MATHÉMATIQUES DISCRÈTES
7I 3 Opérations sur les ensembles Remarque I 3 On a P(˘) = f˘get P(P(˘)) = f˘,f˘gg La notation ˘ décrit un ensemble qui ne contient rien alors que f˘gdécrit un ensemble contenant un élément, l’ensemble vide
Mathématiques discrètes, 1ère année
Le langage mathématique En mathématiques, après un raisonnement ou un calcul on se pose (presque) toujours deux questions : 1 a-t-on bien utilisé toutes les hypothèses du problème? 2 ne pourrait-on pas améliorer le raisonnement ou le calcul en supprimant l'une des hypothèses?
Mathématiques Discrètes - fil
1 k +1 2k k 6n 2k n 2k Q 3 5 [1 point] CombiendeprogrammesBrainfuck delongueurn ,syntaxiquementcorrects,peut-on écrire? On donnera le résultat sous la forme d’une somme qu’on ne cherchera pas à calculer Éléments de
Introduction aux mathématiques discrètes
I communiquer ses idées dans un langage mathématique propre I comprendre les autres, I raisonner (terminaison d’un programme, etc ) 2/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 2
NOTES DE COURS POUR LE COURS MATHÉMATIQUES DISCRÈTES MAT1500
NOTES DE COURS POUR LE COURS MATHÉMATIQUES DISCRÈTES MAT1500 ABRAHAM BROER Références [R] Kenneth H Rosen, Mathématiques discrètes, Édition révisée Chenelière McGraw-Hill, 2002
MAT210 Logique et math matiques discr tes : Cours 1
2 1 RAISONNEMENTSVALIDES 3 Solution: Ce raisonnement est valide Il s’agit d’unmodus tollens p →q ¬q e ∴ ¬p où p désigne «il pleut» et q désigne «les trottoirssont mouillés»
Université Pierre et Marie Curie Master IAD Module PDML
On appelle prgroammation mathématique discrète l'étude des programmes mathé-matiques discrets Il s'agit d'un domaine plutôt récent qui n'est pas constitué d'une seule approche théorique Il existe beaucoup de cas particuliers, de cadres théoriques ou expérimentaux qui ont apporté des réussites parfois surprenantes : c'est le cadre
Méta-mathématique
Mathématique discrète ISommes et produits nis Leçon - 1 -Sommes et produits nis ( pdf correction)(tex) IIThéorie des graphes Leçon - 1 -Graphes approche
Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
L’espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la valeur moyenne espérée par un observateur lors d’une réalisation de la variable aléatoire X On a : E[X] = XN i=1 pi xi = XN i=1 xi P[X = xi] lorsque X peut prendre N valeurs différentes x1;:::;xN avec
Livret de formules pour le cours de mathématiques NM
Tables des matières Acquis préliminaires 2 Thèmes 3 Thème 1 − Algèbre 3 Thème 2 − Fonctions et équations 4
[PDF] fiche pedagogique environnement fle
[PDF] cornériser définition
[PDF] la démocratie dans le monde d'aujourd'hui pdf
[PDF] arguments pour la démocratie
[PDF] vocabulaire environnement fle
[PDF] signifiant signifié référent
[PDF] signifiant signifié semiologie
[PDF] signe plastique sémiologie
[PDF] signification emoji francais
[PDF] insérer note de bas de page openoffice
[PDF] openoffice note de bas de page sur deux pages
[PDF] numérotation bas de page open office
[PDF] dans un traitement de texte comment doit-on faire pour numéroter automatiquement les pages ?
[PDF] note de bas de page exemple
MATHÉMATIQUES DISCRÈTESMathieu SABLIK
Table des matières
I Introduction à la théorie des ensembles
5I.1 Notions sur les ensembles
5 I.1.1 Construction par extension et compréhension 5I.1.2 Principales règles de fonctionnement
5I.1.3 Représentation
6I.2 Sous-ensembles
6I.2.1 Inclusion
6I.2.2 Ensemble des parties
6I.3 Opérations sur les ensembles
7I.3.1 Union et Intersection
7I.3.2 Différence et complémentaire
7I.3.3 Produit cartésien
8II Notions sur les langages
9II.1 Exemples de problèmes
9II.2 Mots sur un alphabet fini
9II.2.1 Un peu de vocabulaire
9II.2.2 Propriété d"équidivisibilité
10II.3 Langage
11II.3.1 Définition et exemples de langages
11II.3.2 Opérations sur les langages
11II.3.3 Equations sur les langages
11III Fonctions et applications
13III.1 Premières notions
13III.1.1 Définition
13III.1.2 Modes de représentation
14III.1.3 Composition de fonction et d"applications
16III.1.4 Applications singulières
17III.2 Propriétés sur les fonctions
17III.2.1 Injection et surjection
17III.2.2 Bijection et application réciproque
17III.3 Quelques classes importantes de fonctions
18III.3.1 Fonction caractéristique d"un ensemble
18III.3.2 Suites
19IV Cardinalité21
IV.1 Cardinalité des ensembles finis
21IV.1.1 Ensembles de même cardinalité
21IV.1.2 Cardinal d"un ensemble fini
21TABLE DES MATIÈRES2
IV.1.3 Principe des tiroirs
22IV.2 Dénombrement
