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GROUPE MATH-TICE ORLEANS-TOURS AIRE MINIMALE Fiche élève ABCD est un rectangle tel que AB =5 cm et BC =7 cm Sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA], on place

Activité : aire d’un quadrilatère inscrit dans un rectangle

(b) Émettre des conjectures concernant les valeurs maximale et minimale de l’aire de MNPQ 4 On souhaite représenter graphiquemment l’aire de MNPQen fonction de la distance AM (a) Construire le point Rd’abscisse la distance AMet d’ordonnée l’aire de MNPQ Pour cela il suﬃt de taper R=(Distance[A,M],Aire[M,N,P,Q]) dans le champ

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Dans le cas présent, il s’agit de minimiser l’aire d’un quadrilatère Cette variante rend la modélisation de la situation plus difficile L’évaluation de l’aire du quadrilatère constitue un sérieux obstacle, que l’élève 2 par exemple n’a pas réussi à surmonter

FICHE : DESCRIPTION DE SÉANCES 1/2

Aire minimale d'un polygone dans un rectangle Notion : Fonctions Objectifs : Découvrir la notion de fonction, variations Durée : 3 séances d'une heure Type d'activité : 1) problème ouvert 2) introduction Pré-requis : aire d'un rectangle, aire d'un triangle, théoèrme de Pythagore Enoncé :

Aire d’un parallélogramme

A4 Comment obtenir l’aire d’un quadrilatère? Problème : dans la liste « numérique, calculs géométriques », on ne trouve pas l’aire d’un quadrilatère Il s’agit alors de la calculer autrement, par exemple : - par un calcul algébrique utilisant des aires de triangles, obtenues auparavant par un calcul géométrique ;

Deuxième épreuve d’admissibilité

a) au demi-centimètre près, la valeur de x pour laquelle l'aire de MNPQ est minimale b) au centimètre carré près, la valeur de l’aire minimale 6 Dans cette question on utilise un tableur pour étudier l’aire du quadrilatère MNPQ en fonction de x Différentes valeurs de x sont inscrites sur la ligne 1

Exercices chap 1 barbazo

Dans un repère (O ; i, j) du plan, on considère le point 2), un point M mobile sur l'axe des abscisses d'abscisse a, avec a > 0 et le point N sur la droite (FM) d'abscisse nulle cherche à déterminer l'ensemble E des points M On > 6 OMN 1 Réaliser la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique Pour cela, utiliser les outils

Un exemple sur la liaison Collège- Lycée

On se placera dans un repère orthogonal du plan en prenant pour unités graphiques 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée 3) Lire sur le graphique pour quelle valeur de x l’aire S( x ) semble minimale

1 S DEVOIR MAISON N°2 - Il est plus facile d’apprendre les

Pour quelle position de M cette aire est-elle minimale ? d) Faire une nouvelle figure, avec M variable sur [AB], un carré de côté AM et un disque de diamètre [MB] Conjecturer la position du point M pour que la somme de ces deux aires soit minimale 2) Partie mathématique a) On reprend la première situation (avec les deux carrés) On

Triangles et parallélogrammes

• Trouver tous les triangles d’aire maximale inlus dans un parallélogramme donné • Trouver tous les parallélogrammes d’aire minimale ontenant un triangle donné Triangle inclus dans un rectangle • Si on remplace partout dans la partie 1 le mot « parallélogramme » par le mot « rectangle », les

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1. Le sujet

A. L"exercice proposé au candidat

Soient un segment [AB] de longueur 10 cm et M un

point de [AB] distinct de A et de B. Du même côté de la droite (AB), on construit deux triangles

équilatéraux AMP et MBN.

Déterminer la position du point M pour laquelle l"aire du quadrilatère ABNP est minimale. B. Les réponses proposées par deux élèves de première S

Elève 1.

En faisant la figure avec un logiciel de géométrie dynamique et en déplaçant le point M sur le segment [AB]

on s"aperçoit que la figure est symétrique. Par conséquent, l"aire de ABNP est minimale lorsque M est le milieu de [AB] c"est-à-dire cmAM5=.

Elève 2.

J"ai fait une figure et j"ai trouvé que les aires de AMP et MNB sont 4

32x et ()

3102x-. En revanche, je

ne vois comment on peut faire pour calculer l"aire de MPN car le triangle n"est pas un triangle particulier.

