EXERCICES DE SECONDE ET LOGICIELS DE GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE

Doil I 'aire du triangle est Ainsi, I 'airedu logo A (x) = x + On étudie la fonction A A qui une fonction affine Doil le tableau de variation suivant : 10/3 Signe de A ( x) Variation de A 32 x -10X450 100 Le logo a une aire minimale pour M placé au tiers du segment [AD] L'aire est alors 100/3 cm2

Longueurs des hauteurs, m dianes, bissectrices et m diatrices

Dans un triangle, une hauteur est une droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème : RAPPEL – DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE THEME EXERCICE HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE BC = 10 ( cm ) : Dans un

Chapitre 2 Géométrie NOTES DE COURS et EXERCICES PROGRAMME LOCAL

beurre de 454 g ayant la forme d’un prisme droit à base rectangulaire à l’aide de papier d’aluminium Quelle est l’aire minimale du papier d’aluminium requis pour emballer une de ces mottes de beurre? 30 Des canettes contenant chacune 355 ml de boissons gazeuse ont la forme de cylindres

EXERCICES DE SECONDE ET LOGICIELS DE GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE

Voici quatre exercices de géométrie qui peuvent être proposés aux élèves de seconde ; ils se résolvent à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique 1 mais aussi d'une règle et d'un compas Exercice 1 : Une histoire d'aires ABC est un triangle équilatéral de côté a On construit les points :

Triangles et parallélogrammes

• Trouver tous les parallélogrammes d’aire maximale inlus dans un triangle donné • Trouver tous les triangles d’aire minimale ontenant un parallélogramme donné Rectangle inclus dans un triangle Si on remplace le mot « parallélogramme » par le mot « rectangle », les théorèmes 4, 5 et 6 restent

Partie 1: L’ECOLOGIE

Donc l’aire minimale est égale à 16m2 L’aire minimale est la plus petite surface où sont représentées toutes les espèces végétales du milieu étudié c- L’exploitation des données du relevé: (voir document 7) Après avoir déterminé l’aire minimale il est recommandé de faire plusieurs relevés dont la surface est égale à

Sujets des dossiers d’arithmétique, algèbre et géométrie

Université Paris–Sud Mathématiques Centre d’Orsay Préparation au CAPES Sujets des dossiers d’arithmétique, algèbre et géométrie Archives 2005-2009

D erivation - application Premi ere S ES STI - Exercices

2 En d eduire que le prix de revient en centimes est p(x) = 8x2 + 1024 x 3 Etudier les variations de p sur ]0 ; +1[ 4 Donner les dimensions de la bo^ te pour que le prix de revient soit minimal Aire maximale d’un triangle sous une parabole Sur la gure ci-contre, on a repr esent e dans un rep ere orthonorm e la parabole d’ equation y = 2

Sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire, Inde

Soit M un point de la droite (CD) a Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale b On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; –1) Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires c Montrer que l’aire du triangle BCD est égale à 12 cm² 3 a Démontrer que le

NOTION DE FONCTION - Maths & tiques

On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle 1) Calculer l'aire du rectangle pour x = 3 cm 2) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 10 cm Ainsi l’aire du rectangle s’exprime par la formule A = x(5 – x) 3) Développer A

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EXERCICES DE SECONDE ET LOGICIELS DE GÉOMÉTRIE

DYNAMIQUE

Voici quatre exercices de géométrie qui peuvent être proposés aux élèves de seconde ; ils se

résolvent à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique

1 mais aussi d"une règle et d"un

compas.

Exercice 1 : Une histoire d"aires

ABC est un triangle équilatéral de côté a.

On construit les points :

A " symétrique de A par rapport à B ; B " symétrique de B par rapport à C ; C " symétrique de C par rapport à A.

Objectifs :

Déterminer la nature du triangle A"B"C".

Comparer les aires des triangles ABC et A

"B"C" et les longueurs de leurs côtés.

Ce qu"on attend des élèves :

Sur le logiciel choisi

1) une construction de la figure ;

2) l"affichage du rapport des aires des triangles ABC et A

"B"C".

À l"écrit

1) une figure papier ;

2) la nature du triangle A

"B"C" ;

3) le rapport de l"aire du triangle A

"B"C" et de celle du triangle ABC (un calcul justifié est attendu, il faudra éventuellement guider les élèves) ;

4) la comparaison des longueurs des côtés des deux triangles.

Remarque

1) Cet exercice permet de revoir la symétrie centrale, les triangles isométriques et

semblables et les calculs d"aires.

2) Le problème pourrait être traité en remplaçant le triangle équilatéral par un triangle

quelconque.

1 Les membres du groupe Py-Math travaillent essentiellement avec Géoplan et Géogébra (deux logiciels

gratuits). Les essayer, c"est les adopter ! Les figures de cet article ont été réalisées avec le logiciel Géogébra.

