Analyse Complexe Alain Yger

Alain, Propos sur l’éducation (1932) 13 Alain (Émile Chartier) (1868-1951) Propos sur l’éducation Paris : Les Presses universitaires de France, 1967, 13e édition, 202 pp Retour à la table des matières

1 VIRGULEVIRGULE - EFBA

outils au fil des cours Pour les «classes d’examens », les niveaux MF2 pour la préparation au DELF A1, et GF2 pour la préparation au DELF A2, nous allons inclure des exercices d’entraînement spécifiques à la fin de chaque cahier dans les éditions à paraître en juillet 2018 1 1

Compréhension de textes (question à réponse écrite) HABILETÉS

acquises depuis qu’ils sont à l’école et non pas uniquement pendant l’année en cours • Les résultats de l’ÉHB aident les écoles, les comités de planification, les districts et le Ministère à évaluer le progrès réalisé par les élèves et à décider si des mesures correctives sont nécessaires

Programme d’études et Guide pédagogique

Avant-propos C’est avec plaisir que le ministère de l’Éducation et du Développement de la petite enfance de l’Île-du-Prince-Édouard présente aux éducateurs de l’Île la présente version préliminaire de son nouveau Programme de français de base au niveau intermédiaire (7ee, 8 et 9e années) En 1990, à la suite des

Int egration et Equations di erentielles Licence Math

les r ef erences sur lesquelles s’appuiera ce cours, on mentionne les chapitres 14-15-16 de [MathL2], le cours de Th eorie de l’Int egration [Yint] (dont on ne retiendra ici que l’aspect ˝ pratique ˛, la partie II de [L3An] (m^eme re-marque) Une liste d’exercices propos es en TP (en 2011-2012) par Stanislas

Luc Lasne - Dunod

1 2 Série d’exercices n° 1 : Circuits monophasés et puissances électriques 12 1 2 1 Énoncés 12 1 2 2 Correction des exercices 15 1 3 Synthèse de cours n° 2 : Systèmes triphasés 20 1 3 1 Système triphasé : les bases 20 1 3 2 Puissances en triphasé 24 1 3 3 Schéma équivalent monophasé d’un système équilibré 25

IN201 : Corrig e de l’examen

sont les photocopies distribu ees en cours et les notes manuscrites que vous avez prises lors du cours Il sera tenu compte de la r edaction Remarque importante : dans tous les exercices, il sera tenu compte de la syntaxe UML lors de l’ ecriture de diagrammes 1 Mod elisation objet d’un portail pour SUPAERO

Analyse Complexe Alain Yger - u-bordeauxfr

R esum e Ce cours vise `a pr´esenter, au niveau M1, tant les aspects analytiques, alg´ebriques, g´eom´etriques (sans n´egliger leur accompagnement historique et culturel) de l’Analyse Complexe en une variable Il correspond a l’enseignement de cette UE `a l’Automne 2013

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Comptabilité de gestion - CORE

du DESCF, examens de l’INTEC) ; – les cadres qui, dans le cours de leur carrière, doivent prendre des responsabilités supposant une plus grande maîtrise du contrôle de gestion Comptabilité de gestion est un manuel complet comportant de nombreux exemples et des applications corrigés

Analyse Complexe

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

Version du 5 janvier 2014.

R esume. Ce cours vise `a pr´esenter, au niveau M1, tant les aspects analytiques, alg´ebriques, g´eom´etriques (sans n´egliger leur accompagnement historique et culturel) de l'Analyse Complexe en une variable. Il correspond `a l'enseignement de cette UE `a l'Automne 2013.

Table des mati`eres

Introduction1

Chapitre 1. Le plan complexe et les formes diff´erentielles dans le plan3

1.1. Le plan complexe et ses compactifications3

1.2. Formes diff´erentielles dans un ouvert du plan complexe10

1.3. Int´egration des formes diff´erentielles20

1.4. Formes localement exactes et chemins continus38

Chapitre 2. Holomorphie et analyticit´e55

2.1. Fonctions holomorphes : plusieurs points de vue55

2.2. Formules de Cauchy et analyticit´e65

2.3. Les in´egalit´es de Cauchy et leurs cons´equences76

Chapitre 3. Singularit´es isol´ees, m´eromorphie et th´eor`emes d'approximation 89

3.1. Singularit´es isol´ees des fonctions holomorphes89

3.2. Types de singularit´es isol´ees, m´eromorphie99

3.3. Th´eor`eme de Weierstraß et r´esolution du

∂124

Chapitre 4. Fonctions harmoniques dans le plan147

4.1. Harmonicit´e et sous-harmonicit´e147

4.2. Autour du probl`eme de Dirichlet153

4.3. Formules de Jensen et Poisson-Jensen170

Annexe A. Texte et corrig´e du DS - 2011-2012177 Annexe B. Texte et corrig´e - Examen 2011-2012187 Annexe C. Texte et corrig´e du DS - 2012-2013199 Annexe D. Texte et corrig´e - Examen 2012-2013209 Annexe E. Texte et corrig´e du DS - 2013-2014225 Annexe F. Texte et corrig´e - Examen 2013-2014227

