Exemples détaillés de calculs de primitives et dintégrales

On souhaite déterminer les dimensions du motif de A 2 et 3 soient égales 1 Représentation des polynômes Les fonctions polynômes de degré 2, f 1, f 2 et f 3 définies sur [– 20 ; 50] sont respectivement un modèle mathématique pour les aires A 1, A 2 et A 3 Utiliser la calculatrice pour tracer les

EXERCICES 1 STD2A LES FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRÉ

EXERCICES 1 STD2A LES FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRÉ (2) Exercice 1 : Pour chacun des polynômes suivants, résoudre l'équation P( x) = 0

13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A

0 2 () () () avec polynôme de degré •= ∈ ϕ() ()xePx P n mRmx ∗ nnavec polynôme de degré et ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y e z avec z fonction de x =mx ou bien non racine de l équation caractéristique racine simple racine double avec polynôme de degré myeQx myexQx myexQx Qn SP II mx n SP II mx n SP II mx

Ressources pour le - educationfr

Pour aller plus loin, j’ai pensé utiliser une fonction polynôme de degré 2 pour modéliser la courbe verte qui ressemble à un morceau de parabole J’ai tâtonné avec trois curseurs, je suis certaine que w=0, et que u et v sont opposés Mais ça ne marche pas, je n’ai pas réussi à superposer les courbes • Expliquer pourquoi w=0

Un exemple de progression en classe de seconde - Argos 20

fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété • Résoudre graphiquement et algébriquement des équations du type 2+ + =???? en choisissant l’exp ession la plus appropriée du polynôme 2 + =???? • Résoud e une iné uation à pati de l’étude du signe d’une expession poduit

11 Polynômes et opérations 1 12 Identités remarquables et

1) le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b 2) l’aire totale des faces d’un parallélipipède rectangle de dimensions x, y et z 3) la somme des aires de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 2r 4) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x , 3x et 9x

NOM : SECOND DEGRE 1ère S

f) la courbe représentative de fdans un repère (O; i; j) 1) Préciser la nature de la courbe (C f) et les coordonnées de son sommet S 2) Montrer que la courbe (C f) coupe l’axe des abscisses en deux points Aet Bdont on précisera les coordon-nées 3) Pour quelles valeurs de xla courbe (C f) est-elle située au dessus de l’axe des

BULLETIN DE LA - ResearchGate

degré d ^ 2 et à coefficients entiers, tous de longueur binaire majorée par ^ alors le système d'inégalités polynomiales Fi < 0, , Fs < 0 admet Texte reçu le 13 avril 1992

Exemples détaillés de calculs de primitives et dintégrales

3x2+4x 7 reconnaissance de la dérivée d'arctan 8 Inverse de la racine carrée Changement de ariablev puis d'un polynôme de degré 2 p 1 3x2+4x 7 reconnaissance de la dérivée d'arcsin 9 Élément simple de seconde espèce 1 (ax2+bx+c)n Écriture du polynôme sous sa forme 8n(ex : q P(x) lorsque n= 1 2) ax+b (cx2+dx+e)n canonique puis

Programmes de maths de licence MIASHS 2020-2024

(d)Théorème de D'Alembert-Gauss, polynômes irréductibles sur C et sur R, factorisation (e)ractionsF rationnelles : dé nition, éléments simples, pratique de la décomposition en éléments simples 4 Géométrie élémentaire du plan (1-2 semaines) (a)ecteursV du plan, mode de repérage dans le plan (coordonnées cartésiennes, polaires)

3ln(x)R

8n??? ?qP(x)???????n=12

??sin(x)??cos(x)sin sin Z 4

11pxpx

dx u=px=)x=u2=)dx= 2udu Z 4

11pxpx

dx=Z 2 11uu 2udu Z 2

1(22u)du

2uu22 1 =1 Z 2

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx

u= sin(x) =)du= cos(x)dx Z 2

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx=Z

1 01u

25u+ 6du

25u+ 6=1(u2)(u3)

(u2)(u3)(u2)(u3) u2(u2)(u3)u3(u2)(u3)

1u31u2

01u

25u+ 6du=Z

1 0

1u31u2!

