Feuille 1 - Licence de mathématiques Lyon 1
3 Sinon (m 6= 0 et m 6= 1 ), le système est de Cramer et S= n 2(m2−2m−2) m(m−1), (m+1)(m−4) m(m−1), 4m+2 m(m−1) o (point) Exercice 3, a) (S) = ax+by +z = 1 x+aby +z = b x+by +az = 1 On utilise la méthode du pivot de Gauss On commence par effectuer une permutation des lignes, de manière à avoir un pivot égal à 1 (S) ⇔ x
Systèmes d’équations linéaires - Cours et exercices de
Exercice 1 1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de a, les systèmes suivants : ˆ
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES DÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA
PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d'exemple: S{3x 4y=5 6x 7y=8} Appelons A la colonne 3 6 , B la colonne 4 7 et C la colonne 5 8 Première étape Calcul du déterminant du système On considère les colonnes A et B et on calcule le déterminant du système S c'est à dire: =∣34
Alg ebre - unicefr
Exercice 5 { Nous consid erons le syst eme d’ equations lin eaires : (E) 2 6 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 (E 1) 2x 1 x 2 + 2x 3 3x 4 = 0 (E 2) 4x 1 5x 2 + 4x 3 11x 4 = 6 (E 3) : 1) Donner en utilisant avec pr ecision l’algorithme de triangulation du cours un syst eme triangul e ayant les
TD 3: systèmes linéaires - LAGA - Accueil
Systèmes de Cramer Exercice 14 lesystèmeci-dessousdesecondmembrequelconqueest-ildeCramer?Sioui,exprimerla solutiondecesystème 8
ÉTERMINANTS 2 Déterminants
(formules de Cramer) Si a1 b2 –a2b1=0 , le système (1) peut ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions En utilisant la notation des déterminants, les formules de Cramer s'écrivent : D= ∣a1 b1 a2 b2 Si D≠0 , alors x= ∣c1 b1 c2 b2∣ D, y= ∣a 1c a2 c2∣ D Exercice 2 6 Quand ce n'est pas possible, utilisez une
Exercicesduchapitre3aveccorrigésuccinct
1 Montrer que 3 des 6 permutations de S3 sont des transpositions, on notera ces transpositions ¾1,¾2,¾3 2 On note ¾0,¾4,¾5 les 3 autres permutations Montrer pour chacune d’elles qu’elle peut s’écrire comme composée de transpositions et ceci de plusieurs manières différentes : trouver à chaque fois au moins deux décompositions
S eance 5 - Université libre de Bruxelles
Math-F-207 Corrig e S eance 5 Exercice 3 En 1897, l’ economiste suisse Vilfredo Pareto (1848-1923), professeur d’ economie politique a l’universit e de Lausanne, eut l’id ee de mod eliser la loi des revenus en postulant que le nombre relatif
M´ethodes de Monte Carlo - ressources-actuariellesnet
deux, test de Kolmogorov-Smirnov, test de Cramer-von Mises) ou tout autre type de tests re-posant sur H 0 On peut par exemple utiliser les tests de la batterie Diehard (disponible sur http ://stat fsu edu/~geo) Dans la pratique, un g´en´erateur de nombres pseudo-al´eatoire peut sembler correct car valid´e
CTU,MasterEnseignementdes Mathématiques StatistiqueInférentielle
La théorie des tests d’hypothèses permet de répondre, entre autres, à toutes ces questions Dans ce domaine les erreurs sont également possibles : celles de choisir l’une des deux hypothèses alors que c’est l’autre qui est vraie L’objectif est alors naturellement de chercher à réduire au maximum ces deux erreurs mais nous verrons
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Exo7
Systèmes d"équations linéaires
Corrections d"Arnaud Bodin
Exercice 11.Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde
Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :2x+y=1
3x+7y=2
2.Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes
suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1Résoudre les systèmes suivants
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=08 :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=38 :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=cTrouver les solutions de
8>>< >:3x+2z=03y+z+3t=0
x+y+z+t=02xy+zt=0
Étudier l"existence de solutions du système : 8< :ax+by+z=1 x+aby+z=b x+by+az=1: 1 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réelsl,a,b,c,dle système : (S)8 >:(1+l)x+y+z+t=a x+(1+l)y+z+t=b x+y+(1+l)z+t=c x+y+z+(1+l)t=d Z 42P(x)dx=aP(2)+bP(3)+gP(4):
Indication pourl"exer cice6 NÉcrire les polynômes sous la formeP(x) =ax3+bx2+cx+d. CalculerR42P(x)dxd"une part etaP(2)+
bP(3)+gP(4)d"autre part. L"identification conduit à un système linéaire à quatre équations, d"inconnues
a;b;g.3Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la
deuxième équation3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911
Onendéduity:y=12x=12911
=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:2x+y=1
3x+7y=2()2x+y=1
11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écritAX=YavecA=2 1
3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :X=A1Y:
L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi
siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.Ici on trouve
A 1=111 713 2 etX=A11 2 =111 9 7
(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les
suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c f a b c dCe qui donne ici :
x= 1 1 2 7 2 1 3 7 911ety= 2 1 32
2 1 3 7 =711 2. (a)
A vanttout on re gardes"il e xisteune solution unique, c"est le cas si et seulement si le déterminant
est non nul. Pour le premier système le déterminant esta1 a2+1 2a
=a21 donc il y a une unique solution si et seulement sia6=1.Biensûrtouteslesméthodesconduisentaumêmerésultat! Parexempleparsubstitution, enécrivant
la première ligney=2ax, la deuxième ligne devient(a2+1)x+2a(2ax) =1. On en déduit que sia6=1 alorsx=4a1a21puisy=2a2+a2a
21.4 Traitons maintenant les cas particuliers. Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x+2y=1
Mais on ne peut avoir en même tempsx+y=2 etx+y=12 . Donc il n"y a pas de solution.Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x2y=1et il n"y a pas de solution.
(b)Ici le déterminant est
a+1a1 a1a+1 = (a+1)2(a1)2=4a. Sia6=0 alors on trouve la solution unique(x;y). Par exemple avec la formule de Cramer x= 1a1 1a+14a=12aety=
a+1 1 a1 14a=12a:
Sia=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice2 N1.Remarquons que comme le système est homogène (c"est-à-dire les coef ficientsdu second membre sont
nuls) alors(0;0;0)est une solution du système. Voyons s"il y en a d"autres. Nous faisons semblantde ne pas voir que la seconde ligne impliquex=yet que le système est en fait très simple à résoudre.
Nous allons appliquer le pivot de Gauss en faisant les opérations suivantes sur les lignesL2 L2L1et
L3 L3L1:
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=0()8 :x+yz=02y+z=0
3y+2z=0
On fait maintenantL3 2L3+3L2pour obtenir :
8< :x+yz=02y+z=0
7z=0 En partant de la dernière ligne on trouvez=0, puis en remontanty=0, puisx=0. Conclusion l"unique solution de ce système est(0;0;0). 2.On applique le pi votde Gauss L2 L2L1etL3 L3L1:
8< :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=3()8 :x+y+2z=52y3z=4