Bibliographie237

Index239

Introduction

Ce cours suppose comme pr´erequis le bagage concernant les s´eries de fonctions, en particulier les s´eries enti`eres et les s´eries de Fourier, acquis en Licence 2 (dans l'UEAnalyse 3, ex UE MHT 401 [Y0]), ainsi que les bases du calcul diff´erentiel acquises en Licence 3 (dans l'UECalcul Diff´erentiel et Equations Diff´erentielles, ex UE MHT 513); le guide sous le serveurUlysse1≪Annales : Contrat MAT401

Printemps 2007

≫(s´eances 7,8,9) vous permettra en particulier de r´eviser vos ac- quis de Licence en ce qui concerne les s´eries enti`eres et l'analyticit´e; pour ce qui est des bases de calcul diff´erentiel n´ecessaires, les chapitres 14-15-16 de [MathL2] contiennent tous les outils qui me seront utiles. Au travers de ce cours, on entend d´egager certaines id´ees invitant `a des prolongements ult´erieurs, tant sur l'angle ana- lytique que g´eom´etrique, voire topologique (analyse complexe en plusieurs variables, surfaces de Riemann). Les principaux ouvrages dont je me suis inspir´e, outre les chapitres 1-2-4 de [Y], sont ceux de Carlos Berenstein et Roger Gay ([BG], cha- pitres 1-2-3-4, l'ouvrage qui a inspir´e la r´edaction de [Y]), d'Eric Amar et Etienne Matheron [AM], de Mats Andersson [And]. On ajoutera aussi le livre (aujour- d'hui tr`es classique) de Walter Rudin [Rud], r´ef´erence bien connue des candidats `a l'agr´egation. Le polycopi´e r´edig´e par Philippe Charpentier [Charp] pour l'UE MHT

734 (`a 9 ECTS, `a laquelle cette nouvelle UE, cette fois `a 6 ECTS, se substitue)

m'a aussi beaucoup servi; les exercices accompagnant ce cours correspondent en fait pour la plupart aux exercices d'accompagnement de cette UE MHT 734 pendant les ann´ees 2009-2010 et 2010-2011; beaucoup sont extraits des listes d'exercices (non

corrig´es) de [BG]; on les trouvera regroup´es sous forme de fascicule (d´etaill´es, mais

non corrig´es

2) dans [Y1]. Il faut toutefois signaler que l'UE MHT 734 ´etant une

UE `a 9 ECTS, son contenu englobe des points qui ne seront pas ´evoqu´es ici : formes diff´erentielles et calcul ext´erieur en dimensionn >2, analyse harmonique dansRn avecn >2, th´eor`eme de Riemann et repr´esentation conforme, th´eor`eme de la mo- nodromie, etc. La lecture du polycopi´e [Charp] permet aux ´etudiants int´eress´es d'aller au del`a de ces notes de cours. Les aspects culturels et historiques de l'Ana- lyse complexe ne sont pas `a n´egliger. Toutes les r´ef´erences historiques ´emaillant ces notes sont extraites du sitehttp://www.gap-system.org/∼historyauquel j'invite vivement `a se reporter pour situer les noms et le cheminement des id´ees au travers des si`ecles (du XVIII-i`eme au XX-i`eme), en des temps o`u l'analyse com- plexe a constitu´e tant un fil directeur (et unificateur) qu'un pr´ecieux auxiliaire, ce pr´ecis´ement `a l'heure o`u les calculateurs efficaces n´es avec l'informatique n'exis- taient pas encore!

1. Y acc´eder par l'espace Formation sous votre ENT et d´erouler les onglets `a partir de

Formation initiale pour trouver ce guide sous le site de la Licence Math´ematiques, Parcours

Math´ematiques Fondamentales, semestre 4.

