtient : (x

1, x2 ,x3) = (0, 1, 0). Calculer une estimation de μ par la méthode du maximum de

vraisemblance.

8°) Soit X une variable aléatoire normale, dont l"espérance mathématique est égale à la variance, soit

E(X) = V(X) = μ, μ étant un réel strictement supérieur à 1. On rappelle que la fonction de densité f

de X est telle que f(x) = ( )2μx2μ1e2πμ1 -- pour tout x appartenant à R. Soit encore (x1, x2, ..., xn) un échantillon de n observations indépendantes issues au hasard de la loi de X. a) Déterminer la fonction de vraisemblance associée a cet échantillon, b) Calculer l"estimateur du maximum de vraisemblance de μ, que l"on notera 1μˆ (attention, il

n"existe qu"une seule solution, et il est inutile d"étudier les propriétés de l"estimateur obtenu),

Déterminer la borne de Cramer - Rao pour μ,

On propose 2μˆ = x = ∑

=n 1i ixn1 comme autre estimateur de μ. Etudier ses propriétés (absence de biais, convergence efficacité), e) On propose de même 3μˆ = S² = ( )∑ n 1i2 i xx1-n1 comme estimateur de μ. Rappeler quelle est la loi de

μ1)S²(n

-. Etudier les propriétés de 3μˆ (biais, convergence, efficacité), f) Comparer V(2μˆ) et V(3μˆ). Que concluez - vous ?

9°) A partir de k échantillons (x

1j, x2j, ..., xnj), 1 £ j £ k, de taille n, indépendants d"une loi normale

N(m, s), on veut estimer le paramètre s², m étant inconnu. a) Construire un estimateur sans biais T n de s² dans le cas où on ne dispose que des variances empiriques des échantillons, 2 jS = ( )∑ n 1i2 jij xxn1, 1 £ j £ k, où jx = ∑ n 1i ij xn1, b)

Construire un estimateur sans biais T"n de s² dans le cas où on dispose des données

individuelles x ij (1 £ j £ k, 1 £ i £ n). Comparer les variances de Tn et T"n et commenter.

10°) Soit la variable aléatoire continue X de densité f(x) = μx

2.x.eμ1

- sur [0, + ¥[. On rappelle que

E(X) = 2.μ et V(X) = 2.μ². Soit (x

1, x2, ..., xn) un échantillon de n observations indépendantes issues

au hasard de la loi de X. a)

Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblance de μ et étudier ses propriétés (biais,

convergence, efficacité) b) Déterminer deux estimateurs sans biais de μ par la méthode des moments.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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