yz=2PuisL3 2L3L2pour obtenir un système équivalent qui est triangulaire donc facile à résoudre :
8< :x+y+2z=52y3z=4
z=0()8 :x=3 y=2 z=0 On n"oublie pas de vérifier que c"est une solution du système initial. 3. On f aitles opérations L2 3L2+L1etL3 3L3L1pour obtenir : 8< :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=c()8 :3xy+2z=a5y7z=3b+a
7y+z=3ca
5 Puis on faitL3 5L37L2, ce qui donne un système triangulaire : 8< :3xy+2z=a5y7z=3b+a
54z=5(3ca)7(3b+a)
En partant de la fin on en déduit :z=154
(12a21b+15c)puis en remontant cela donne 8< :x=118 (8a+5bc) y=118 (2a+b+7c) z=118 (4a7b+5c)Correction del"exer cice3 NOn commence par simplifier le système : on place la ligne L3en première position pour le pivot de Gauss ; on réordonne les v ariablesdans l"ordre : y;t;x;zpour profiter des lignes déjà simples. 8>>< >:y+t+x+z=03y+3t+z=0
yt+2x+z=03x+2z=0
On commence le pivot de Gauss avec les opérationL2 L23L1etL3 L3+L1pour obtenir : 8>>< >:y+t+x+z=03x2z=0
3x+2z=0
3x+2z=0
Les 3 dernières lignes sont identiques, on se ramène donc à un système avec 2 équations et 4 inconnues :
y+t+x+z=03x+2z=0
Nous choisissonsxetycomme paramètres, alorsz=32 xett=xyz=12 xy. Les solutions du système sont donc les x;y;z=32 x;t=12xyjx;y2RCorrection del"exer cice4 N1.Pour éviter d"a voirà di viserpar aon réordonne nos lignes puis on applique la méthode du pivot :
8< :x+by+az=1L1x+aby+z=bL2ax+by+z=1L3()8 :x+by+az=1L1b(a1)y+ (1a)z=b1L2 L2L1b(1a)y+ (1a2)z=1aL3 L3aL1 On fait ensuiteL3 L3+L2pour obtenir un système triangulaire équivalent au système initial : 8< :x+by+az=1 b(a1)y+ (1a)z=b1 (2aa2)z=ba 62.Nous allons maintenant discuter de l"e xistencedes solutions. Remarquons d"abord que 2 aa2=
(a1)(a+2). Donc sia6=1 eta6=2 alors 2aa26=0 doncz=ab(a1)(a+2). On a donc trouvé la valeur dez. La deuxième ligne du système triangulaire estb(a1)y+(1a)z=b1 on sait déjà a16=0. Sib6=0 alors, en reportant la valeur dezobtenue, on trouve la valeury=b1(1a)zb(a1). Puis avec la première ligne on en déduit aussix=1byaz. Donc sia6=1 eta6=2 etb6=0 alors il existe une unique solution(x;y;z). 3. Il f autmaintenant s"occuper des cas particuliers. (a) Si a=1 alors notre système triangulaire devient : 8< :x+by+z=1 0=b1 0=b1 Sib6=1 il n"y a pas de solution. Sia=1 etb=1 alors il ne reste plus que l"équationx+y+z=1. On choisit par exempley;zcomme paramètres, l"ensemble des solutions est (1yz;y;z)jy;z2R: (b)Si a=2 alors le système triangulaire devient :
8< :x+by2z=13by+3z=b1
0=b+2 Donc sib6=2 il n"y a pas de solution. Sia=2 etb=2 alors le système est x2y2z=12y+z=1
Si l"on choisitycomme paramètre alors il y a une infinité de solutions (12y;y;12y)jy2R: (c) Enfin si b=0 alors la deuxième et troisième ligne du système triangulaire sont :(1a)z=1 et (2aa2)z=a. Doncz=11a=a2aa2(le sous-casb=0 eta=1 n"a pas de solution). Dans tous les cas il n"y a pas de solution. (d)Conclusion :
Si a6=1 eta6=2 etb6=0, c"est un système de Cramer : il admet une unique solution. Si a=1 etb6=1 il n"y a pas de solution (le système n"est pas compatible). Si a=1 etb=1 il y a une infinité de solutions (qui forment un plan dansR3).Si a=2 etb6=2 il n"y a pas de solution.
Si a=2 etb=2 il y a une infinité de solutions (qui forment une droite dansR3).Si b=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice5 N1.On commence par simplifie rle système en ef fectuantles opérations sui vantessur les lignes : L1
L