2. Certains cependant, pr´esent´es sous une forme parfois diff´erente, sont corrig´es dans [Y].

CHAPITRE 1

Le plan complexe et les formes diff´erentielles dans le plan

1.1. Le plan complexe et ses compactifications

1.1.1. Deux structures surR2.

L'ensembleR2des couples de nombres r´eels

est naturellement ´equip´e d'une structure deR-espace vectoriel; c'est leplan (vec- toriel) r´eel. Le choix du pointO= (0,0) comme origine et de la base canonique ⃗i,⃗j) comme base de ceR-espace vectoriel fournit unrep`ere(orthornorm´e pour le produit scalaire usuel) pour leR-espace affinecorrespondant, ditplan (affine) r´eel. On sait d'autre part qu'il existe une correspondance biunivoque entreR2etCvia (1.1)(x,y)←→x+iy (au pointMde coordonn´ees (x,y) dans le rep`ere (O;⃗i,⃗j), on associe sonaffixe). L'ensembleR2peut ainsi ˆetre ´equip´e d'une structure deC-espace vectoriel, la mul- tiplication externe ´etant (α+iβ)·(x,y) = (αx-βy,αy+βx), ce en conformit´e avec la r`egle de calcul alg´ebrique (α+iβ)×(x+iy) = (αx-βy) +i(αy+βx) et la correspondance biunivoque (1.1) entre les points du plan affine r´eel et leurs affixes. L'ensemble des couples (x,y) de nombres r´eels, une fois identifi´e `aCet ´equip´e de cette structure deC-espace vectoriel, est leplan (vectoriel) complexe. Il s'agit d'unC-espace vectoriel de dimension 1 (alors qu'avec la structure deR-espace vectoriel, nous avions affaire `a unR-espace vectoriel de dimension 2). En prenant comme rep`ere (0;1) (1 ´etant ici le nombre complexe 1×1+0×i), on dispose d'un rep`ere pour leC-espace affine correspondant, ditplan complexe. Notons toutefois que cette terminologie est ´equivoque car il s'agit d'unC-espace vectoriel complexe de dimension 1, donc d'une droite complexe, et non d'un plan! On la conserve n´eanmoins dans la pratique courante. Les points deR2sont ainsi rep´er´es de deux mani`eres : par le couple (x,y) de leurs coordonn´eescart´esiennes,R2(vu comme plan affine r´eel, ´equip´e de sa structure deR-espace affine de dimension 2) ´etant rapport´e au rep`ere (O;⃗i,⃗j); par leur affixe complexez=x+iy,R2´etant ici vu comme le plan complexe, c'est-`a-dire leC-espace affineC(´equip´e de sa structure deC-espace vectoriel de dimension 1). 3

41. LE PLAN COMPLEXE ET LES FORMES DIFF´ERENTIELLES DANS LE PLAN

Laconjugaison complexez7→

zsera appel´ee `a jouer un rˆole majeur . Les formules de ≪passage≫des coordonn´ees (x,y) aux≪fausses coordonn´ees≫(z, z) sont z=x+iy z=x-iy x=z+ z 2 y=z- z

2i.(1.2)

La raison pour laquelle nous parlons de

≪fausses coordonn´ees≫`a propos du couple (z, z) est la suivante : au contraire de (x,y), le couple (z, z) ne saurait ˆetre interpr´et´e comme un syst`eme de param`etres ind´ependants car zest fonction dez(c'est le conjugu´e)! Le param`etre complexez=x+iyint`egre `a lui seul les deux degr´es de libert´e dont d´epend le point courant deR2; avec la connaissance `a la fois dezet z, nous avons automatiquement une information redondante. Nous verrons cependant dans la suite de ce cours que les formules (1.2) s'av`ereront n´eanmoins utiles : on fera comme si≫le couple (z, z) joue le rˆole d'un couple de param`etres ind´ependants : une fonction (x,y)7→f(x,y) d'un ouvertUdeR2, `a valeurs dansC, s'exprime en effet, grˆace aux formules (1.2), comme une fonctiongdezet z(d´efinie cette fois dansU×conj(U)) : ∀(x,y)∈U, f(x,y) =f(z+ z 2 ,z- z 2i) =g(z, z).

Un autre rep´erage des points du plan complexe (ramen´e au rep`ere (O;⃗i,⃗j)) s'av`ere

possible. C'est lerep´erage polaire, o`u, pourz∈C∗, x

2+y2θ(z) = arg(z)

z=rexp(iθ) =r(cosθ+isinθ).(1.3) Siz= 0, on ar= 0, mais la d´efinition de l'argument devient irrelevante. Notons que dans cette formule (1.3), l'exponentielle complexe est d´efinie comme la somme de la s´erie enti`ere (de rayon de convergence +∞, voir le cours de MHT 401, on y reviendra plus loin) exp(w) :=∞∑ k=0w k k!∀w∈C, les fonctions trigonom´etriques (complexes) cos et sin s'en d´eduisant par les relations d'Euler (1.4) cosw:=exp(iw) + exp(-iw) 2 sinw:=exp(iw)-exp(-iw)

2i∀w∈C.

En revanche, la

≪fonction≫z7→argzn'est pas une fonction au sens usuel (`a une entr´eez, on n'associe pas une≪valeur≫argz); l'argument en effet n'est d´efini que modulo 2πet ce que l'on convient de noter argz, lorsquezest un nombre complexe non nul, est l'ensemble de toutes les d´eterminations possibles de l'argument, parmi elles la d´etermination (diteprincipale), que l'on note Argz, et qui est par convention celle appartenant `a l'intervalle ]-π,π]; ainsi, siz∈C∗, argz= Argz+ 2πZ={2arctan( x

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