du Z 1

01u3duZ

01u2du

lnju3j# 1 0 lnju2j# 1 0 ln u3u2 1 0 = ln2ln32 Z 2

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx= ln43

Zxcos

2(x)dx

1cos 8 >>:u

0=1cos

2(x)=)u= tan(x)

v=x=)v0= 1 Zxcos

2(x)dx=xtan(x)Z

tan(x)dx =xtan(x)lnjsec(x)j =xtan(x)ln1cos(x) Z

4p1 +x3x

dx u=4p1 +x3=)u4= 1 +x3 =)x=3pu

41 = (u41)13

=)dx=13 (u41)23 4u3du Z

4p1 +x3x

dx=Zu3 pu 4113
(u41)23 4u3du Z43 (u41)13 (u41)23 u4du 43
Z u4u 41du
u4u u 4u

41= 1 +1u

41
1u 1u

41=au1+bu+ 1+cu+du

????c= 0??d=12 u 4u

41= 1 +14

1u114

1u+ 112

1u 2+ 1 Z u4u

41du=u+14

lnu1u+ 1 12 arctan(u) Z

4p1 +x3x

dx=43 Z u4u 41du
43
u+13 lnu1u+ 1 23
arctan(u)

44p1 +x33

+13 ln 4 p1 +x314 p1 +x3+ 1 23
arctan

4p1 +x3

Ztan(x)1 + cos(x)dx

Ztan(x)1 + cos(x)dx=Zsin(x)cos(x)

1 + cos(x)

Zsin(x)cos(x)

1 + cos(x)

dx=Zduu 1 +u

1u(1+u)=1u

11+u?? ??????? ?

Zduu(1 +u)=Z1u

+Z11 +u =lnjuj+ lnj1 +uj = ln 1 +uu

Ztan(x)1 + cos(x)dx= ln1 + cos(x)cos(x)

Z sin(lnx)dx Z sin(lnx)dx=Z sin(u)eudu 8>< :u

0=eu=)u=eu

v= sin(x) =)v0= cos(x)

Ru0:v=u:vRu:v0?

Z e usin(u)du=eusin(u)Z e ucos(u)du 8>< :u

0=eu=)u=eu

v= cos(x) =)v0=sin(x)

Ru0:v=u:vRu:v0?? ??????? ?

Z e ucos(u)du=eucos(u) +Z e usin(u)du Z e usin(u)du=eusin(u)Z e ucos(u)du =eusin(u)eucos(u)Z e usin(u)du 2 Z e usin(u)du=eusin(u)eucos(u) =)Z e usin(u)du=e u sin(u)cos(u)2 Z sin(lnx)dx=x sin(lnx)cos(lnx)2

Zxxlnx1x(lnx)2dx

u0u n? ???? ??????

1x(lnx)2??? ?? ??????? ??1lnx? ????? ???

8>>>< >>:u

0=1x(lnx)2=)u=1lnx

v=xxlnx1 =)v0=lnx

Zxxlnx1x(lnx)2dx=xxlnx1lnxZ

dx =xxlnx1lnxx

Z2sin(x) + 3cos(x)3sin(x) + 2cos(x)dx

Z2sin(x) + 3cos(x)3sin(x) + 2cos(x)dx=Z2tan(x) + 33tan(x) + 2dx tan(x)? u= tan(x) =)x= arctan(u) =)dx=du1 +u2

Z2tan(x) + 33tan(x) + 2dx=Z2u+ 33u+ 2du1 +u2

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)=a3u+ 2+bu+c1 +u2

?? ???????a=1513 ??c=1213

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)=1513(3u+ 2)+5u+ 1213(1 +u2)

