FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE

Discriminant ∆ = b2 −4ac Il existe forc´ement un nombre complexe δ tel que ∆ = δ2 Si l’on ´ecrit ∆ = b2 −4ac = δ2, alors l’´equation ax2 +bx+c = 0 admet deux solutions complexes x 1 = −b+δ 2a et x 2 = −b−δ 2a Remarque Ce r´esultat g´en´eralise les formules bien connues lorsque a, b et c sont r´eelles Comme

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(Les équations du second degré à discriminant négatif sont considérées comme n'ayant pas de solution à l'époque) Exemple 2 : Résoudre x3 = 15x + 4 ab = 5 a3 + 3b3 = 4 ⇔ a3b3 = 53 = 125 a + b3 = 4 Donc a3 et b3 sont racines de l'équation X2 – 4X + 125 = 0 Cette équation admet un discriminant négatif

AL1 – Complexes

du second degré dont le discriminant est négatif, dans lesquelles on pourrait envisager d’écrire la racine carrée d’un nombre négatif De nos jours, on appelle « complexes » ces nombres C’est ainsi qu’au XVI° siècle (vers 1545) les mathématiciens italiens Bombelli et Cardano (Cardan) ont

Equations avec des nombres complexes Equations du premier degré

la difficulté réside dans la racine du discriminant Soit, on « voit » la réponse immédiatement, soit on procède par identification Exemple Trouver le nombre complexe z tel que 2i = z² Soit avec astuce, on remarque que 2i = 1 + 2i – 1 = 1 + 2i + i² = (1 + i) ²

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réels En particulier les équations du second degré à discriminant négatif Dans les programmes, les nombres complexe sont introduits dès le lycée les différentes formes d'un nombre complexe, les propriétés de somme, produit, quotient, la représentation géométrique de

FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE

Retour Variable complexe FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano et Ferrari comme racines des équations du 2ème degré dont le discriminant est négatif Descartes (1596 - 1650) utilisa le terme ‘nombre imaginaire’ Les résultats ont été

RÉSUMÉ n°11 : LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

admet un discriminant strictement négatif (*) admet donc deux racines complexes conjuguées r i r i 12 D E D E et L’ensemble des solutions de ()E m sur est alors constitué des fonctions : : cos( ) sin( ) 12 y x e x e xO E O EDDxx , O 1 et O 2 étant deux constantes réelles ou complexes arbitraires

Les équations différentielles du second ordre

Les équations différentielles du second ordre] Dans cette partie on s’intéresse aux équations diﬀérentielles du type : (E) : ay00(t)+by0(t)+cy(t) = d(t) a, b et c étant des constantes réelles (a,0) et d une fonction dérivable sur un intervalle I

Fonction de transfert et schéma-blocs

Le discriminant Les pôles de la fonction de transfert de second ordre dépendent donc de la valeur du coeﬀicient d'amortissement ; il y a trois cas de figure possibles a) Cas où m>1, discriminant positif Les pôles sont deux réels négatifs Représentation dans le plan complexe Lorsque m tend vers , tend vers 0 et tend vers

ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

(i) Les irréductibles de R[X]sont exactement ses polynômes de degré 1 et ses polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif, i e sans racine réelle (ii) La factorisation irréductible d’un polynôme non constant de R[X]est unique Elle est précisément de la forme : A Yr i=1 (X −λi)mi × s j=1 X2 +b jX +cj nj

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IUT de Brest D´epartement GMP Compl´ements de cours

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RÉSUMÉ n°11 : LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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