ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES
La matrice de passage PB ′ B de B à B′ est alors une matrice orthogonale Il est donc facile de calculer son inverse : PB′ B −1 = PB′ B ⊤ Démonstration Notons f l’unique endomorphisme de E qui envoie B sur B′ Comme B et B′ sont deux bases orthonormales, f est une isométrie vectorielle, donc la matrice : PB′ B =MatB(B
TD 8 — Espaces préhilbertiens réels et euclidiens
a)sest une symétrie orthogonale (i e G=F⊥) ; b)sest un automorphisme orthogonal ; c)sest un endomorphisme symétrique 9 c DécompositionQR: soit A∈GLn(R); montrer qu’il existe une matrice orthogonale Q∈On(R) et une matrice triangulaire supérieure R (“righttriangular”) telles que A =QR (onpourrautiliser
51MT2MM4 : Algèbre et analyse fondamentales II Pré requis
· isométrie d’un espace euclidien de dimension finie ; matrice orthogonale ; groupe orthogonal ; classification des matrices orthogonales de taille 2 ; rotation et symétrie vectorielle en dimension 2 ou 3
Chapitre 9 E Isométries dun espace euclidien B L
3 Montrer que ’ est une symétrie Déterminer ses caractéristiques 4 Calculer le déterminant de ’ Exercice 3 : Soit E un espace euclidien et soit u 2O(E) 1 Montrer que Sp(u) ˆf 1;1g 2 Montrer que si u est diagonalisable, alors u est une symétrie orthogonale Exercice 4 : Déterminer les matrices triangulaires supérieures de O n(R)
Chapitre 10 : Exercices
2 Montrer que si u est diagonalisable, alors u est une symétrie orthogonale Exercice 7 Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée B = (i,j) Étudier l’endomorphisme u ∈ L (E)dont la matrice dans la base B est 1 1 2 √ 2 − √ √ 2 2 √ 2 ; 2 1 2 1 √ √ 3 3 −1 Exercice 8
Banque PT 2020 – Épreuve A - bagbouton
4 On note s la symétrie orthogonale par rapport à F Écrire la matrice de s dans la base canonique 5 On appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan Écrire la symétrie s comme composée de deux réflexions (on pourra se placer dans une base adaptée à s) Partie IV Soit E = Rn Soit f une isométrie de E
Programme de colle : du 25 janvier au 29 janvier
7 Symétrie orthogonale Ce sont des isométries Expression de la symétrie orthogonale s F en fonction du projecteur orthogonal sur F 8 Classification des matrices de O2 (R) Classification des isométries d’un plan euclidien 1
LDDR Niveau II : Algebre Lineaire - WordPresscom
Symétrie d'axe Ox, symétrie d'axe Oy Symétrie centrale Symétrie d'axey = x Rotation de 300 Projection orthogonale sur l'axe Ox, Projection orthogonale sur l'axe sur l'axe Oy Projection sur I'axe Ox de direction d = u +112 Projection orthogonale sur I'axe de direction d — 217 +3172 Symétrie d'axe de direction d = 2711 +317
Exercices17 Espacespréhilbertiensréels
symétrie orthogonale par rapport à F 13 CentralePC-2014 Soient (E,hi) un espace euclidien et a un vecteur unitaire de E Pour fi2 R , on pose f fi : x 2E 7 x ¯fih a , x i a
SERIE 10 - WordPresscom
Donner la matrice SQ de la symétrie axiale dont, l'axe fait un angle de Q avec l'axe c Donner la matrice de la rotation d'un angle tç Pronostiquer et vérifier par calcul matriciel les résultats de Sn et Ro RI'
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