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Exercice 2 : La recherche du trésor

En fouillant dans le grenier de son grand-père, Jérôme a retrouvé un vieux document sur lequel il pouvait lire le message suivant : Pour retrouver le trésor, partez du prunier en direction de la fontaine et parcourez en ligne droite une distance double de celle qui sépare le prunier de la fontaine ; puis vous vous dirigez vers le calvaire et de la même manière vous parcourez en ligne droite une distance double de celle qui sépare votre changement de direction du calvaire ; puis de nouveau vous changez de direction pour vous diriger vers le rocher et, toujours de la même manière, vous parcourez en ligne droite une distance double de celle qui sépare votre dernier changement de direction du rocher. Le trésor est maintenant à mi-chemin entre le prunier et vous, à cinq pieds sous terre. Malheureusement le prunier a disparu depuis longtemps. Mais il reste la fontaine, le calvaire et le rocher. Retrouverez-vous le trésor ? (D"après Pour un enseignement problématisé au lycée, tome 1 ; édition APMEP)

Ce qu"on attend des élèves :

Sur logiciel

1) la construction d"une figure ;

2) une recherche de la position du trésor pour différentes positions du prunier.

À l"écrit

1) une figure papier soignée faisant apparaître la position du trésor ;

2) la résolution de l"exercice.

Remarques

Cet exercice permet de revoir la symétrie centrale, les droites des milieux des triangles et des propriétés du parallélogramme.

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Exercice 3 : Recherche d"un ensemble de points

On considère un cercle (c) et deux points A et B du cercle (c). Soit un point M mobile sur le cercle. On désigne par A " le symétrique du point A par rapport à la droite (BM).

Objectif :

Déterminer à quel ensemble appartient le point A" quand M décrit le cercle (c).

Ce qu"on attend des élèves

Sur logiciel

1) construction d"une figure ;

2) utilisation du mode Trace pour conjecturer les positions

possibles de A " quand M décrit le cercle (c).

À l"écrit

1) une figure papier soignée avec la construction de plusieurs points A" ;

2) justification de la conjecture faite.

Remarque

Cet exercice permet de revoir des constructions par symétrie orthogonale et d"étudier un

exemple de lieu géométrique.

Exercice 4 : Distance minimale

ABC est un triangle rectangle en A. P est un point du segment [BC]. M et N sont les projetés orthogonaux respectifs du point P sur les côtés [AB] et [AC].

Objectifs :

Déterminer la position du point P pour laquelle la distance MN est minimale.

Ce qu"on attend des élèves

Sur logiciel

1) construction d"une figure ;

2) affichage de longueurs.

À l"écrit

1) une figure papier soignée ;

2) justification de la conjecture faite

Remarque

L"exercice sera une occasion de revoir la distance d"un point à une droite et des propriétés du

rectangle. ENFA - Bulletin n°18 du groupe PY-MATH - Juin 2009 17

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Des éléments de réponses :

Exercice 1

Le triangle A"B"C" est équilatéral.

On pourra comparer les aires des triangles ABC et A "B"C" et établir que l"aire du triangle A "B"C" est sept fois supérieure à celle du triangle ABC. Compte tenu des informations précédentes : A "B" = 7 AB.

Exercice 2

Les droites (FC) et (TR) sont les droites des milieux de deux triangles ayant pour côté

commun [PN]. Voici différentes positions du prunier :

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Exercice 3

On pourra remarquer que, quelle que soit la position du point M, BA" = BA et en déduire les positions possibles de A".

Exercice 4

[MN] et [AP] sont les diagonales du rectangle AMPN.

La distance MN

= AP est minimale quand P est le projeté orthogonal de A sur [BC].quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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DYNAMIQUE

1 mais aussi d"une règle et d"un

Exercice 1 : Une histoire d"aires

On construit les points :

Objectifs :

Déterminer la nature du triangle A"B"C".

Comparer les aires des triangles ABC et A

Ce qu"on attend des élèves :

Sur le logiciel choisi

1) une construction de la figure ;

2) l"affichage du rapport des aires des triangles ABC et A

À l"écrit

1) une figure papier ;

2) la nature du triangle A

3) le rapport de l"aire du triangle A

4) la comparaison des longueurs des côtés des deux triangles.

Remarque

1) Cet exercice permet de revoir la symétrie centrale, les triangles isométriques et

2) Le problème pourrait être traité en remplaçant le triangle équilatéral par un triangle

1 Les membres du groupe Py-Math travaillent essentiellement avec Géoplan et Géogébra (deux logiciels

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Exercice 2 : La recherche du trésor

Ce qu"on attend des élèves :

Sur logiciel

1) la construction d"une figure ;

2) une recherche de la position du trésor pour différentes positions du prunier.

À l"écrit

1) une figure papier soignée faisant apparaître la position du trésor ;

2) la résolution de l"exercice.

Remarques

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Exercice 3 : Recherche d"un ensemble de points

Objectif :

Ce qu"on attend des élèves

Sur logiciel

1) construction d"une figure ;

2) utilisation du mode Trace pour conjecturer les positions

À l"écrit

1) une figure papier soignée avec la construction de plusieurs points A" ;

2) justification de la conjecture faite.

Remarque

Exercice 4 : Distance minimale

Objectifs :

Ce qu"on attend des élèves

Sur logiciel

1) construction d"une figure ;

2) affichage de longueurs.

À l"écrit

1) une figure papier soignée ;

2) justification de la conjecture faite

Remarque

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Des éléments de réponses :

Exercice 1

Le triangle A"B"C" est équilatéral.

Exercice 2

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Exercice 3

Exercice 4

La distance MN