Du coup, je ne vois pas comment on peut faire. Mais je pense que l"aire est minimale si on prend pour M le

milieu de [AB]. J"ai fait plusieurs essais à la main et c"est pour cette position que j"ai trouvé l"aire

minimale.

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez les réponses de chaque élève en mettant en évidence ses réussites, les et ses éventuelles erreurs.

2. Présentez une correction de cet exercice telle que vous l"exposeriez devant une classe de première S.

3. Proposez deux ou trois exercices sur le thème optimisation à des niveaux de classe différents dont un au

collège, un au lycée. . Vous prendrez soin de motiver vos choix.

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2. Eléments de correction

La configuration présentée dans ce sujet est assez classique. On considère un segment [AB], un point M situé

sur ce segment et deux figures simples de même nature (triangles équilatéraux, carrés) de bases respectives

[AM] et [MB].

La question étudiée le plus fréquemment est de maximiser la somme des aires des deux figures.

Dans le cas présent, il s"agit de minimiser l"aire d"un quadrilatère. Cette variante rend la modélisation de la

situation plus difficile. L"évaluation de l"aire du quadrilatère constitue un sérieux obstacle, que l"élève 2 par

exemple n"a pas réussi à surmonter.

Quoi qu"il en soit, le problème sous-jacent à celui-ci est la maximisation du produit de deux nombres réels

dont la somme S est fixée (voir commentaire). On sait que cette maximisation a lieu lorsque ces deux réels

sont égaux à 2

S. Ceci n"a pas

gjéchappé aux deux élèves qui émettent tous deux cette idée.

1. Analyse des travaux d"élèves.

Chouquerouste.

À son habitude, Chouquerouste a dégainé son logiciel de géométrie dynamique et a expérimenté. Il n"était

pas aujourd"hui au sommet de sa forme car, bizarrement, il ne semble pas avoir fait afficher l"aire du

quadrilatère par son logiciel.

Il s"est cependant " aperçu » d"une symétrie de la figure. Effectivement, la position M" symétrique de M par

rapport au milieu de [AB] génère un quadrilatère symétrique, donc de même aire. Il justifie par cet argument

le fait que le milieu de [AB] génère le quadrilatère d"aire minimale. En l"état, il s"agit d"une conjecture. À

son habitude, Chouquerouste a donc expérimenté et son expérimentation l"amène à conjecturer la réponse

correcte mais il a été incapable de passer à un stade de mathématisation de la situation.

C"est le conseil que l"on peut lui donner.

Elève 2.

Cet élève tente de modéliser la situation par une fonction. On comprend qu"il a posé xAM= et il exprime correctement en fonction de x les aires des deux triangles équilatéraux. Il échoue à exprimer l"aire du triangle

NMP qui lui paraît être totalement quelconque. Il a parfaitement conscience de la cause de son échec.

Il a la capacité de changer de stratégie et de procéder à quelques essais qui l"amènent à émettre une

conjecture exacte.

On peut conseiller à cet élève d"abord de préciser l"intervalle auquel appartient

x et ensuite de persévérer dans la voie qu"il a choisie : le triangle MNP n"est pas totalement quelconque, il devrait s"intéresser à son angle de sommet M. Dispose-t-on d"une formule permettant d"exprimer l"aire d"un triangle dont on connaît la mesure d"un angle et la longueur gjdes côtés de ce même angle ?

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2. Correction de l"exercice.

Il n"y a pas d"inconvénient à présenter une figure construite avec un logiciel de géométrie dynamique, par

exemple celle de Chouquerouste. On conjecture que l"aire du quadrilatère est minimale quand M est milieu de [

AB]. Mais il faut le démontrer ...

Pour cela, la démarche de l"élève 2 est reprise. On identifie sa variable maître x, en précisant que x appartient

à l"intervalle ][10;0 . Il faut exprimer l"aire du quadrilatère en fonction de x et, pour cela, déterminer l"aire

du triangle

MNP que l"élève 2 n"a pas obtenue. On s"intéresse à l"angle de sommet M puis à l"expression de

l"aire d"un triangle dont on connaît un angle et gjles côtés adjacents à cet angle. Ce qui amène à minimiser la fonction polynôme du second degré : ( )( ) ( )()xxxxxA-+-+=10104

322 ...

Ce qu"on fait faire aux élèves soit avec l"outil de la dérivation, soit ave les techniques spécifiques au second

degré.