23IV.2.1 Dénombrement et opération sur les ensembles 23
IV.2.2 Arrangements et combinaisons
26IV.3 Cas des ensembles infinis
29IV.3.1 Définition et premiers exemples d"ensembles dénombrables 29
IV.3.2 Critères de dénombrabilité
30IV.3.3 Ensembles non dénombrables
3131
V Relations sur les ensembles
33V.1 Vocabulaire des relations
33V.1.1 Définition
33V.1.2 Modes de représentations
33V.1.3 Quelques notions proches
34V.2 Propriétés sur les relations
35V.3 Relations d"équivalence
36V.3.1 Définition et exemples
36V.3.2 Classes d"équivalence et partition
37V.3.3 Ensemble quotient
38VI Relations d"ordre
39VI.1 Premières notions
39VI.1.1 Définition
39VI.1.2 Exemples de relations d"ordre classiques
39VI.1.3 Mode de représentation
40VI.1.4 Fonctions croissantes et décroissantes
40VI.2 Bornes d"un ensemble
41VI.3 Induction
42VI.3.1 Ordre bien fondé
42VI.3.2 Application à l"étude de la terminaison d"algorithme 42
VI.3.3?et le principe de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VI.3.4 Principe d"induction
45VI.3.5 Définition inductive
45VIIQuelques problèmes sur les graphes
49VII.1Différents problèmes à modéliser
49VII.2Premières propriétés
50VII.2.1 Graphe orienté ou non
50VII.2.2 Isomorphisme de graphe
51VII.2.3 Degré
51VII.3Quelques classes de graphe importantes
52VII.3.1 Graphes isolés
52VII.3.2 Graphes cycliques
52VII.3.3 Graphes complets
52VII.3.4 Graphe biparti
53VII.3.5 Graphes planaires
53VII.3.6 Arbres
53VII.4Problèmes de coloriages
54VII.4.1 Position du problème
54VII.4.2 Exemples d"applications
54VII.4.3 Nombre chromatique de graphes classiques
55VII.4.4 Comment calculer un nombre chromatique?
55VII.4.5 Résolution algorithmique
55VII.4.6 Cas des graphes planaires
573Table des MatièresVII.5Problèmes de chemins dans un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
VII.5.1 Définitions
58VII.5.2 Connexité
58VII.5.3 Chemin Eulérien
59VII.5.4 Chemins hamiltonien
61TABLE DESMATIÈRES4
ChapitreIIntroduction à la théorie des ensembles I.1Notions sur les ensembles
I.1.1Construction par extension et compréhension
Intuitivement, unensembleest une collection d"objets deux à deux distincts appeléséléments.
On peut définir un ensemble de deux manières : en extension: on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent;en compréhension: on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l"ensemble.
ExempleI.1.Voilà quelques exemples d"ensembles d"élèves : -fPierre; Paul; Marieg, on donne les trois éléments qui définissent l"ensemble; -félèves de la classe qui ont les yeux bleusg; -félèves qui viennent en cours en pyjamag, mais cet ensemble est certainement vide! ExempleI.2.Dans votre scolarité vous avez rencontré certains ensembles classiques de nombres : -?=f0,1,2,3,...gest l"ensemble des nombres naturels; -?=f1,2,3,...gest l"ensemble des nombres naturels non nul; -?=f...,3,2,1,0,1,2,3,...gest l"ensemble des nombres entiers; -?=fp/q:p2?etq2?avecq6=0g; -?l"ensemble des nombres réels; -?l"ensemble des nombres complexes. ExempleI.3.Les langages de programmation actuels exigent que certaines variables soient décla-rées avec un certaintype de données. Un type de données est un ensemble d"objets associés à une
liste d"opérations standards effectuées sur ces objets. Définir le type d"une variable équivaut à
déclarer l"ensemble des valeurs possibles et autorisées pour cette variable. Dans la sémantique de Python vous avez dû rencontrer : le type bools"interprète comme l"ensemblefVrai,Fauxg, le type ints"interprète comme l"ensemble des entiers le type floats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante le type strs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractères le type lists"interprète comme l"ensemble des listes de longueur variable. I.1.2Principales règles de fonctionnement
On admettra l"existence d"ensembles. Sans rentrer dans l"axiomatique, la notion d"ensemble satisfait un certain nombre de règles de fonctionnement, en voici les principales : Relation d"appartenanceIl faut pouvoir dire si un objet est dans l"ensemble. On notex2Al"élé- mentxest dans l"ensembleA.Chapitre I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES ENSEMBLES6Objets distinctsOn peut distinguer deux éléments entre eux et un ensemble ne peut pas contenir
deux fois le même objet.Ensemble videIl existe un ensemble qui ne contient aucun élément, c"est l"ensemble vide et on le
noteAEoufg.Paradoxe de RussellUn ensemble peut être élément d"un autre ensemble mais pas de lui même.
quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16