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)du=1539

lnu+23 526
ln 1 +u2 +1213
arctan(u) Z

2sin(x) + 3cos(x)3sin(x) + 2cos(x)dx=513

lntan(x) +23 526
ln

1 + tan

2(x) +1213
Z

1x2(1 +x2)p1 +x4dx

u=x+1x =)dudx = 11x 2 =) x du=1x2x dx =)u22 =x2+1x 2 Z

1x2(1 +x2)p1 +x4dx=Z1x2x

1 +x2x

p1 +x4dx

Zx duu

p1 +x4 Zduu s1 x 2+x2 Zduu pu 22
t=p2 u =)dtdu =p2 u 2 =)dtt =duu =)u22 = 21t2t 2 Z duu pu 22=Z
duus 2 1t2t 2 1p2 Z dtts1t2t 2 1p2 Z dtt1 t p1t2 1p2 Z dtp1t2 1p2 arcsin(t) Z

1x2(1 +x2)p1 +x4dx=1p2

arcsin(t) 1p2 arcsin p2 u 1p2 arcsin xp2

Z11 + sin

3(x) + cos3(x)dx

11 + sin

3(x) + cos3(x)dx=Z1

1 + sin(x)

sin

2(x) +

1 + cos(x)

cos

2(x)dx

u= tanx2 =)dx=2du1 +u2 =)cos(x) =1u21 +u2 =)1 + cos(x) =21 +u2 =)sin(x) =2u1 +u2 =)1 + sin(x) =(1 +u)21 +u2 Z dx1 + sin

[PDF] Exemples détaillés de calculs de primitives et dintégrales

3ln(x)R

8n??? ?qP(x)???????n=12

11pxpx

11pxpx

1(22u)du

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx=Z

25u+ 6du

25u+ 6=1(u2)(u3)

1u31u2

25u+ 6du=Z

1u31u2!

01u3duZ

01u2du

0cos(x)sin(x)25 sin(x) + 6dx= ln43

2(x)dx

0=1cos

2(x)=)u= tan(x)

2(x)dx=xtan(x)Z

4p1 +x3x

41 = (u41)13

4p1 +x3x

41= 1 +1u

41=au1+bu+ 1+cu+du

41= 1 +14

1u+ 112

41du=u+14

4p1 +x3x

44p1 +x33

4p1 +x3

Ztan(x)1 + cos(x)dx

Ztan(x)1 + cos(x)dx=Zsin(x)cos(x)

1 + cos(x)

Zsin(x)cos(x)

1 + cos(x)

1u(1+u)=1u

11+u?? ??????? ?

Zduu(1 +u)=Z1u

Ztan(x)1 + cos(x)dx= ln1 + cos(x)cos(x)

0=eu=)u=eu

Ru0:v=u:vRu:v0?

0=eu=)u=eu

Ru0:v=u:vRu:v0?? ??????? ?

Zxxlnx1x(lnx)2dx

1x(lnx)2??? ?? ??????? ??1lnx? ????? ???

0=1x(lnx)2=)u=1lnx

Zxxlnx1x(lnx)2dx=xxlnx1lnxZ

Z2sin(x) + 3cos(x)3sin(x) + 2cos(x)dx

Z2tan(x) + 33tan(x) + 2dx=Z2u+ 33u+ 2du1 +u2

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)=a3u+ 2+bu+c1 +u2

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)=1513(3u+ 2)+5u+ 1213(1 +u2)

2u+ 3(3u+ 2)(1 +u2)du=1539

2sin(x) + 3cos(x)3sin(x) + 2cos(x)dx=513

1 + tan

1x2(1 +x2)p1 +x4dx

1x2(1 +x2)p1 +x4dx=Z1x2x

1 +x2x

Zx duu

1x2(1 +x2)p1 +x4dx=1p2

Z11 + sin

3(x) + cos3(x)dx

11 + sin

3(x) + cos3(x)dx=Z1

1 + sin(x)

2(x) +

1 + cos(x)

2(x)dx

3(x) + cos3(x)=Z2du1 +u2(1 +u)21 +u2

2u1 +u2!

1u21 +u2!

Z2(1 +u2)2du2(1u2)2+ 4u2(1 +u)2

Z2(1 +u2)2du2(1 +u)2

Z(1 +u2)2du(1 +u)2(3u22u+ 1)

8>>>>>>>><

1 +u+49

3u22u+ 1

13u22u+ 1=13(u13

Z(1 +u2)2du(1 +u)2(3u22u+ 1)=Zdu3

23(1 +u)4 ln(1 +u)9