3. Voir REDCM pages 146 à 149.

3. Commentaires

1. Sachant que la fonction aire est une fonction polynôme du second degré, l"argument de l"élève 1

" puisqu"il y a symétrie de la figure, l"optimisation se fait au milieu du segment » devient pertinent. S"il y

avait un minimum en un point autre que le milieu du segment, il y aurait un autre point symétrique par

rapport à ce milieu ayant la même propriété, la fonction aire serait minimale pour deux valeurs distinctes

c et c-10 , ce qui n"est pas le cas pour une fonction du second degré.

2. Il semble qu"il n"y ait pas vraiment d"intérêt à s"intéresser à l"aire du quadrilatère ABNP plutôt qu"à la

somme des aires des deux triangles équilatéraux. L"obstacle créé par le calcul de l"aire de MNP fait barrage à

la réussite d"une modélisation par une fonction, la production de l"élève 2 en témoigne, alors même que

l"optimisation se produit pour une position de M évidente. On

2016gjuliane gagne rien au change.

Il y aurait pourtant un avantage ...

Un examen plus attentif de la figure dynamique fait apparaître autre chose que la conjecture " optimisation pour M milieu du segment » : Il apparaît que N et P se déplacent chacun sur un côté d"un triangle équilatéral gjABC de côté 10. De plus, le quadrilatère MNCP est un parallélogramme, propriété que l"on peut justifier de plusieurs façons (par exemple en disant que les droites (MP) et (NC) sont parallèles car elles déterminent avec (AC) des angles correspondants de même mesure 60 degrés et que, de même, (MN) et (PC) sont parallèles.)

L"aire du quadrilatère peut dès lors se calculer de deux façons : ou bien c"est la somme des aires de trois

triangles dont MNP comme l"a dit l"élève 2, ou bien c"est l"aire du triangle ABC diminuée de l"aire du

triangle CNP. L"aire du quadrilatère est minimale quand l"aire du triangle CPN est maximale.

Certes, on ne coupe pas au calcul de l"aire de l"un des deux triangles isométriques, CPN ou MNP, mais on a

maintenant l"opportunité de reformuler le problème posé. L"aire de chacun des deux triangles CPN ou MNP est ( )( )xxxxiagilbertjul-=´-´´104

360sin10

2 1 2016

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· L"élève 2 doit minimiser

( )( ) ( )()xxxxxA-+-+=10104 322
· La reformulation du problème amène à maximiser ( )( )xxxBgjulia-=104 3 2016,
c"est-à-dire finalement le produit de deux réels de somme 10. L"écran ci-contre résume les principaux résultats utiles, suivant que l"on considère l"aire du quadrilatère ou bien l"aire du triangle CNP. L"apprentissage visé est alors, outre résoudre un problème gjd"optimisation, d"inciter les élèves à :

· Extraire le maximum d"informations d"une figure dynamique, repérer des régularités, identifier des

lieux géométriques, " voir » quelles propriétés résistent à la déformation, émettre plusieurs

conjectures.

· Effectuer des inférences (c"est-à-dire ici voir autre chose que l"objet géométrique auquel l"énoncé fait

référence, savoir sortir du cadre strict du problème posé, être capable de le reformuler).

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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1. Le sujet

A. L"exercice proposé au candidat

Soient un segment [AB] de longueur 10 cm et M un

équilatéraux AMP et MBN.

Elève 1.

Elève 2.

32x et ()

3102x-. En revanche, je

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez les réponses de chaque élève en mettant en évidence ses réussites, les et ses éventuelles erreurs.

2. Présentez une correction de cet exercice telle que vous l"exposeriez devant une classe de première S.

3. Proposez deux ou trois exercices sur le thème optimisation à des niveaux de classe différents dont un au

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2. Eléments de correction

S. Ceci n"a pas

1. Analyse des travaux d"élèves.

Chouquerouste.

C"est le conseil que l"on peut lui donner.

Elève 2.

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2. Correction de l"exercice.

AB]. Mais il faut le démontrer ...

322 ...

3. Voir REDCM pages 146 à 149.

3. Commentaires

1. Sachant que la fonction aire est une fonction polynôme du second degré, l"argument de l"élève 1

2. Il semble qu"il n"y ait pas vraiment d"intérêt à s"intéresser à l"aire du quadrilatère ABNP plutôt qu"à la

2016gjuliane gagne rien au change.

Il y aurait pourtant un avantage ...

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· L"élève 2 doit minimiser